2026年浙教版数学八年级暑假知识训练：矩形的性质与判定

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过分层题型系统构建"性质应用-判定证明-综合迁移"方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|选择3/4/6、填空11/14|对角线性质、勾股定理、折叠转化|从矩形定义出发，推导对角线相等/平分等性质，结合直角三角形解决计算问题| |判定证明|选择1/2/7/8、解答18/19|定义法、对角线相等的平行四边形、直角判定|以平行四边形为基础，通过添加条件（直角/对角线相等）实现矩形判定，形成性质与判定互逆逻辑| |综合计算|选择5/10、填空15/16、解答21/24|动点方程、几何变换、多结论推理|融合矩形与正方形、折叠、动点等综合场景，培养空间观念与模型意识，提升复杂问题解决能力|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 矩形的性质与判定 一、单选题 1.数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否为直角 2.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=3cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为(    ) A. 4cm                                     B. 3cm                                     C. 2cm                                     D. 1cm 3.如图，小明将一张长为 ，宽为 的长方形纸 剪去了一角，量得 ， ，则 长为（   ） A.                                   B.                                   C.                                   D.  4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB=2， ，则AE的长为（   ） A. 1.5                                         B. 2                                         C. 2.5                                         D.  5.如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（    ） A. 10                                         B. 13                                         C. 16                                         D. 19 6.矩形 的两条对角线相交于O点， ，若 ，则矩形的对角线 的长为（  ） A. 2                                        B. 4                                        C.                                         D.  7.如图， 的对角线 ， 相交于点O，添加下列条件后，不能得出四边形 是矩形的是（    ） A.            B.             C.            D.  8.下列命题中，能判断四边形是矩形的是（    ） A. 对角线相等            B. 对角线互相平分            C. 对角线相等且互相平分            D. 对角线互相垂直 9.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（   ） A. AC＝BD                            B. OA＝OB                            C. AC⊥BD                            D. AB＝CD 10.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(    ) A. 2                                       B. 3                                       C. 4                                      D. 4 二、填空题 11.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是________. 12.如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是________． 13.长方形的宽为 ，面积为6，则长方形的长为 ________. 14.矩形的一个角的平分线分一边为2和4两部分，则这个矩形的对角线的长________． 15.如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是________ ． 16.如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快________s后，四边ABPQ成为矩形. 三、解答题 17.如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ， ，求证： 平分 ． 18.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． 求证：四边形AEBD是矩形． 19.已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b 求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b． 下面是小东设计的尺规作图过程． 作法：如图， ①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B； ②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D； ③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C； ④分别连接BC，DC． 所以四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明： ∵AB＝________；AD＝________； ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠MAN＝90°； ∴四边形ABCD是矩形（填依据________）． 20.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF. （1）求证：AF＝CE； （2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 21.如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒． （1）求证：四边形AECF为平行四边形． （2）求t为何值时，四边形AECF为矩形． 22.如图，在平行四边形 中， 于点 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若 ， ， ，求 的长． 23.如图，在 中，点O是 边上的一个动点，过点O作直线 ， 以及外角 的平分线分别交 于点E、F.   （1）求证： ； （2）当点O运动到 边的什么位置时，四边形 是矩形？回答并证明你的结论. 24.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，BC=AD=6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处. （1）若P为BC上一点 a：如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时CE=________. b：如图2，连接CE，若CE AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由.________ （2）如图3，如果点P在BC的延长线上时，当△PEC为直角三角形时，求PB的长. 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：矩形的判定 解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形； B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形； C、一组对角是否都为直角，不能判定形状； D、四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形， 故答案为：D． 分析：根据矩形的判定方法逐项判定即可。 2. B 考点：平行四边形的性质，矩形的判定 解：∵四边形ABCD是平行四边形， OA=3cm， ∴AC=2OA=6cm，BD=2OB， ∵ 要使平行四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC=6cm， ∴OB=3cm. 故答案为：B. 分析：根据平行四边形的性质得出AC=2OA=6cm，BD=2OB，再根据矩形的性质得出BD=AC=6cm，即可求出OB的长. 3. A 考点：勾股定理，矩形的性质 解：延长AB，DC交于点F， ∵四边形AFDE是矩形， ∴ ，  .  ， . 故答案为：A. 分析：延长AB，DC交于点F，利用矩形的性质可证得∠AFC=90°，再求出BF，CF的长；然后利用勾股定理求出BC的长. 4. A 考点：线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质 解：连接BE，如图所示： 由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，   ∴BE=DE，S△BOE=S△DOE= ， ∴S△BDE=2S△BOE= ， ∴ DE•AB= ， 又∵AB=2， ∴DE= ， ∴BE= ， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= =1.5， 故答案为：A. 分析：连接BE，利用利用矩形的性质及已知条件可证得OE为对角线BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证得BE=DE，利用三角形的面积公式可求出DE的长，即可得到BE的长，然后利用勾股定理求出AE的长. 5. B 考点：列式表示数量关系，矩形的性质 解： 设右下方两个相等的正方形的边长为x，根据题意可知， x+3+x+2=x+x+x+1 2x+5=3x+1 x=4 ∴长方形的长为4+4+4+1=13 长方形的宽为4+3+4=11 ∴DC的长度为13 故答案为：B. 分析：根据题意，由矩形的性质列出等量关系，即可得到x的值，计算得到长方形的边长即可。 6. D 考点：含30°角的直角三角形，矩形的性质 解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC， ∵BC＝6， ∴AB2＋BC2＝AC2＝4AB2 ， ∴AB＝2 ， ∴AC＝4 ， 故答案为：D． 分析：先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，进而可得∠OAB＝60°，结合BC=6即可求出AC的长，问题得解。 7. D 考点：矩形的判定 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∵∠DAB=∠DCB， ∵∠DAB+∠DCB=180°， ∴∠DAB=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形； B、∵AB2+BC2=AC2 ， ∴∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形； C、∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形； D、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不能得出四边形ABCD是矩形； 故答案为：D． 分析：利用矩形的判定方法逐项判定即可。 8. C 考点：矩形的判定 解：A、对角线相等不一定为矩形，也可能为等腰梯形等，故A不符合题意； B、对角线互相平分不一定为矩形，也可能为一般的平行四边形，故B不符合题意； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C符合题意； D、对角线互相垂直不一定为矩形，也可能为菱形，故D不符合题意． 故答案为：C． 分析：根据矩形的判定定理逐一判定即可． 9. C 考点：矩形的判定与性质 解：根据题意作图，如下所示： ∵ ，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形. ∵矩形ABCD， ∴AB=CD，OA=OB，AC=BD. ∵条件不足无法判定四边形为菱形， ∴AC⊥BD无法判定，故C错误. 故答案为：C. 分析：本题根据平行四边形的性质，加之∠ABC=90°进行矩形的证明，最后根据矩形性质求解本题. 10. A 考点：矩形的判定与性质 解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C=90°， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2， ∴AB=4， ∴AC= =2 ． ∴BE=CD= ． ∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ． 故答案为：A． 分析：根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积. 二、填空题 11. 4 考点：矩形的性质 解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OA=2， ∴BD=4. 故答案为：4. 分析：根据矩形的对角线相等且互相平分的性质解答即可. 12. （答案不唯一） 考点：矩形的判定 解：可添加AC=BD， ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD（答案不唯一）. 分析：由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形． 13. 考点：矩形的性质 解：长方形的宽为 ，面积为6， 则长方形的长为 ， 故答案为： . 分析：根据长方形的面积等于长乘宽，可以得到长方形的长. 14. 2 或 2 考点：矩形的性质 解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，BE是∠ABC的角平分线， ∴AD=BC，AB=DC，AC＝BD，∠A＝90°，∠ABE＝∠CBE=45°， ∴AB＝AE； 当AE＝2，ED=4时， 则AB＝2，AD＝6， ∴BD＝ ＝2 ； 当AE＝4时，ED=2时， 则AB＝4，AD＝6， ∴BD＝ ＝2 ； 即这个矩形的对角线的长为2 或 2 ； 故答案为：2 或 2 ． 分析：根据矩形的角平分线会得到一个等腰直角三角形以及矩形的性质，结合勾股定理分情况讨论即可． 15. 考点：矩形的判定与性质 解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC ∵EF//AD，HG//AB ∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形 ∴HE=AI，FG=CI ∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度 又因为AI+CI≥AC ∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度 在Rt△ABC中， ∴HE+FG的最小值为 故答案为： 分析：由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可． 16. 10 考点：矩形的判定与性质 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP ∴3x=40-x ∴x=10 故答案为：10. 分析：根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可. 三、解答题 17. 证明： 四边形 是矩形， ， ， ． ， ， ， ， 平分 ． 考点：矩形的性质 分析：根据矩形的性质得到 ， 再根据条件可得 ， 即可得到结果。 18. 证明：∵点O为AB的中点， ∴OA=OB， 又∵OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴四边形AEBD是矩形． 考点：矩形的判定 分析：先证明四边形AEBD是平行四边形，再证出∠ADB=90°，即可证明四边形AEBD是矩形． 19. （1）解：如图，四边形ABCD为所求作； （2）CD；BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形 考点：矩形的判定 解：（2）完成下面的证明． 证明：∵AB＝CD；AD＝BC； ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠MAN＝90°； ∴四边形ABCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形是矩形） 故答案为CD，BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形． 分析：（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据平行四边形的判定方法得到四边形ABCD是平行四边形．再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形判断四边形ABCD是矩形． 20. （1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE. （2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形 考点：矩形的性质 分析：由已知条件证明△ADF≌△CDE得到AF＝CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等. 21. （1）证明：在▱ABCD中， ∵AD∥BC，AD=BC， ∴∠EBC=∠ADF， 由题意知，BE=DF， 在△BEC与DFA中， ， ∴△BEC≌△DFA中（SAS）， ∴CE=AF， 同理：AE=CF， ∴四边形AECF为平行四边形． （2）解：如下图， 由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm， 则∠1＝∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°， ∴∠2+∠3=90° ， 即∠EAF=90°， 此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm. 即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形． 考点：矩形的判定 分析：（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况. 22. （1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形． ∵ ， ∴ ． ∴四边形 是矩形 （2）解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 又∵ ， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 在 中， ， ， ． ∴ 考点：矩形的判定与性质 分析：（1）因为四边形  是平行四边形，  ， ， 可得出四边形  是矩形； （2）由四边形  是平行四边形，得出 ， 在  中，   ，    ，    ． 可得出  的长．  23. （1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE， ∴∠ACE=∠OEC， ∴OE=OC， 同理OF=OC， ∴OE=OF； （2）解：当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形. 证明：∵O为AC中点， ∴OA=OC， 又∵OE=OF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵OE=OC， ∴2OE=2OC， 即AC=EF. ∴□AECF为矩形. 考点：矩形的判定与性质 分析：（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ACE=∠OEC，由等角对等边可得OE=OC ， 同理可得OF=OC，于是结论可得证； （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可求解．   24. （1）2；∵ 沿直线AP翻折至 ∴ ， ， ∵CE AP， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ； （2）解：∵∠B=90°, 沿直线AP翻折至 ∴ ∵△PEC为直角三角形 ∴△PEC中有一角为直角， ①当 时，在四边形ABPE中，∠B=∠EPC=90°， 则∠EAB=90°，即四边形ABPE是矩形， ∴ 又∵ ∴ ②当∠ECP=90°时，则点E在CD边上，但以AP为折痕，点E不会在CD边上，则这种情况不符合题意，舍去； ③当∠PEC=90°时，点C与点A重合，不符合题意，舍去， 综上所述，PB=10. 考点：等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质 解：（1）a：如图1， ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，BC=AD=6，且△ABP沿直线AP泛翻折至△AEP ∴ 在 中， ， ∴ ， 故答案为：2； 分析：（1）a：根据题意画出图形，利用折叠的性质可得到AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长，由此可求出CE的长；b：利用折叠的性质可证得∠APB=∠APE，BP=PE；再利用平行线的性质可得到∠APE=∠PEC，∠APB=∠PCE，由此可推出∠PEC=∠PCE，利用等角对等边可得到PE=PC，即可证得点P是BC的中点，即可得到BP与BC的数量关系. （2）利用折叠的性质可证得∠AEP=∠B，AE=AB；再利用已知△PEC是直角三角形，分情况讨论：当∠EPC=90°时，易证四边形ABPE是矩形，利用矩形的性质可推出PB=AE，由此可求出PB的长；当∠ECP=90°时，则点E在CD边上，但以AP为折痕，点E不会在CD边上，不符合题意；当∠PEC=90°时，点C与点A重合，不符合题意，由此可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $