2026年浙教版数学八年级暑假知识训练：平行四边形性质与判定

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定的系统性训练，通过基础巩固、判定应用及综合拓展，培养几何直观与推理能力，构建"性质-判定-应用"逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-5、填空11-14|对边相等/对角相等/对角线互相平分的直接应用；面积公式的双向计算|从边、角、对角线三维度构建性质体系，结合方程思想解决周长问题| |判定方法|单选2、8-9、填空15|两组对边/对角/对角线关系的判定；作图法构造平行四边形|判定定理与性质的互逆应用，通过反例辨析强化定理条件| |综合计算证明|解答17-26|全等三角形辅助线构造；坐标系中平行四边形存在性分类讨论；勾股定理与面积综合|融合几何证明与代数计算，体现转化思想与空间观念，对接中考综合题型|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 平行四边形性质与判定 一、单选题 1.如图，在 ABCD中，AB=5，AD=7，则 ABCD的周长为(    ) A. 12                                         B. 14                                         C. 35                                         D. 24 2.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B ， C ， 分别以A ， C为圆心，BC ， AB长为半径画弧，两弧相交于点D ， 分别连接AB ， AD ， CD ， 则四边形ABCD的（    ） A. 四条边相等                  B. 四个角相等                  C. 对角线互相垂直                  D. 对角线互相平分 3.下列命题正确的是（   ） A. 一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对角线将平行四边形分成四个全等的三角形 4.在□ ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ） A. 2:1:2:1                                B. 1:2:2:1                                C. 1:1:2:2                                D. 1:2:3:4 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（     ） A. 2 cm                                   B. 3 cm                                   C. 4 cm                                   D. 5 cm 6.在平面直角坐标系中，点A ， B ， C的坐标分别为 ， ， ，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（   ） A.                               B.                               C.                               D.  7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC＝10cm，AB＝4cm，BD⊥AB，则BD的长为（  ） A. 4cm                                  B. ．5cm                                  C. 6cm                                  D. ．8cm 8.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（   ） A. AB＝DC                                B. ∠1＝∠2                          C. ∠D＝∠B                             D. AB＝AD 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD∥BC        B. AD∥BC，AB＝CD  C. OA＝OC，OB＝OD       D. AB＝CD，AD＝BC 10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为 、 、 ，若 =3， =8，则 的值为（   ） A. 22                                         B. 24                                         C. 44                                         D. 48 二、填空题 11.如图，已知△ABC中，∠B=50°，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则∠D=________. 12.平行四边形的周长为24cm ， 相邻两边长的比为3︰1，那么这个平行四边形较短的边长为________cm ． 13.如图平行四边形 ABCD 中，AE ^ BC于E ，AF ^ DC于 F，BC=5，AB=4，AE=3，则 AF的长为________． 14.如图，在 中， ，D是BC上的任一点， 交AC于点E， 交AB于点F那么四边形AFDE的周长是________． 15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：① ；②DE=BF；③ ；④ ，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是________； 16.在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（3m ， 4m+1），D在x轴上，若以A ， B ， C ， D四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标________. 三、解答题 17.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上一点，且AB＝AE＝DE，若∠ABC＝51°．求∠DAE的度数． 18.如图，已知平行四边形 的对角线 和 交于点O，且 ， ，求 的周长. 19.如图是某区部分街道示意图，其中 垂直平分 .从 站乘车到 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是 ，且长度为5公里，路线2是 ，求路线2的长度. 20.如图，在 中， 于点E， 于点F，连接 ， ．求证： ． 21.如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形. （2）在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3. 22.如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O。 （1）求证：O是BD的中点。 （2）若EF上BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为________ 。 23.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q.设运动时间为t(s)(0<t<5) （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ （2）当t=3时四边形OQCD的面积为多少？ 24.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE. （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积. 25.如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点B，A。点P在线段OB上，且PB=m，点Q在直线AB上，Q的横坐标为m，连结PQ，以PQ，OQ作 PQOC。 （1）当m=3时，求点C的坐标； （2）若 PQOC的面积等于18，求m的值； （3）如图2，作点P关于原点O的对称点M，以BM为直角边在x轴下方作Rt△BMN，使得∠MBN=30°，∠BMN=90°，当点C恰好落在△BMN的一边上时，求m的值。 26.阅读下面材料，并回答下列问题： 小明遇到这样一个问题，如图，在 中， 分别交 于点 ，交 于点 .已知 ，求 的值. 小明发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，构造 ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图） 请你回答： （1）证明： ； （2）求出 的值； （3）参考小明思考问题的方法，解决问题； 如图，已知 和矩形 与 交于点 .求 的度数. 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：平行四边形的性质 解：平行四边形对边相等，所以CD=AB=5，BC=AD=7， 所以周长为AB+AD+DC+BC=5+7+5+7=24 故答案为：D 分析：根据平行四边形的性质计算即可。 2. D 考点：平行四边形的判定与性质 解： 以A、C为圆心，BC、AB为半径画弧 ∴AD=BC，AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD的对角线互相平分 故答案为：D 分析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的的对角线互相平分. 3. A 考点：平行四边形的性质，平行四边形的判定 解：A、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故本选项正确； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； D、平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，并不一定全等，故本选项错误. 故答案为：A.   分析：平行四边形的判定定理有： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。根据判定定理分别判断即可. 4. A 考点：平行四边形的性质 解：∵ 如图，□ ABCD ， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D， 故答案为：A. 分析：根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质分别判断即可. 5. A 考点：平行四边形的性质 解：∵在□ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∵AD=5cm，AB=3cm， ∴BE=3cm，BC=5cm， ∴EC=5-3=2cm， 故答案为：A． 分析：根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度． 6. A 考点：点的坐标，平行四边形的性质 解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD， ∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点， ∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)； ②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点， ∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)； ③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A， ∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)； 综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)， 故答案为：A． 分析：以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD；以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC；以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC。 7. C 考点：勾股定理，平行四边形的性质 解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10cm， ∴BO＝DO，AO＝CO＝ AC＝5cm， ∵BD⊥AB，AB＝4cm， ∴在 中， ， ∴BD＝2BO＝6cm． 故答案为：C． 分析：利用平行四边形的性质和勾股定理求出BO的长，再求出BD即可。 8. C 考点：平行线的判定与性质，平行四边形的判定 解：A.由AD∥BC，AB＝DC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； B.∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意； C.∵AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，∵∠D＝∠B ， ∴∠B+∠BCD=180°，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意； D.由AD∥BC，AB＝AD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意. 故答案为：C. 分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项进行判断，即可得出答案. 9. B 考点：平行四边形的判定 解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定； 故答案为：B． 分析：利用平行四边形的判定方法进行求解即可。 10. C 考点：勾股定理，平行四边形的判定与性质 解：∵S1＝3，S3＝8 ∴AB＝ ，CD＝ 过A作AE∥CD交BC于E 则∠AEB＝∠DCB ∵AD∥BC ∴四边形AECD是平行四边形 ∴CE＝AD，AE＝CD＝ ∵∠ABC+∠DCB＝90° ∴∠AEB+∠ABC＝90° ∴∠BAE＝90° ∴BE＝ ∵BC＝2AD ∴BC＝2BE＝ ∴S2＝ 故答案为：C. 分析：根据已知条件得到AB＝ ，CD＝ ，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2 ，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝ ，于是得到结论. 二、填空题 11. 50° 考点：平行四边形的判定与性质 解：如图，依题意得AD=BC、CD=AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=50°， 故答案为：50°. 分析：首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的两对角相等性质即可得出结论. 12. 3 考点：一元一次方程的其他应用，平行四边形的性质 解：设较短边长为x，则较长边为3x. ∵平行四边形的周长为24cm， ∴2×(3x+x)=24， ∴x=3，即平行四边形较短的边长为3cm. 故答案为3. 分析：设较短边长为x，则较长边为3x，由平行四边形的周长为24cm可得2×(3x+x)=24，求解即可. 13. 考点：平行四边形的性质 解： 四边形 是平行四边形，AB=4， ∴ ， ∵AE ^ BC ， AF ^ DC ， ∴AE和AF为平行四边形ABCD的高 ∴ ， ∵AE=3，BC=5， ∴ ， ∴ 故答案为： ． 分析：根据平行四边形的面积 底 高，结合已知条件，代入数据计算即可． 14. 16 考点：平行四边形的判定与性质 解：∵DE∥AB，DF∥AC， 则四边形AFDE是平行四边形， ∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF ∴BF＝FD，DE＝EC， 所以：▱AFDE的周长等于AB＋AC＝16． 故答案为：16． 分析：利用平行线的性质得到∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C，再利用等角对等边得到BF＝FD，DE＝EC，最后可知四边形AFDE的周长等于AB+AC。 15. ②③ 考点：平行四边形的判定与性质 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意； 当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意； 当 时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意； 当 时，根据已知可得 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意. 故答案为：②③. 分析：根据已知条件进行分析，运用平行四边形的判定条件判断即可. 16. 或 或 考点：平行四边形的性质，用坐标表示平移 解：设点D的坐标为（x，0）. 1、如图， 当平行四边形是▱ABCD时， AB∥DC，AB=DC ∴可理解为：线段AB平移得到线段DC. 即点A（-1，1）平移得到点D（x，0）， 点B（2，3）平移得到点C（3m，4m+1） ∴ 解得   ∴点D的坐标为. 2、如图， 当平行四边形是▱ABDC时， AB∥CD，AB=CD 同理，可得 点A（-1，1）平移得到点C（3m，4m+1）， 点B（2，3）平移得到点D（x，0） ∴ 解得   ∴点D的坐标为. 3、如图， 当平行四边形是▱ACBD时， AC∥DB，AC=DB 同理，可得 点A（-1，1）平移得到点D（x，0）， 点C（3m，4m+1）平移得到点B（2，3） ∴ 解得   ∴点D的坐标为. 故答案为：或或. 分析：因为平行四边形的对边平行且相等，所以，平行四边形的一组对边，可以看做是平移前后的对应线段，所以，线段的端点也是平移的关系.点在平面直角坐标系中的平移，可以通过坐标的变化来体现，把两组对应点的坐标的变化转化为方程，可以求得点的坐标.同时，还要注意分类讨论不同情况. 三、解答题 17. 解：∵AB＝AE＝DE， ∴∠ABE＝∠AEB，∠EAD＝∠EDA， ∵∠AEB＝∠DAE+∠ADE， ∴∠ABE＝∠AEB＝2∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADE＝∠DAE， ∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∠ABC＝51°， ∴2∠DAE+∠DAE＝51°， ∴∠DAE＝17°． 考点：角的运算，平行四边形的性质 分析：由等腰三角形求得∠ABE＝∠AEB，∠EAD＝∠EDA，再根据三角形的外角定理，得∠ABE＝∠AEB＝2∠DAE，由平行线性质得∠CBD＝∠ADE＝∠DAE，再计算即可。 18. 解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ 的周长 . 考点：平行四边形的性质 分析：根据平行四边形对角线互相平分的性质，由 ，得到 ，再根据平行四边形对边相等得到 ，最后算出 的周长. 19. 解：如图，延长FD交AB于点G， ∵BC∥DF，AB∥DC， ∴四边形BCDG是平行四边形， ∴DG＝BC， ∵CE垂直平分AF， ∴FE＝AE，DE∥AG， ∴FD＝DG， ∴CB＝FD， 又∵BC∥DF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF＝BD， ∵CE垂直平分AF， ∴AE＝FE，FD＝DA， ∴BC＝DA， ∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）. 考点：线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质 分析：延长FD交AB于点G，易得四边形BCDG是平行四边形，根据平行四边形的性质以及垂直平分线的性质可推出BC=DA，FE=AE，CF=BD，然后根据路线2的长度为BC＋CF＋FE进行计算即可. 20. 解：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F， ∴∠DAE=∠BCF=90°， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， 又∵平行四边形ABCD中，AD=BC， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF，∠AED=∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 考点：平行四边形的判定与性质 分析：根据平行四边形的性质得到边角相等，再利用“ASA”证明 △ADE≌△CBF ，得到 AE=CF，∠AED=∠CFB， 即可证明 四边形AECF是平行四边形， 最后得到结论。 21. （1）如图所示， （2）如图所示， 考点：平行四边形的性质，作图﹣平移 分析： (1)  以AB为边画一个平行四边形即可。连接AB，平移AB到小正方形任意两个顶点，再顺次连接即可得到答案； (2) 首先连接对角线BF并且满足BF=3，连接AF，再平移AF到BE，连接EF 即可得到答案. 22. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO 又∵AF=CE，AD=BC， ∴FD=BE， ∴△DFO≌△BEO(ASA)， ∴BO=DO， ∴O是BD的中点 （2）12 考点：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质 解：（2） ∵  ABCD的周长为24 ， ∴AB+AD=12， ∵OB=OD，EF⊥BD， ∴BF=DF， ∴ △ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AF+DF=AB+AD=12. 故答案为12. 分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，从而可得∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，由AF=CE，AD=BC，可得FD=BE，根据ASA可证△DFO≌△BEO，可得DO=BO，从而求出结论. （2）根据平行四边形的性质可得AB+AD=12，利用线段垂直平分线的性质可得BF=DF， 由△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AF+DF=AB+AD即可求出结论. 23. （1）解：当t=2.5s时，四边形ABQP是平行四边形 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， AO=CO， ∴∠PAO=∠QCO， ∴△APO≌△CQO（ASA）， ∴AP=CQ=t ∴BQ=5-t 若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ ∴t=5-t ∴t=2.5即当t=2.5s时，四边形ABQP是平行四边形； （2）解：过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N， 计算出AM＝2.4(cm)，ON＝ ＝1.2cm, △DOC的面积＝ 当t＝3s时，AP＝CQ＝3cm, △OQC的面积为 cm2 ∴四边形OQCD面积=3+1.8=4.8cm2. 考点：全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质 分析：（1）求出AP=BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可. 24. （1）证明：∵AB＝BE， ∴∠E＝∠BAE， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAE， ∴∠DAF＝∠E， ∴AD∥BE， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°， 又∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝3， ∴BF＝ ＝ = ＝ ， ∴S△ABF＝ AF×BF＝ ×3× ＝ ， ∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝ . 考点：等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质 分析：（1）由等边对等角可得∠E＝∠BAE，由角平分线定义可得∠DAF＝∠BAE，则∠DAF＝∠E，根据内错角相等两直线平行可得AD∥BE，结合已知根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解； （2）由（1）的结论根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质可得BA＝AE，∠BAE＝60°，在直角三角形ABF中，用勾股定理可求得BF的值，然后根据S△ABF=AF×BF可求得三角形ABF的面积，再根据平行四边形的性质得S▱ABCD=2S△ABF可求解.  25. （1）解：由题意，得A(0，4)，B(8，0)，BO=8，OA=4， 当m=3时，Q(3，2.5)， 过Q，C分别作QM⊥OB于M，作CN⊥BO于N， 由平行四边形的性质可得CN=QM=2.5，PN=OM=3， ∵PB=m=3， ∴ON=2， ∴C(2，-2.5). （2）解：由题意可知OP=8-m，QM= m+4，0≤m≤8， ∵S平行四边形PQOC=2S△OPQ ， ∴(8-m)( m+4)=18， 解得：m1=2，m2=14(舍去)， ∴m=2 （3）解：在平行四边形PQOC中，O(0，0)，P(8-m，0)，Q(m， m+4) ∴C(8-2m， m-4) ∵M是P关于O的对称点， ∴M(m-8，0) ①当点C在MN上时，M，C的横坐标相同，m-8=8-2m， 解得m= ②当点C在BN上时，作CH⊥OB于H， ∵∠MBN=30°，CH= m+4， ∴BC=2×( m+4)， ∴由勾股定理，得BH= ( m+4) ∵OH=8-2m， ∴8-2m+ ( m+4)=8 解得m= 综上，当点C恰好落在△BMN的一边上时，m的值为上 或 考点：一次函数的图象，平行四边形的性质，一次函数图象与坐标轴交点问题，直角三角形的性质 分析：（1）由y=  x+4可求出A(0，4)，B(8，0)，即得BO=8，OA=4.当m=3时，将3代入y=  x+4中，求出y=3.5,可得Q(3，2.5)， 如图，过Q，C分别作QM⊥OB于M，作CN⊥BO于N，由平行四边形的性质可得CN=QM=2.5，PN=OM=3，从而求出ON=OB-PN-PB=2，即得C(2，-2.5). （2）由题意可知OP=8-m，QM=  m+4，0≤m≤8， 由平行四边形的性质可得S平行四边形PQOC=2S△OPQ 据此建立关于m的方程，解出m的值即可； （3） 分两种情况①当点C在MN上时 ， ②当点C在BN上时， 分别求解即可. 26. （1）证明：∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形. ∴DE=CF （2）解：由于四边形DCFE是平行四边形， ∴DE=CF，DC=EF， ∴BC+DE=BC+CF=BF. ∵DC⊥BE，DC∥EF， ∴∠BEF=90°.在Rt△BEF中， ∵BE=5，CD=3， ∴BF= . （3）连接AE，CE，如图. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC. ∵四边形ABEF是矩形， ∴AB∥FE，BF=AE. ∴DC∥FE. ∴四边形DCEF是平行四边形. ∴CE∥DF. ∵AC=BF=DF， ∴AC=AE=CE. ∴△ACE是等边三角形.  ∴∠ACE=60°. ∵CE∥DF， ∴∠AGF=∠ACE=60° 考点：平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质 分析：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由 DE∥BC，EF∥DC， 得出：四边形DCFE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出 DE=CF ； （2）根据平行四边形的对边相等得出 DE=CF，DC=EF， 根据线段的和差及等量代换得出 BC+DE=BC+CF=BF，根据平行线的性质，由 DC⊥BE，DC∥EF， 得出 ∠BEF=90°.在Rt△BEF中 ，利用勾股定理算出BF的长，从而得出答案； （3） 连接AE，CE，如图. 根据平行四边形的对边平行得出 AB∥DC，根据矩形的性质得出 AB∥FE，BF=AE. 根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出 DC∥FE ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出 四边形DCEF是平行四边形. 根据平行四边形的对边平行得出 CE∥DF ，根据三边相等的三角形是等边三角形，判断出 △ACE是等边三角形.  根据等边三角形的每一个内角都是60°，得出 ∠ACE=60°，最后根据二直线平行，同位角相等得出 ∠AGF=∠ACE=60° 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $