复习进阶 第2章 一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

第2章 (满分：100分 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.[2025杭州余杭期末]下列选项中，属于一元 二次方程的是 A.(x+1)(x-2)=x2-3 B.x+1=2 C.3x+y=2 D.3y2=2y-1 2.[2025宁波鄞州期末]已知关于x的一元二 次方程x2+mx十3=0的一个根是1，则它的 另一个根是 A.-3B.3 C.-4D.4 3.[2025温州苍南段考]用配方法解一元二次 方程x2一6x+5=0时，将它化为(x十a)2 b的形式，则a十b的值为 () A.1 B.-1 C.4 D.-4 4.下列方程中，有两个相等的实数根的是() A.x2+3x=0 B.x2+4x=4 C.x2+2x=-1D.x2-4=0 5.新情境生活实际[2025温州期中]某市计 划新建一批智能充电桩，第一个月新建了 200个，第三个月新建了600个.设该市新建 智能充电桩个数的月平均增长率为x,则可 列方程为 () A.200(1+2x)=600B.200(1-x)2=600 C.600(1+x)2=200D.200(1+x)2=600 6.★整体思想[2025东营]若x1,x2是关于x的 一元二次方程x2一25.x一1=0的两个实数 根，则代数式x一24x1十x2的值为（) A.0B.25C.26D.-1 7.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档 次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产 95件，每件的利润为6元，每提高1个档次， 每件的利润增加2元，但一天的产量减少 1复习进阶 元二次方程 时间：60分钟) 5件.若生产的产 1120元，且同一天所生产的产品为同一档 次，则该产品的质量档次是 ( A.第6档次 B.第8档次 C.第10档次 D.第4档次 二、填空题（每小题4分，共28分） 8.若关于x的一元二次方程(x十2)2 m(2x十1)中不含x的一次项，则m的值是 9.[2026杭州西湖模拟]若关于x的一元二次 方程x2一3x一c=0有实数根，则最小整数 C= 10.*[2025广元]若关于x的一元二次方程 (a-1Dx+(a-1)z-2-0有两个相等的 实数根，则a= 11.新考向新定义题定义新运算“*”：a*b (a+1)2-ab,例如：2*3=(2十1)2-2× 3=3.方程(x十2)*5=0的解为 12.解关于x的一元二次方程x2十bx十c=0 时，小明看错了一次项系数b,得到的解为 x1=一1，x2=4;小颖看错了常数项c,得到 的解为x1=2√3，x2=√3.正确的一元二次 方程为 13.新情境数学文化[2026浙江模拟改编]《九 章算术》“勾股”章有一道题：今有户高多于 广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各 几何？其大意如下：已知矩形门的高比宽多 6尺8寸，门的对角线长1丈，则门的高和宽 各是多少(“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长 度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸)？设 门高x尺，根据题意可列方程为 3 期升级训练数学（浙教版）八年级 14.分类讨论思想如图，AO=A9B BO=50cm,OC是一条射线， C OC⊥AB.若一只蚂蚁从点A (第14题) 出发，以2cm/s的速度向点 B爬行，同时另一只蚂蚁从点O出发，以 3cm/s的速度沿O℃方向爬行，则出发 s时两只蚂蚁与点O组成的三角 形的面积为450cm2. 三、解答题（共44分） 15.(12分)解下列方程： (1)2x2十4x十1=0（用配方法）. (2)(y+2)(2y+3)=6. (3)3x2-(x+2)2+2x=3.x-6. 16.(10分)[2025杭州钱塘期末]已知关于x的 一元二次方程x2+(2k一1)x十k(k一 1)=0. (1)求证：该方程必有两个不相等的实 数根 (2)若x1,x2是该方程的两个根，且满足 +分号求的汽 17.(10分)新考向新定义题如果关于x的一元 二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个实 数根，且其中一个根比另一个根大1，那么 称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二 次方程x2十x=0的两个根为x1=0, x2=一1，则方程x2十x=0为“邻根方程”. (1)判断方程x2一5.x十6=0是否为“邻根 方程” (2)已知关于x的方程x2一(m一1)x m=0(m是常数)为“邻根方程”，求m 的值 18.(12分)商场某种新推出的商品每件的进价 是40元，在试销期间发现，当每件商品的售 价是50元时，每天可销售500件；当每件商 品的售价高于50元时，每涨价1元，日销售 量就减少10件. (1)当每件商品的售价为55元时，每天可 销售多少件商品？商场获得的日盈利是 多少？ (2)当每件商品的售价为多少元时，商场获 得的日盈利可达到8000元？1复习进阶 第1章二次根式 -、1.D2.C3.C4.B5.A6.B 7.A解析：设小矩形卡片的长为xcm.根据题意，得 x十2=√30，所以x=√30一2.所以题图②中涂色部分 的周长和是2√30+2(5一x)+2×(5一2)=2√30+ 10-2x+6=2√30+16-2（√30-2）=20(cm).所以题 图②中涂色部分的周长和是20cm. 二、8.29.1210.411.x≥-1且x≠012.③ 13.2026解析：由题意，得a一2025≥0，解得a≥ 2025.去掉绝对值符号，可得a-2024+√a-2025= a.整理，得√a-2025=2024.两边平方，得a-2025= 20242.所以a-2024=2025.所以原式=2025+1= 2026. 易错分析 忽略二次根式中的隐含条件 二次根式的双重非负性：(1)二次根式的被开方数 为非负数：(2)二次根式本身是非负的.这两个条件通 常隐含在题目的结构特征中，需要在解题的过程中挖 掘出这些隐含条件，然后利用这些条件解题.例如本题 中必须先发现a的取值范围，即a≥2025，才能正确地 去掉绝对值符号，否则会出现错误 14.2√3或2√7解析：因为CD是边AB上的高，所以 1 CDLAB.因为SaAc=zAB·CD=23,CD=B,所 以AB=2X25=4.因为AB=2AC所以AC=-AB= 5 2.在Rt△ADC中，AD=√AC-CD=√22-(W3)2= 1.分情况讨论：①如图①，BD=AB-AD=4-1=3.在 Rt△CDB中，BC=√CD2+BD=√(W3)2+32= 25.②如图②，BD=AB+AD=4十1=5.在Rt△CDB 中，BC=VCD2+BD=√(W3)2+52=2√7.综上所述， 边BC的长为23或2W7. (第14题) 易错分析 突破定势，避免漏解 对于没有给出几何图形的题目，受思维定势的影 响，容易对符合题目条件的图形的形状缺乏全面的考 虑，从而出现漏解的情况.例如本题中△ABC的形状 存在两种情况，必须分类讨论 三、15()原式=25+55-号-(2+5-号)× 反-5反.(@)原式-8后-2-号-2号(8原式 √49×2+√2-√5×（√4×3-1）=7√2+√2-√5X (23-1)=8√2+√3-6.(4)原式=4-5+5=4. 16.原式=(x-y)2+xy-2(x-y).因为x=1一√2， y=1十√2，所以x-y=(1-√2)-(1十2)=-22， xy=(1-2)×(1十√2)=-1.所以原式=(-22)2+ (-1)-2×(-22)=7+42. 17.根据题意，得一1<a<0<b<1,所以a十1>0，b 1<0,a-b<0.所以原式=a+1|-|b-1|-a-b1= a+1+b-1+a-b=2a. 18.(1)过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC 于点F,则易得四边形AEFD是矩形.所以AE=DF= 1米，EF=AD=2米.因为坡道AB的坡比为1：1.5， C的坡比为1：2，所以能--号，器-宁 所以BE= 号米，CP=2米所以AB=V√AE+BE- V+(号=空（米），cD=+F √1+2=√5（米.所以CD+AD+AB= (5+2+)米，即从点C滑到点B的总长度为 2 (5+2+空)米（②）由D,可知C=BE+F+ CF号+2+2 (米).因为起跑线到点C以及点B到 11 墙均荷留出1米的距离，所以1十号+1=？5（米，因为 起跑线到墙的距离为7米，7<7.5，所以该场地不符合 要求. 第2章一元二次方程 -、1.D2.B3.A4.C5.D 6.C解析：因为x1是关于x的一元二次方程x2一 25.x-1=0的实数根，所以x一25x1一1=0.所以x= 25x1+1.所以x-24x1+x2=25x1+1-24x1+x2= x1十x2+1.因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2 25x一1=0的两个实数根，所以x1十x2=25.所以x号 24x1+x2=25+1=26. 方法归纳 利用一元二次方程的根求代数式的值 解这类有关一元二次方程的根的代数式求值问题 的核心方法如下：先利用一元二次方程根的定义，将 代数式中的高次项降为低次项，再结合根与系数的关 系，把代数式转化为含两根之和或两根之积的整体 形式，最后代入计算，从而避免直接求解方程的根，简 化运算过程 7.A解析：设该产品的质量档次是第x档次，则每天的 产量为[95-5(x一1)]=(100一5x)件，每件的利润是 [6+2(x一1)]=(4+2x)元.根据题意，得(100一5.x)(4+ 2x)=1120.整理，得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2= 12(不合题意，舍去).所以该产品的质量档次是第6档次 二、8.29.-2 10.-1 一易错分析 忽视隐含条件导致多解 在利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围 时，易因忽视一元二次方程的二次项系数不为零这一 隐含条件，直接由根的判别式b2一4ac=0列方程求 解，得到a=1或a=一1后未舍去a=1,而导致错误. 1.x,--1+5 2 2 12.x2-3√3x-4=0 13.x2+(x-6.8)2=102 14.10或15或30解析：设出发xs时两只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积为450cm.分两种情况讨论：①当 蚂蚁在AO上爬行时，0<2x<50,解得0<x<25.由题 意，得号×3x(50-2x)=450,解得x1=10,:=15. ②当蚂蚁在OB上爬行时，50<2x<50+50,解得25< x<50.由题意，得2×3x(2x-50)=450,解得=30， x=一5（不合题意，舍去）.综上所述，出发10s或15s或 30s时两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450cm. 三、15.(1)因为2x2+4x+1=0,所以2x2+4x= -1.所以x2+2x=-2.所以x2+2x+1=-2+1,即 /1 √2 (x+1D=2所以x+1=±√合，所以x=-1± 号，=-1竖(2)原方程可化为2y+ 即，=-1+2 7y=0,即y(2y十7)=0.所以y=0或2y十7=0.所以 7 y1=0,y:=一2(3)原方程可化为2x2-5x+2=0,所 以a=2,b=-5,c=2.所以b-4ac=(-5)2-4×2× 2=所以-表9-5丰所以，=2= 16.(1)因为x2+(2k一1)x+k(k一1)=0，所以(2k- 1)2-4k(k-1)=4k2-4k+1-4k2+4k=1>0.所以该 方程必有两个不相等的实数根.(2)由题意，得x,十 x=-2k十1,1x2=k(k-1)=k2-6.所以1+1= 产--受所以-导或山 17.(1)解方程x2-5.x+6=0,得x1=3,x2=2.因为 3比2大1，所以该方程为“邻根方程”.(2)因为x2 (m-1)x一m=0,所以(x-m)(x+1)=0.所以x1=m, x2=一1.因为关于x的方程x2一(m一1)x一m=0(m是 常数)为“邻根方程”，所以m一(-1)=1或一1一m= 1.所以m=0或m=-2. 18.(1)当每件商品的售价为55元时，每天可销售商品 500一(55一50)×10=450（件）.所以商场获得的日盈利为 (55一40)×450=6750（元）.(2)设每件商品的售价为 x元，则每件商品可盈利(x一40)元，每天可销售商品 500-10×(x-50)=(1000-10x)件.依题意，得 (1000-10x)(x一40)=8000.整理，得x2一140x+ 4800=0,解得x=60或80.所以当每件商品的售价为 60元或80元时，商场获得的日盈利可达到8000元. 第3章数据分析初步 -、1.D2.C3.B4.C5.C 二、6.甲7.4 8.12 方法归纳 已知一组数据的平均数和方差求 另一组数据的平均数和方差 若一组数据x1,x2,x3,x1,…,xw的平均数是元， 方差为S2,则另一组数据ax1士b,ax2士b,ax3士b, a.x1士b,ax5士b,…,axn士b的平均数是a元土b,方差 为a2S2. 三、9.(1)40；30.(2)因为在这组数据中，“5”出现了 12次，出现的次数最多，所以学生捐书数量的众数是 5本.因为将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中 间位置的两个数据都是“5”，所以中位数为5本.捐书数量 的平均数为(2×4+5×12+10×9+15×3+20×2)：