整合提优 专题2 特殊三角形中的分类讨论-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 专题二 特殊三角形中的分类讨论 专题解读 分类讨论是几何解题中常用的思想方法.在特殊三角形问题中，当条件未明确给出时，往往会 出现条件或结论不唯一的情况，此时需通过分类讨论确保答案的完整性与严密性.对于等腰三角 形，常需分类讨论：边是腰还是底边、角是顶角还是底角、高线在三角形内部还是外部.对于直角三 角形，常需分类讨论：边是直角边还是斜边、哪个角是直角.解题策略：先分类，再画图，最后计算. 7777 类型一]因等腰三角形的顶角和底角不确定 类型三因等腰三角形腰上的高线或垂直 引发的分类讨论 平分线引发的分类讨论 1.*已知等腰三角形的一个内角的度数是70°， 4.等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角的 则该等腰三角形的顶角度数是 () 度数为25°，求这个等腰三角形的各个内角的 A.40° B.70° 度数. C.55 D.40°或70° 2.若某等腰三角形的一个角α比另一个角3的 2倍少20°，则这个等腰三角形的顶角的度 数是 () A.44°或80°或140°B.20或80 C.44°或809 D.140 类型二]因等腰三角形腰上的中线引起的分类 讨论 3.在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长 分为15cm和12cm两部分，求这个等腰三 5.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂直平分 角形的各边的长 线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度 数为40°，求∠B的度数， 18 2整合提优 类型四」因等腰三角形的腰和底边不确定 10.[2025瑞安期中]已知等腰三角形的一边长 引发的分类讨论 为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一 元二次方程x2一6.x十m=0的两个实数根， 6.[2025温州鹿城期中]等腰三角形的两边长分 求m的值， 别为5和10，则此三角形的周长为( ) A.20 B.25 C.26 D.20或25 7.如图，在平面直角坐标系中，存在点A(3,2), B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形 ABP,使得点P在坐标轴上，则这样的点P 共有 () A.4个B.5个 C.6个D.7个 1 B -10123x -1 -2 B (第7题) (第8题) 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E 11.[2024温州段考]如图，在△ABC中，AD⊥ 是线段AD上的一个动点，P是点A关于直 BC于点D,AB=2CD,E为AB的中点，连 线BE的对称点，连结BP,CP.在点E运动 结CE交AD于点F,连结DE,设∠BCE=a. 的过程中，使△PBC为等腰三角形的点E (1)用含a的代数式分别表示∠DEC, 共有 ∠BDE的度数， A.1个B.2个C.3个D.4个 (2)若△AEF为等腰三角形，求a. 9.在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是边 BC上一点，连结AD.若△ACD和△ABD 都是等腰三角形，求∠C的度数. (第11题) 19 期升级训练 数学（浙教版）八年级 类型五]因直角三角形的直角顶点不确定 15.如图，在平面直角坐标系中，过点A(3,0), 引发的分类讨论 C(9,8)的直线AC交y轴于点B,过点C 作平行于x轴的直线CD,交y轴于点D, 12.若实数m,n满足m-3|十√n-4=0,且 点E(0,t)在线段OD上，连结CE并延长， m,n恰好是Rt△ABC的两条边的长，则 交x轴于点F,点G在x轴的正半轴上，且 △ABC的周长是 () AG=AF,连结CG A.12或7+√7 B.5 (1)求直线AC对应的函数表达式， C.12 D.5或7 (2)当E恰好是OD的中点时，求△ACG 13.如图，∠AOB=50°，P是边OB上的一个动 的面积 点（不与点O重合）.当∠A的度数为 (3)新考向存在性问题是否存在t,使得 时，△AOP为直角三角形 △FCG是直角三角形？若存在，请写出t 的值；若不存在，请说明理由 y D (第13题) 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 0A 20,BC=15,D为边AC上的动点，点D从 B 点C出发，以每秒2个单位的速度沿边CA (第15题) 往点A运动，当运动到点A时停止运动.设 点D运动的时间为t秒.若△CBD是直角 三角形，求t的值 (第14题) 20∠ABN=∠EAD.因为AD=AC,所以AD=BN.在 (BN=AD, △ABN和△EAD中， ∠ABN=∠EAD,所以 AB=EA, △ABN≌△EAD.所以NA=DE.所以DE=2AM. E (第7题) 方法归纳 运用倍长中线法解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中的线段或角的位置相 对比较分散，而三角形又给出了中线，那么可以倍长这 条中线，使得分散的条件在图形中能够相对集中，再运 用其中的线段、角之间隐含的关系解决问题 8.D解析：在AP上截取AF=AC,连结DF.因为AD 是∠FAC的平分线，所以∠DAF=∠DAC.又因为AF= AC,AD=AD,所以△DAF≌△DAC.所以DF=DC.因 为DB+DF>BF,BF=AB+AF,所以DB+DC> AB+AC. 9.在BC上截取FB=AB,连结EF.因为BE平分∠ABC, CE平分∠BCD,所以∠ABE=∠FBE,∠FCE= AB=FB, ∠DCE.在△ABE和△FBE中，∠ABE=∠FBE,所以 BE=BE, △ABE≌△FBE.所以∠A=∠BFE.因为AB∥CD,所 以∠A十∠D=180°.所以∠BFE+∠D=180°.因为 ∠BFE+∠CFE=180°，所以∠CFE=∠D.在△FCE和 ∠CFE=∠D, △DCE中 ∠FCE=∠DCE,所以△FCE≌△DCE.所 CE=CE. 以CF=CD.所以BC=FB+CF=AB十CD. 10.如图，延长AC至点M,使AM=AB,连结PM.在 AB=AM, △ABP和△AMP中， ∠1=∠2，所以△ABP≌ AP=AP, △AMP.所以PB=PM.在△PCM中，根据三角形的三 边关系，得CM>PM-PC,所以AM-AC>PB一 PC.所以AB-AC>PB-PC. M (第10题) 11.(1)因为∠BAC=90°，∠B=60°，所以∠ACB= 180°-90°-60°=30°.因为AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB.所以∠C0=号∠BAC=45,∠AC0- 号∠ACB=15所以∠A0E=∠CA0+∠A00=45'+ 15°=60°.(2)在AC上截取AF=AE,连结OF.因为AD 平分∠BAC,所以∠EAO=∠FAO.在△AOE和△AOF AE-AF, 中，〈∠EAO=∠FAO,所以△AOE≌△AOF.所以 AO=AO, ∠AOE=∠AOF.由(1)，知∠AOE=60°，所以∠AOF= 60°，∠COD=60°.所以∠COF=180°-∠AOF- ∠AOE=60°.所以∠COF=∠COD.因为CE平分 ∠ACB,所以∠FCO=∠DCO.在△COF和△COD中， ∠COF=∠COD, RCO=CO, 所以△COF≌△COD.所以CF= ∠FCO=∠DCO, CD.所以AC=AF+CF=AE十CD. 专题二特殊三角形中的分类讨论 1.D 一方法归纳 求等腰三角形的顶角或底角的度数的分类策略 已知等腰三角形的一个角为α，确定顶角或底角的 度数时，分三种情况讨论：①若a为钝角，则α为顶角， 底角的度教为(180-a).②若a为直角，则。为顶 角，该三角形为等腰直角三角形，底角为45°.③若α为 锐角，则当a为顶角时，底角的度教为了(180-@)：当 a为底角时，顶角的度数为180°一2a. 2.A解析：设B=x,则a=2x一20°.分情况讨论：①当 B是顶角，a是底角时，x十2(2x-20)=180°，解得x= 44°.所以顶角的度数是44°.②当B是底角，a是顶角时， 2x+2x一20°=180°，解得x=50°.所以顶角的度数是2× 50°-20°=80°.③当B与a都是底角时，x=2x-20°，解 得x=20°.所以顶角的度数是180°-20°×2=140°.综上 所述，这个等腰三角形的顶角的度数是44°或80°或140° 3.设腰长为xcm,底边长为ycm分两种情况讨论： ①若x+x=12,则y十=15.由x+合=12，得 =8把=8代入y叶分=15，得y=1.因为8十6 11,所以长度分别为8cm,8cm,11cm的三条线段能构成 三角形②若x十号x=15,则y十号x=12由x十 之=15，得x=10.把=10代人y十宁=12，得) 7.因为10十7>10，所以长度分别为7cm,10cm,10cm的 三条线段能构成三角形.综上所述，这个等腰三角形的各 边的长分别为8cm,8cm,11cm或7cm,10cm,10cm. 4.设在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点 D.①如图①，当高线在△ABC的内部时，∠ABD=25°， 所以∠A=90°-∠ABD=65°.又因为AB=AC,所以 ∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°.②如图②，当 高线在△ABC的外部时，∠BAC是钝角，∠ABD=25°， 所以∠BAD=90°-∠ABD=65°.所以∠BAC=180° 65°=115°.又因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=(180° 115)÷2=32.5°.综上所述，这个等腰三角形的各个内角 的度数分别为65°，57.5°，57.5或115°，32.5°，32.5°. ① ② (第4题) 5.分两种情况讨论：①如图①，边AB的垂直平分线与 AB,AC交于点E,D,∠ADE=40°，则易得∠A=50°.因 为AB=AC,所以∠B=(180°-50)÷2=65°.②如图 ②，边AB的垂直平分线与AB,CA的延长线交于点E, D,∠ADE=40°，则易得∠DAE=50°.所以∠BAC= 130°.因为AB=AC,所以∠B=(180°-130)÷2= 25°.综上所述，∠B的度数为65或25°. ① (第5题) 6.B7.D8.B 9.分情况讨论：①如图①，AD=BD,DC=AD,则易得 △ADB和△ADC是全等三角形.所以∠ADB ∠ADC=号×180°=90所以易得∠C=45.@如图@， AB=BD,CD=AD,则∠B=∠C=∠DAC,∠BAD= ∠BDA=2∠C.因为∠B+∠C+∠BAC=180°，所以 5∠C=180°.所以∠C=36°.③如图③，AD=BD,AC= CD,同理可得∠C=36°.综上所述，∠C的度数是45 或36. D D D ② ③ (第9题) 10.当2为腰长时，将x=2代入x2一6x十m=0,得22一 6×2十m=0,解得m=8.当m=8时，原方程为x2 6x十8=0，解得x1=2,x2=4.因为2十2=4，所以2,2， 4不能组成三角形.所以m=8不符合题意，舍去.当2为 底边长时，关于x的一元二次方程x2一6x十m=0有两 个相等的实数根，所以（一6）2一4×1×m=0.所以m= 9.当m=9时，原方程为x2-6x十9=0，解得x1=x2= 3.因为2,3,3能组成三角形，所以m=9符合题意.综上 所述，m的值为9. 11.(1)因为AD⊥BC,E为AB的中点，所以AB= 2DE.因为AB=2CD,所以DE=DC.所以∠DEC= ∠BCE=a.所以∠BDE=∠DEC+∠BCE=2a.(2)因 为AD⊥BC,E为AB的中点，所以DE=BE.所以∠B= ∠BDE=2a.所以∠AEF=∠B+∠BCE=3a,∠BAD= 90°-∠B=90°-2a.因为∠AFE=∠CFD=90°- ∠BCE=90°一a,所以分三种情况讨论：①当AE=AF 时，∠AEF=∠AFE,即3a=90°-a,解得a=22.5° ②当AF=FE时，∠AEF=∠EAF,即3a=90°-2a,解 得a=18.③当AE=EF时，∠EAF=∠AFE,即90°- 2a=90°一a,无解.综上所述，a=22.5或18° 12.A解析：根据题意，得m一3=0，√n一4=0，所以 m=3,n=4.当4是直角边长时，斜边长=√32+4= 5.所以△ABC的周长=3十4十5=12.当4是斜边长时， 另一条直角边长=√4-3=√7.所以△ABC的周长= 3+4+√7=7+√7.综上所述，△ABC的周长是12或 7+7 13.90°或40 14.由题意，得CD=2t.因为∠ABC=90°，AB=20, BC=15,所以AC=√AB2+BC=25.易知∠C≠90°， 所以分两种情况讨论：①当∠CDB=90°时，S△Ax= 号AC·BD-2AB·C.即号×25BD=号×20X15, 解得BD=12.所以CD=JBC2一BD2=9.所以t=9: 2=4.5.②当∠CBD=90时，点D和点A重合，t=25÷ 0 2=12.5.综上所述，t=4.5或12.5. 15.(1)设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b.将 3k+b=0 4 A(3,0),C(9,8)代入，得 解得了‘所以 (9k+b=8 b=一4. 直线AC对应的函数表达式为y=兰一4.（②）因为，点C 的坐标为(9,8)，CD∥x轴，所以D(0,8),CD=9. 因为E是OD的中点，所以DE=OE.因为CD∥x轴， 所以∠DCE=∠OFE,∠CDE=∠FOE.所以△EDC≌ △EOF.所以CD=FO=9.因为点A的坐标为(3,0)，所 以OA=3.所以AG=AF=OF+OA=12.过点C作 CHLx轴于点H,则CH=&所以Sm=AG· CH=名×12X8=48(3)存在，分情况讨论：①当 ∠FCG=90时，因为AG=AF,所以AC是Rt△FCG的 斜边FPG上的中线.所以AF=2FG=AC.过点C作 CM⊥x轴于点M.所以∠CMA=90°.由(1)，易得在 Rt△ACM中，CM=8,AM=9一3=6，所以AF=AC= √62+82=10.因为点A的坐标为(3,0)，所以点F的坐 标为（一7,0）.设直线CF对应的函数表达式为y=z十 9m十n=8, n.将C(9,8),F(-7,0)代人，得 解得 -7n十n=0, m21 7 所以直线C℉对应的函数表达式为y=2x十 2 名令x=0,则y-子所以点E的坐标为(0，号》所以 1-号.@当∠CGF=90时，易得点G的坐标为(9,0.因 为点A的坐标为(3,0)，所以AF=AG=9一3=6.所以点 F的坐标为（一3,0）.同理，易得直线CF对应的函数表达 式为y=号x十2令x=0,则y=2.所以点E的坐标为 (0,2).所以t=2.综上所述，t的值为2或2. 专题三不等式（组)的解集 及特殊解的应用 1.A2.A 3.3解析：把x=一3代人方程x一m=1,得一3一m= 1,解得m=一4.把m=-4代人不等式，得2(1一 2y)≥一6一4，解得y3.所以所求最大整数解为3. 4.解不等式①，得x<3;解不等式②，得x≥一1.所以该 不等式组的解集为一1≤x<3.所以该不等式组的最小整 数解为-1.把x=一1代入方程mz+6=x一2m,得 一m十6=-1一2m,解得m=一7. x+7>3x一3①， 5.m≥4解析：记 解不等式①，得x< x-1<n②. 5;解不等式②，得x<m十1.又因为不等式组的解集为 x<5,所以m+1≥5，解得m≥4. 6a<4解析：因为3是关于x的不等式3-a+2 2 号的-个第所以9-出士>2，解得a< 7.a<8解析：解不等式1-2x<5,得x>-2.解不等 式2z十a<4,得x≤经2，因为关于x的不等式组 1-2x<5, 2x+a4 有解，所以-2<号，解得a<& 8.(1)因为x=a十2，x<8,所以a十2<8，解得a<6. (2)由x-a≤2，可知x≤a十2.因为关于x的不等式 x一a≤2的解集中，所有x的值均在x<8的范围内，所 以a十2<8，解得a<6.(3)解不等式组，得>-1 {xa十2， 因 |a十2<8， 为所有x的值均在2x<8的范围内，所以 解 a-1≥2， 得3≤a<6.所以a可取的整数值是3,4,5. 9.D10.0<a≤36≤b<8 ”解不等式①，得x>一2；解不等 2x-m2一x②， 式②，得x<”十2.因为不等式组有且只有两个整数解， 3 所以整数解为-10所以0，解得-2Sn< 12.(1)设甲型号的“文房四宝”每套的价格为a元，则乙 型号的“文房四宝”每套的价格为(a一40)元.根据题意， 得5a+10(a-40)=1100,解得a=100.所以a-40= 100一40=60.答：甲型号的“文房四宝”每套的价格为 100元，乙型号的“文房四宝”每套的价格为60元.(2)设 购买甲型号的“文房四宝”x套根据题意，得 (100x+60(120x)8500, 解得30<x≤32.5.因为x 120-x<3x, 为整数，所以x=31或32.所以有两种购买方案.方案一： 购买甲型号的“文房四宝”31套，乙型号的“文房四宝” 89套；方案二：购买甲型号的“文房四宝”32套，乙型号的 “文房四宝”88套. 方法归纳 利用不等式组解决方案决策问题的方法 一般先根据题中的不等关系列不等式组，再根据 不等式组的整数解确定有哪几种方案，最后通过分析、 比较，确定出最优方案. 1