复习进阶 第4章 平行四边形-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

第4章 (满分：100分 一、选择题（每小题5分，共35分） 1.[2025烟台]2025年4月24日，神舟二十号 载人飞船成功发射，以壮丽的升空将第10个 中国航天日从纪念变为庆祝.下列关于航天 的图案，属于中心对称图形的是 C D. 2.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍小 180°，这个多边形的边数为 A.3B.4 C.5 D.6 3.用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C 90°，求证：∠A,∠B中至少有一个角不小于 45”时，应先假设 () A.∠A>45°，∠B>459 B.∠A≥45°，∠B≥459 C.∠A<45°，∠B<45° D.∠A≤45°，∠B≤45 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,OE⊥BD交AD于点E,连结BE.若 ☐ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 A.28 B.24 C.21 D.14 (第4题) (第5题) 5.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,BC 的中点，点F在DE的延长线上，连结CF 若添加一个条件，使得四边形ADFC为平行 1复习进阶 平行四边形 时间：60分钟) 四边形，则这个条件可以是 A.∠B=∠F B.DE=EF C.AC=CF D.AD=CF 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B 60°，BC=1,将△ABC绕点C顺时针旋转得 △A'BC(点A,B的对应点分别为A',B) 当点A',B',A在同一条直线上时，AA'的 长为 A.5 B.3 C.2 D.4 B D (第6题) (第7题) 7.[2025天津]如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △AB'C',点B,C的对应点分别为B',C', B'C'的延长线与边BC相交于点D,连结 CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为 () A号 C.4 n 二、填空题（每小题5分，共25分） 8.若一个多边形的外角和是内角和的号，则这 个多边形的边数为 9.如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的对 称中心是坐标原点，顶点A的坐标是 (一1，一3)，则顶点C的坐标是 01 B D (第9题) (第10题) 10.[2026温州平阳模拟]如图，在△ABC中， D,E分别是BC,AC的中点，BF平分 期升级训练数学（浙教版）八年级 ∠ABC,交DE于点F.若AB=8,BC=6, 则EF的长为 11.*如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,D是 BC的中点，AE⊥CE,AB=6,AC=10,则 DE的长为 (第11题) (第12题) 12.分类讨论思想如图，在□ABCD中，AB 6cm,AD=10cm,点P在边AD上以 1cm/s的速度从点A向点D运动.点Q在 边BC上以4cm/s的速度从点C出发，在 线段CB上往返运动.两个点同时出发，当 点P到达点D时同时停止运动，设运动时 间为ts.若5<t<10,则当t= 时， 以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四 边形 三、解答题（共40分） 13.(12分)如图，在□ABCD中，∠BAD的平 分线与BC的延长线交于点E,与DC交于 点F (1)求证：CD=BE (2)若AB=4,F为DC的中点，DG⊥AE, 垂足为G,且DG=1,求AE的长， B (第13题) 8 14.★(12分)[2024温州苍南期中]如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，E,F分别是边 AB,AC的中点，延长BC到点D,使CD= BC.连结EF.CE.DF,DE.DE交AC于 点O. (1)求证：四边形DCEF是平行四边形. (2)若AB=BD=6,求DE的长. (第14题) 15.(16分)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=m°，过点C作直线l∥AB,D是 BC边上一点，连结AD,将射线DA绕点D 顺时针旋转m°交直线l于点E,T为线段 EC的延长线上一点. (1)求证：CB平分∠ACT. (2)求证：AD=ED (3)若AB=8,AD=3√7，CD=√7，求 △DEC的面积. T (第15题)(4+12+9+3+2)=8.1(本). 10.(1)3.635%;4.125%.解析：将B团队负责经营的 12项理财产品的收益率按从小到大排列为3.18%， 3.40%,3.60%,3.67%,3.84%,3.87%,3.91%,3.99%, 4.10%,4.15%,4.21%,4.44%.因为a为前6个数据的 中位数，b为后6个数据的中位数，所以a 60%+867%=3.635%,b-4.10%十4.15%=4.125%. 2 (2)补全B团队的箱线图如图所示.通过箱线图可知，A 团队产品收益率的中位数与B团队的几乎相等，故可知 两个团队的经营效益基本一样，但A团队的产品收益率 比B团队的收益率的波动大，即B团队的经营水平更稳 健（合理即可）， 收益率 6% 5% -4.89% 工444% 3% 工3.18% 2% -2.02% A团队 B团队 (第10题) 11.1144,(2)因为总人数为50=20，所以8分的 人数为20一8一4一5=3，补充统计图如图所示.(3)因为 甲校9分的人数是20一11一8=1，所以甲校成绩的平均 数为0×(7X1+8X0+9X1+10×8)=8.3(分).因为 成绩从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，所以 中位数为2×(7+)=7（分）.因为两校成绩的平均数相 等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均数 和中位数的角度分析，乙校的成绩更好.(4)因为要选 8人参加市级竞赛，为获得更好的名次，发现甲校正好 8人满分10分，所以应选甲校. 乙校成绩条形统计图 人数 8 6 8 9 10成绩/分 (第11题) 第4章平行四边形 -、1.D2.C3.C4.D5.B6.B 7.D解析：如图，连结AD,交C℃于点O.由旋转，得 AC'=AC=4,∠AC'B'=∠ACB=90°，所以∠AC'D= AD=AD, 90°.在Rt△ACD和Rt△ACD中， 所以 AC=AC, Rt△ACD≌Rt△AC'D.所以CD=C'D=3.所以AD垂 直平分CC'.所以CC'=2OC,AD⊥CC.因为∠ACB= 90°，AC=4,CD=3,所以AD=√AC+CD=5.因为 Sm=合CD·AC=号AD·0C,所以0C= 0c-34-是所以c=2 1224 AD 5 55 B (第7题) 二、8.119.(1,3)10.1 11.2解析：如图，延长AB,CE交于点M.因为AE平 分∠BAC,所以∠EAM=∠EAC.因为AE⊥CE,所以 ∠AEM=∠AEC=90°.所以∠M=∠ACM.所以AM= AC=10.所以BM=AM-AB=10-6=4.因为AM= AC,AE⊥CE,所以ME=CE.因为D是BC的中点，所 以DE是△CMB的中位线.所以DE=号BM-2 M (第11题) 方法归纳 巧构中位线解题 三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上 的平行关系，二是数量上的倍分关系.因此当题目中给 出三角形的两边的中点时，可以直接连出中位线，利用 中位线的性质解题：当题目中只给出一边的中点时，往 往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.例如本 题中由已知D为BC的中点，构造以DE为中位线的 三角形是解题的关键， 12号或8解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所 以PDBQ.因为以P,D,Q,B为顶点的四边形为平行四 边形，所以PD=B0当5<：≤号时，AP=1emPD= (10-t)cm,CQ=(4t-20)cm,BQ=(30-4t)cm,所以 10-t=30=4t,解得t=3;当，≤<10时，AP=tc PD=(10-t)cm,BQ=(4t-30)cm,所以10一t=4t 30,解得1=8综上所述，当运动时间为9：或8s,即1 「名或8时，以P,D,Q,B为顶点的四边形为平行四边形 三、13.(1)因为AE为∠BAD的平分线，所以∠DAE= ∠BAE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ BC,CD=AB.所以∠DAE=∠E.所以∠BAE=∠E.所 以AB=BE.所以CD=BE.(2)因为四边形ABCD是平 行四边形，所以CD∥AB.所以∠BAF=∠DFA.因为 ∠DAF=∠BAF,所以∠DAF=∠DFA.所以DA= DF.因为F为DC的中点，AB=4,所以DF=CF= DA=2.因为DG⊥AE,DG=1,所以AG=GF,AG= √5.所以AF=2AG=23.在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠E, ∠AFD=∠EFC,所以△ADF≌△ECF.所以AF= DF=CF, EF.所以AE=2AF=43. 14.(1)因为E,F分别为AB,AC的中点，所以EF∥ BC,EF=号BC.所以CD/EE.因为CD=2BC,所以 CD=EF.所以四边形DCEF是平行四边形.(2)因为 CD=号BC,BD=AB=6,所以CD=}BD=2,BC 号BD=4.因为∠ACB=90,所以∠0CD=90.在 Rt△ABC中，AC=WAB2一BC2=2J5:在□DCEF中， OC=2CF=AC-号，DE=20D.在R△0CD中， 00=VD+0c=所以DE=0D=Va 方法归纳 判断一个四边形为平行四边形的常见思路 若已知（或易证）一组对边平行，则可以考虑证明 这组对边相等或证明另一组对边平行；若已知（或易 证)一组对边相等，则可以考虑证明这组对边平行或证 明另一组对边相等；若已知（或易证）一条对角线平分 另一条对角线，则可以考虑证明另一条对角线也平分 这条对角线 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为直线 l∥AB,所以∠ABC=∠BCT.所以∠ACB=∠BCT.所 以CB平分∠ACT.(2)如图，以点D为圆心，DC长为半 径画弧，交CT于点H,连结DH,则DH=DC.所以 ∠DCH=∠DHC.所以∠DHC=∠DCH=∠ACB= ∠ABC.所以∠CDH=∠BAC=m°.因为将射线DA绕 点D顺时针旋转m°交直线l于点E,所以∠ADE= m°.所以∠ADE=∠CDH.所以∠ADC=∠EDH.所以 △ADC≌△EDH.所以AD=ED.(3)如图，过点D作 DN⊥CH于点N.因为CD=DH,DN⊥CH,所以 NH=NC.因为△ADC≌△EDH,所以AC=EH= AB=8,AD=ED=3√7.因为DN2=CD2-CN2, DN2=DE2-EN2,CD=√7，所以（√7）2-CN2= (3w7)-(8-CV.所以CV=所以CE=EH- 2CN=8-1=7.DN=VCD-CN-3所以△DC 的面积-2CE·DN=×7×3921 2 B D- H (第15题) 第5章特殊平行四边形 -、1.C2.A3.C4.D 5.C解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AD= DC=BC=AB=10,∠ADC=∠C=∠B=90°.又因为 DM=CN,所以△ADM≌△DCN.所以∠DAM= ∠CDN.所以∠APN=∠DAM+∠ADP=∠CDN+ ∠ADP=∠ADC=90°，即△ANP为直角三角形.因为 CN=DM=4,BC=10,所以BN=6.在Rt△ABN中，由 勾股定理，得AN=√AB2+BN=2√34.因为Q为 AN的中点，所以PQ=2AN=√31. 6.A解析：如图，连结DE,过点D作DG⊥AB于点 G.因为M,N分别为DF,EF的中点，所以MN是 △DEF的中位线.所以MN=DE.所以当DE的长最 小时，MN的长最小，此时点E与点G重合，即MN长的 最小值为2DG的长.因为四边形ABCD是菱形，所以 AD=AB=4.因为∠ADG=90°-∠A=30°，所以AG= 名AD=2所以DG=VAD-AG=V个-F=