复习进阶 第5章 特殊平行四边形-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

(10-t)cm,CQ=(4t-20)cm,BQ=(30-4t)cm,所以 10-t=30=4t,解得t=3;当，≤<10时，AP=tc PD=(10-t)cm,BQ=(4t-30)cm,所以10一t=4t 30,解得1=8综上所述，当运动时间为9：或8s,即1 「名或8时，以P,D,Q,B为顶点的四边形为平行四边形 三、13.(1)因为AE为∠BAD的平分线，所以∠DAE= ∠BAE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ BC,CD=AB.所以∠DAE=∠E.所以∠BAE=∠E.所 以AB=BE.所以CD=BE.(2)因为四边形ABCD是平 行四边形，所以CD∥AB.所以∠BAF=∠DFA.因为 ∠DAF=∠BAF,所以∠DAF=∠DFA.所以DA= DF.因为F为DC的中点，AB=4,所以DF=CF= DA=2.因为DG⊥AE,DG=1,所以AG=GF,AG= √5.所以AF=2AG=23.在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠E, ∠AFD=∠EFC,所以△ADF≌△ECF.所以AF= DF=CF, EF.所以AE=2AF=43. 14.(1)因为E,F分别为AB,AC的中点，所以EF∥ BC,EF=号BC.所以CD/EE.因为CD=2BC,所以 CD=EF.所以四边形DCEF是平行四边形.(2)因为 CD=号BC,BD=AB=6,所以CD=}BD=2,BC 号BD=4.因为∠ACB=90,所以∠0CD=90.在 Rt△ABC中，AC=WAB2一BC2=2J5:在□DCEF中， OC=2CF=AC-号，DE=20D.在R△0CD中， 00=VD+0c=所以DE=0D=Va 方法归纳 判断一个四边形为平行四边形的常见思路 若已知（或易证）一组对边平行，则可以考虑证明 这组对边相等或证明另一组对边平行；若已知（或易 证)一组对边相等，则可以考虑证明这组对边平行或证 明另一组对边相等；若已知（或易证）一条对角线平分 另一条对角线，则可以考虑证明另一条对角线也平分 这条对角线 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为直线 l∥AB,所以∠ABC=∠BCT.所以∠ACB=∠BCT.所 以CB平分∠ACT.(2)如图，以点D为圆心，DC长为半 径画弧，交CT于点H,连结DH,则DH=DC.所以 ∠DCH=∠DHC.所以∠DHC=∠DCH=∠ACB= ∠ABC.所以∠CDH=∠BAC=m°.因为将射线DA绕 点D顺时针旋转m°交直线l于点E,所以∠ADE= m°.所以∠ADE=∠CDH.所以∠ADC=∠EDH.所以 △ADC≌△EDH.所以AD=ED.(3)如图，过点D作 DN⊥CH于点N.因为CD=DH,DN⊥CH,所以 NH=NC.因为△ADC≌△EDH,所以AC=EH= AB=8,AD=ED=3√7.因为DN2=CD2-CN2, DN2=DE2-EN2,CD=√7，所以（√7）2-CN2= (3w7)-(8-CV.所以CV=所以CE=EH- 2CN=8-1=7.DN=VCD-CN-3所以△DC 的面积-2CE·DN=×7×3921 2 B D- H (第15题) 第5章特殊平行四边形 -、1.C2.A3.C4.D 5.C解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AD= DC=BC=AB=10,∠ADC=∠C=∠B=90°.又因为 DM=CN,所以△ADM≌△DCN.所以∠DAM= ∠CDN.所以∠APN=∠DAM+∠ADP=∠CDN+ ∠ADP=∠ADC=90°，即△ANP为直角三角形.因为 CN=DM=4,BC=10,所以BN=6.在Rt△ABN中，由 勾股定理，得AN=√AB2+BN=2√34.因为Q为 AN的中点，所以PQ=2AN=√31. 6.A解析：如图，连结DE,过点D作DG⊥AB于点 G.因为M,N分别为DF,EF的中点，所以MN是 △DEF的中位线.所以MN=DE.所以当DE的长最 小时，MN的长最小，此时点E与点G重合，即MN长的 最小值为2DG的长.因为四边形ABCD是菱形，所以 AD=AB=4.因为∠ADG=90°-∠A=30°，所以AG= 名AD=2所以DG=VAD-AG=V个-F= 2W5.所以MN长的最小值为2DG=5. GE B (第6题) 二、7.638.259.16 10.2√2解析：在正方形ABCD中，AB=4,所以AC 2AB=42,∠ACB=45,BD⊥AC,0C=2AC= 22.因为EF⊥AC,EG⊥OB,所以∠OFE=∠OGE= ∠BOC=90°.所以四边形GEFO为矩形，△CEF为等腰 直角三角形.所以EG=OF,EF=CF.所以EF十EG= CF+OF=OC=22」 11.60°解析：连结BF.因为E为AB的中点，所以 AB=2AE.因为AF=2AE,所以AB=AF.因为FE⊥ AB,E为AB的中点，所以AF=BF.所以AF=AB= BF.所以△ABF为等边三角形.所以∠AFB=60°.因为 AF=FB,EF⊥AB,所以∠AFE=∠EFB=30°.因为四 边形ABCD为正方形，所以∠ABC=90°，AB=BC, ∠DBC=45°.因为FE⊥AB,所以∠FEB=90° ∠EBC.所以EFBC.所以∠BCF=∠CFE.因为BF= AB=BC,所以∠BFC=∠BCF.所以∠BCF=∠BFC= ∠CFE=2∠EFB=15R.所以∠DOC=∠DBC+ ∠BCF=45°+15°=60° 三、12.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ABCD,AD=BC.因为BE=AB,所以BE=CD.所以 四边形BECD是平行四边形.因为AD=BC,AD=DE, 所以BC=DE.所以□BECD是矩形.(2)因为四边形 BECD是矩形，所以∠BEC=∠DBE=∠DBA=9O°， BD=CE.因为CD=3,所以AB=BE=3.所以AE= 6.因为AD=6,∠ABD=90°，所以BD= √AD-AB=√36-9=3√3.所以CE=3√3.所以 AC=√AE2+CE=√36+27=3√7. 13.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以DA=DC, ∠ADE=∠CDE=45°.因为∠DAE=25°，所以∠AEB= ∠ADE+∠DAE=45°+25°=70°.在△DAE和△DCE (DA=DC, 中，∠ADE=∠CDE,所以△DAE≌△DCE.所以 DE-DE, ∠DEA=∠DEC.所以∠AEB=∠CEB.所以∠AEC= 2∠AEB=2×70°=140°.(2)因为四边形ABCD是正方 形，所以∠CBD=45°.因为∠PBC=15°，所以易得 ∠PBD=30°，∠BPC=75°.因为PE⊥BD,所以 ∠BPE=60°.所以∠DPE=180°-75°-60°=45°.因为 DP=4,∠DPE=∠EDP=45°，所以易得DE=EP= 2√2.在Rt△EBP中，∠EBP=30°，所以易得BE= 2√6.所以DB=2√6+2√2.所以易得DC=23+2. (3)连结OC.由(1)，得△DAE≌△DCE,所以AE= CE=√1O0.在Rt△EBP中，O为BP的中点，所以EO= BO=OP.同理，可得OC=OB=OP.所以OE=OC.因为 ∠EBP=45°-∠PBC,OE=OB,所以∠EOP=2(45° ∠PBC)=90°-2∠PBC.因为易得∠POC=2∠PBC,所 以∠EOC=90°-2∠PBC+2∠PBC=90°.所以EO⊥ OC.在△OCE中，OC=OE,OE⊥OC,所以OE=OC= 号×0=5.所以BP=20E=26 14.(1)因为四边形ABC0是矩形，点B的坐标为（一6， 8),所以∠BAD=90°，AB=6,OA=8.所以BO= √AB+OA=10.由翻折的性质，得BE=AB=6, ∠BED=∠BAD=90°，DE=AD.所以OE=BO-BE= 10-6=4,∠OED=90°.设点D的坐标为(0，a),则 OD=a,DE=AD=OA-OD=-8-a.在Rt△EOD中，由 勾股定理，得DE2十OE2=OD,即(8-a)2+4=a2,解 得a=5.所以点D的坐标为(0,5).(2)存在.分情况讨 论：①当OM,OE都为边时，OM=OE=4,所以点M的 坐标为(4,0)或（一4,0）.②如图①，当OM为边、OE为对 角线时，过点E作EH⊥x轴于点H,连结MN,交OE于 点G,则0G=20E=2因为0A=8,0D=5, 所以AD=DE=3.所以易得点E到y轴的距离为 DEOE_3-是所以易得OH=是.在R△E0 OD 5 中，EH=OE-OH=-(号)=(9).所以在 Rt△EHM中，EMP-MH=EH.因为易得EM=OM, 所以or-(OM-)°-()'，解得OM=9所以 点M的坐标为(-90).③如图@，当OM为对角线、 OE为边时，连结EN,交OM于点P.由②，易得OP= 是则OM=Op=琴所以点M的坐标为(-科。 0).综上所述，在x轴上存在点M,使以M,N,E,O为顶 点的四边形是菱形，点M的坐标为(4,0)或（一4,0）或 (o)或(-以 E F7/ C MH 0 ① Ay B A D E M P10 ② (第14题) 方法归纳 平面直角坐标系中菱形存在性问题的解题策略 作为一种特殊的平行四边形，可以根据以下几种 方法得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱 形.(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)四 条边都相等的四边形是菱形.平面直角坐标系中的菱 形存在性问题也是根据以上方法解决的.通常情况下， 菱形存在性问题的解题策略是将其转化为等腰三角形 进行分类讨论，或者利用菱形对角线的性质探索线段 之间的关系」 复习进阶自主检测 -、1.D2.B3.D4.D5.A 6.D 易错分析 未对直角三角形的边进行分类讨论而致错 在利用勾股定理解决直角三角形的相关问题时， 若题目未明确已知边是直角三角形的直角边或斜边， 则需要对边的情况进行分类讨论，如本题解出一元二 次方程后，得到的两个解可能同为直角边的长也可能 较大值是斜边的长， 7.C8.A 9.C解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 B0=D0=2BD,AD=BC,AB=CD,AB/CD.又因为 BD=2AD,所以OB=BC=OD=DA.因为E是OC的 中点，所以BE⊥AC.故②正确.因为E,F分别是OC, OD的中点，所以EF是△OCD的中位线.所以EFCD, EF=CD=AB.所以EFAB.因为G是R△ABE 斜边AB的中点，所以BG=号AB=AG=G.所以 EG=EF=AG=BG.所以四边形BEFG是平行四边 形.故①正确.无法证明EG=FG,故③不一定正确.因为 EFAB,所以∠BAC=∠AEF.因为AG=EG,所以 ∠GAE=∠AEG.所以∠AEG=∠AEF.所以EA平分 ∠GE℉.故④正确.综上所述，一定正确的是①②④. 10.A解析：如图，过点P作PH⊥BC,交BC的延长线 于点H,则∠H=90°.因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=AB=BC,∠DAF=∠B=∠DCB=90° 所以∠DCH=90°，∠BAE+∠DAE=90°.因为DF⊥ AE,所以∠ADF+∠DAE=90°.所以∠ADF= ∠BAE.所以△ADF≌△BAE.所以DF=AE.因为四边 形DFEP是平行四边形，所以DF∥EP,DF=EP, ∠DFE=∠DPE.所以AE=DF=EP.因为∠B=90°， 所以∠BAE+∠AEB=90°.因为DF⊥AE,所以PE⊥ AE.所以∠AEP=90°.所以∠AEB+∠PEH=90°.所以 ∠BAE=∠HEP.因为∠B=∠H=90°，AE=EP,所以 △ABE≌△EHP.所以BE=HP,AB=EH=BC.所以 BE=BC-CE=EH-CE=CH.所以HP=CH.所以易 得∠PCH=45°.因为∠DCH=90°，所以∠DCP=45°= ∠PCH.所以CP是∠DCH的平分线.所以点P在 ∠DCH的平分线上运动.因为∠DFE=∠DPE,所以 ∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC.因为点E 从点B出发，沿BC方向向终点C运动时，∠DCP的度数 不变，∠CDP的度数增大，∠DPC=180°-∠DCP一 ∠CDP,所以∠DPC的度数减小.所以∠DFE+∠EPC 的度数一直减小 E (第10题) 1 二、11.312x=1,x2=3 13.A14.9900 15.√3716.1717.1或5 8 18.8解析：因为四边形ABCD是正方形，所以 ∠CBE=90,由折叠，可知CG=CB=1,GE-=BE=号， 3 ∠CGE=∠CBE=90°.如图，过点G作GH⊥AB于点 H,GK⊥BC于点K.所以易得四边形BHGK为矩形.设1复习进阶 第5章特殊平行四边形 (满分：100分时间：60分钟) 一、选择题（每小题5分，共30分） 5.如图，在正方形ABC 1.新情境生活实际如图所示为小红自制的相 BC上的点，且DM=CN,AM与DN交于 框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中 点P,连结AN,Q为AN的中点，连结PQ. 仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下 若AB=10,DM=4,则PQ的长为() 列检查方法中，合理的是 A.45 B.8√2 C.v34D.16v5 3 A.AC=BD B.AB=DC,AD=BC C.AB=DC,AD=BC,AC=BD D.AB+BC=AD+DC (第5题) (第6题) 6.[2025温州鹿城三模]如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4,E,F分别是AB,BC (第1题) (第2题) 上的动点，连结DF,EF,M,N分别为DF, 2.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使 EF的中点，则MN长的最小值是() CE=BD,连结AE.若∠ADB=40°，则∠E A.√5 B.2√3C.1 D.2 的度数是 ( ) 二、填空题（每小题5分，共25分） A.20°B.25°C.30° D.35 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交 交于点O.若∠ADC=120°，BD=6,则AC 对角线AC于点F,垂足为E,连结BF,DF. 的长为 若∠BAD=a,则∠CDF的度数为( A.a B. C.180°3 D.180°-2a (第7题) (第8题) 8.[2026浙江模拟]如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点P,△EFD与 △APD关于点D成中心对称.若AC=14, BD=16,则BE的长为 B 9.如图，AC是正方形ABCD的对角线，E,F, (第3题) (第4题) 4.如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时 O,G分别是AD,BE,AC,CF的中点.若 针旋转45°后得到正方形A'B'CD',边A'D OG=2√5，则AB的长为 与AB交于点E,则涂色部分的面积是( A.2-√2 B.√2-1 C.2√2-2 D.4-22 (第9题) 9 窖期升级训练数学（新教版）八年级 10.[2024温州瓯海期末]如图，在正方形 (2)当∠PBC=15°，DP=4时，求正方形 ABCD中，AC,BD交于点O,点E在BC ABCD的边长， 上，EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G (3)当AE=√10时，求BP的长， 若AB=4,则EF+EG的值为 (第13题) (第10题)》 (第11题) 11.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中 点，FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点 O,则∠DOC的度数为 三、解答题（共45分） 12.(10分)如图，在□ABCD中，延长AB到点 14.*(20分)如图，在矩形ABCO中，点C在 E,使BE=AB,连结BD,ED,EC,AC,且 ED-AD. x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为 (一6,8).将矩形ABCO沿直线BD翻折， (1)求证：四边形BECD是矩形 (2)若AD=6,CD=3,求AC的长。 使得点A落在对角线OB上的点E处，直 线BD与OA,x轴分别交于点D,F, (1)求点D的坐标. (2)新考向存在性问题若N是平面内任意 一点，则在x轴上是否存在点M,使以M, B N,E,O为顶点的四边形是菱形？若存在， (第12题) 请写出点M的坐标；若不存在，请说明 理由， 0 (第14题) 13.(15分)如图，在正方形ABCD中，P是边 CD上的任意一点，连结BP,O为BP的中 点，作PE⊥BD于点E,连结EO,AE,EC (1)当∠DAE=25时，求∠AEC的度数. 10