精品解析：第二十九届YMO青少年数学思维研学交流活动六年级复选试卷

第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学六年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：（ ）。 【答案】14 【解析】 【分析】利用乘法的分配律，提出，再将剩下的数相减，最后相乘即可。 【详解】 ＝14 2. 计算：（ ）。 【答案】3 【解析】 【分析】本题可先把带分数化为假分数，再分组计算，步骤如下：先计算前两项（分母为7、5的部分），再计算后两项（分母为9、3的部分），求和得最终结果。 【详解】  3. 计算：＝（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】先把带分数化成假分数，方便后续计算。繁分数从最内层开始计算，先计算，再依次往上计算，得到除数部分的分母。最后根据分数除法的性质：除以一个分数等于乘以它的倒数，把除法转化为乘法计算即可。 【详解】根据分析： 4. 若数x满足，则x＝（ ）。 【答案】2 【解析】 【分析】我们可以利用倒数性质，逐步化简这个繁分数方程， 对原方程两边同时取倒数：，左右两边同时减去1； 同理再进行三次化简，即可求出的值。 【详解】根据分析可得：     5. 计算：＝（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】我们用换元法简化计算： 设 ，则： 第一个分数的分母为：，第一个分数为 。 化简第二个分数： 第二个分数的分母是 ， 通分后得： 因此第二个分数为 ， 两个分数相加，最后化简即可。 【详解】设  根据分析可得： 第一个分数为 ， 第二个分数为 ， 则： ＝＋ ＝ 6. 定义运算如下：任意的数a、b，只要a不为0，那么ab＝，例如，32，那么，[（12）3][1（23）]×2的值为（ ）。 【答案】42.75####42 【解析】 【分析】根据新定义的运算符号，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。 【详解】[（12）3][1（23）]×2 ＝[（）3][1（）]×2 ＝[43][1]×2 ＝[][]×2 ＝×2 ＝ ＝ 也可写成42或42.75。 7. 11＋22＋33＋44＋55＋66＋77＋88＋99除以3的余数是（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】我们利用“和的余数 ＝ 各部分余数和再除以3的余数”这个规律，逐个计算每个项除以3的余数，再相加求最终余数。 【详解】根据分析可知： 是3倍数的项：，除以3余数都是； 除以3余1的项：，1的任何次方除以3都余1，三个项的余数和为 ； 除以3余2的项：，规律：除以3，n为偶数余1，n为奇数余2，所以余数和为 ； 把所有余数相加：，再算，最终余数是。 8. [x]表示不大于x的最大整数，计算：＝（ ）。 【答案】677 【解析】 【分析】定义说明：是不大于的最大整数，若（或，是余数），则。 找余数规律：观察除以3的余数： 当指数为偶数时，除以3余；当指数为奇数时，除以3余。 【详解】根据分析可得： 计算总和： 本题中指数从（第一项）到（最后一项），一共11项： 等比数列求和：所有的和为 余数和：偶数指数共个，每个余；奇数指数共个，每个余，总余数和为 原式总和。 9. 与的和除以7的余数是________。 【答案】5 【解析】 【分析】2的次方÷7其实是有规律可循的，2÷7余2，4÷7余4，8÷7余1，16÷7余2，32除以7余4，64÷7余1，2的次方÷7的余数是2，4，1循环的，2003÷3余2，那么就是循环中第2个数，也就是4。2003×2003＝4012009，4012009÷7余1，两个余数相加就是4＋1＝5；据此解答即可。 【详解】由2的次方÷7的余数是2，4，1循环的可得： 2003÷3＝667…2，所以÷7的余数是4； 因为2003×2003＝4012009，4012009÷7余1，即20032÷7余1； 所以与的和除以7的余数是1＋4＝5。 【点睛】解答此题的关键是根据2的次方÷7余数发现规律，求出÷7的余数是4。 10. 今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二。从今天算起，再过20142014天是星期（ ）。（括号里面写数字） 【答案】2 【解析】 【分析】星期是以7天为一个周期循环的，所以只需要求：20142014÷7的余数是几，就是星期几往后推几天。 为了求出20142014÷7的余数，可以先探索2014的低次乘方结果除以7的余数规律，为了减小计算量，可以用同余定理找到与2014除以7的余数有同样规律的数来计算。 【详解】2014÷7＝287……5 依据同余定理，所以可得5n除以7的余数与2014n除以7的余数相同，用5n除以7探索余数规律： 51÷7＝0……5 52÷7＝3……4 53÷7＝17……6 54÷7＝89……2 55÷7＝446……3 56÷7＝2232……1 57÷7＝11160……5 余数周期：5、4、6、2、3、1，每6个一循环。 指数2014除以周期6：2014÷6＝335……4。 所以20142014的余数对应周期中第4个余数“2”，今天星期日，再过2天就是星期二，所以括号里填2。 11. 在数列，，，…，中一共有（ ）个不同的数。 【答案】1486 【解析】 【分析】根据题干可知，这里的数列式子表示取整，即就是在每个式子的计算结果中，把小数部分砍掉，只留整数部分，把整数部分作为式子的最终结果，题目是需要在共计1980个取整结果里，找出一共有多少个不一样的数。 依据“相邻两个数的差”的特点来求解：当差小于1时，两个数的整数部分可能相同，也可能不同，也就是可能出现重复；当差大于或者等于1时，后一个数的整数部分一定比前一个大，所以绝对不会重复。 计算出哪一部分可能重复，哪一部分不会重复，再分别找到对应取整规律，求出不一样的数的个数再相加即可。 【详解】用n表示项数，则相邻两项的差为： 差小于1时： 即： n＝1，2，…，989时，可能有重复； n＝990，991，…，1980时，一定不会重复。 求出部分式子结果找出取整规律： ①从第1项到第989项 第1项，＝0， …… 第44项， 第45项， …… 第62项， 第63项， …… 第989项，， 通过计算可以发现： 从第1项到第44项时，每个式子中分子都比分母小，取整结果都是0； 从第45项到第62项时，每个式子中分子都比分母大，但小于分母的2倍，取整结果都是1； 而到第63项，每个式子中分子都比分母大，但小于分母的3倍，取整结果是2； 因此得到规律，这部分式子取整的结果虽然有重复的，但是从0到494，这中间的每一个整数都能取到（中间没有断层），因此计算从0到494有多少个自然数，即可得到有多少个不同的数。 不同的数有：494－0＋1＝495（个）； ②从第990项到第1980项 第990项，， 第991项： …… 第1979项： 第1980项： 通过计算发现，这部分式子取整的结果每一项都比前一项大，所有数都不重复，也不会和第1段重复，但存在断层情况，不是每一个整数都能取到，因此计算出从990项到1980项有多少项，即可得到有多少个不同的数。 不同的数有：1980−990＋1＝991 （个） 把两部分的不同数的个数加起来： 495＋991＝1486（个） 【点睛】本题是一道取整数列计数题，核心解题方法是分段计数法，通过相邻项差与1的大小比较，把数列分成「可能重复段」和「绝对不重复段」，这是解题的关键突破口。 12. 12012＋22012＋32012＋…＋20132012的计算结果除以10的余数是（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】一个数除以10的余数，等于这个数的个位数字，因此我们只需要计算所有项的个位相加，就能得到最终的个位数字。 【详解】找幂次的个位规律：一个数的幂的个位只与原数的个位有关，个位0~9的2012次方的个位规律如下（幂的个位周期最大为4，2012能被周期整除）： 原数个位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2012次方的个位 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 计算每10个数的个位和：把上述个位相加得：，即每10个连续数的个位和为33，个位是3。 计算总组数和剩余项：共2013个数，包含201组完整的10个数（1~2010），剩余3个数的次数分别为：2011、2012、2013，它们的个位分别是1、2、3，对应2012次方的个位和为：。 计算最终个位：201组的个位总和个位是的个位，加上剩余项的8得：，最终个位是1。 因此原式除以10的余数是1。 13. 有一个正整数，用它去除70，112，161得到三个商和三个余数。如果三个余数之和是53，那么三个商的和是（ ）。 【答案】10 【解析】 【分析】已知，所以可得：，则有，所以将所得的差分解质因数，再根据“除数必须大于每一个余数”的条件，筛选出符合题意的除数，进而求出商的和。 【详解】设这个正整数为S，商分别为A、B、C​，余数分别为 a、b​、c。根据分析可以得到如下等式： 将上面三个等式的左边和右边各自相加，可以得到： 已知余数的和是53，也就是：，代入上面的等式可以得出： 由此可知除数S是290的一个因数。同时，因为余数必须小于除数，所以每个余数都小于S，因此三个余数的和一定小于3S,即，因为S是正整数，所以S的最小取值是18，也就是 分解，其正因数有：1,2,5,10,29,58,145,290。结合，S可能的取值为29,58,145,290。 逐一验证除数S （1）若： ； ； ； 余数和：，符合题意。 （2）若： ； ； ； 余数和：，，直接排除。 同理，当S取值145，290的时候，所得余数的和与题意不符，均排除。 所以三个商的和是： 14. 101010101044除以44的余数是（ ）。 【答案】28 【解析】 【分析】可以利用因数分解性质解题，步骤如下： 先把拆分为互质的两个数； 根据整除性质：能被整除的数，末两位能被整除； 能被整除的数，奇数位数字和与偶数位数字和的差是的倍数； 找小于，满足「是4的倍数，除以11余6」的数。 【详解】根据分析可得： 本题被除数末两位是，，所以原数能被整除，余数一定是的倍数。 原数，偶数位和是，奇数位和是，差是，。 找小于，满足“是4的倍数，除以11余6”的数： 符合条件的数是，所以余数是。 15. 如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地。绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置。小狗的活动范围是（ ）平方米。（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3） 【答案】258 【解析】 【分析】将小狗的活动范围得出如图所示，由于绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位，则拴点到最远外墙点的距离就是对边中点，绳子的长度恰好就是正五边形周长的一半，也就是10米。 因为绳子被拴在一个固定点，所以小狗的活动范围应该是以绳长为半径的圆形区域，但是由于墙面的限制，所以活动范围并不是完整的圆形，应该如下图所示： 小狗的活动范围是a，b，c，d，e五个部分，都是扇形，其中b和e一样，c和d一样。 五边形的内角和：180°×（5－2）＝540°，所以每个内角：540°÷5＝108°，其中a的半径是10米，圆心角为360－108°＝252°； 扇形b，e的半径是10－4＝6米，圆心角为180°－108°＝72°； 扇形c，d的半径是6－4＝2米，圆心角也为 72°； 再根据扇形的面积＝，代入数据计算，并将几个部分的面积相加即可。 【详解】4×5÷2＝10（米） 区域a： （平方米） 区域b和e： （平方米） 区域d和c： （平方米） （平方米） 答：小狗的活动范围是258平方米。 16. 如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（取3） 【答案】75 【解析】 【分析】根据题意，直角顺时针旋转了120°，则∠ABE＝120°；∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°。 直角的面积与直角的面积相等。 阴影部分的面积＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积＋直角的面积－直角的面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 ＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 扇形的面积＝πr2× 【详解】阴影部分面积：3×102×－3×52× ＝3×100×－3×25× ＝3×100×－3×25× ＝3××（100－25） ＝3××75 ＝1×75 ＝75 17. 如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的，是小圆面积的，如果小圆的半径是5厘米，那么大圆的直径是（ ）厘米。 【答案】15 【解析】 【分析】已知阴影部分（公共部分）同时是大圆面积的，也是小圆面积的​。通过此等量关系，可以推出大圆、小圆的面积比，再结合圆的面积与半径的关系，即可求出大圆半径和直径。 【详解】根据题意可知： 化简比以后可以得出： 设大圆半径为R，小圆半径为r，根据圆的面积公式： 已知小圆半径是5厘米，代入比例可以得到，大圆半径等于：（厘米），所以大圆的直径是：（厘米）。 18. 如图，边长为150厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，150厘米为半径作圆弧，那么中间阴影部分的周长是（ ）厘米。（π＝3.14） 【答案】157 【解析】 【分析】通过做辅助线，求出构成阴影部分周长的每一小段小弧所对的圆心角的度数，根据该度数所占360°的比，用该比乘圆的周长即可求出弧长，再乘以5即为答案。 【详解】如图 因为C在B为中心的扇形上 所以AB＝CB 同理CB＝AC 则为正三角形 同理是正三角形 有 正五边形的内角是 所以 （厘米） （厘米） 19. 如图，两个半径为4厘米的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，那么图中两块阴影部分的面积之差是（ ）平方厘米。（π取3） 【答案】8 【解析】 【分析】本题直接求阴影部分的面积比较复杂，可以根据“差不变原理”分别给两个阴影部分加上两个面积相同的三角形，将它们融入扇形中，再计算两个扇形面积来求差即可。 【详解】 如图，给图中关键点标明字母并作辅助线AC。设小阴影部分面积为S1，大阴影部分面积为S2。 因为两个半圆半径相等，且A点为竖放半圆的圆心，所以AB＝4厘米，那么AB同时也是横放半圆的半径，B点是横放半圆的圆心，所以AB＝AC＝BC＝BD＝4厘米。 所以△ABC为等边三角形，∠CAB＝∠ABC＝60°，那么∠CBD＝180°－60°＝120°。 △ABC与△BDC等底等高，所以S△ABC＝S△BDC。 根据“差不变原理”可得：S2－S1＝（S2＋S△BDC）－（S1＋S△ABC） ＝S扇形CBD－S扇形CAB ＝×－× ＝× ＝×3×42 ＝×16 ＝8（平方厘米） 20. 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7小时，那么，从甲地到乙地需行驶（ ）千米的上坡路。 【答案】140 【解析】 【分析】从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地的下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。 可以设甲地到乙地的上坡路为x千米，从甲地到乙地的下坡路y千米。根据时间＝路程÷速度 甲开往乙的时间＝上坡的时间＋下坡的时间＝，将方程的两边同时乘140，得出7x＋4y＝1260。 乙开往甲的时间＝上坡的时间＋下坡的时间＝，将方程的两边同时乘140，7y＋4x＝1050。 再解这两个方程，分别得出x和y。 【详解】解：设甲地到乙地的上坡路为x千米，从甲地到乙地的下坡路为y千米。 将式子化简为 将①×4得，28x＋16y＝5040 ③ 将②×7得，28x＋49y＝7350 ④ ④－③得，33y＝2310 y＝2310÷33 y＝70 将y＝70代入① 7x＋4×70＝1260 7x＝1260－280 7x＝980 x＝140 则从甲地到乙地需行驶140千米的上坡路。 21. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟。那么两人出发（ ）分钟后第一次相遇。 【答案】160 【解析】 【分析】整理两人行程规律：小王：速度4千米/小时，走60分钟休息5分钟，每65分钟实际走4千米；小张：速度6千米/小时，走50分钟休息10分钟，每60分钟实际走千米。 计算130分钟时的总路程：130分钟刚好是小王2个完整的（走＋休）周期，小王总路程：（千米）；130分钟是小张2个完整周期（120分钟）加10分钟行走时间，再算出两人一共走几千米；同时算出相距几千米； 计算剩余路程时间：130分钟后两人都处于行走状态，不需要马上休息，这段时间两人都不用休息，刚好相遇，根据剩余路程时间＝剩余路程速度和，即可计算。 总时间＝130分钟＋剩余路程时间。 【详解】（千米） （千米） （千米） （千米） （千米） （千米/时） （时） 0.5小时＝30分钟 分钟。 那么两人出发160分钟后第一次相遇。 22. 有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合。这三个齿轮的齿数之比3∶4∶5。当A、C两个齿轮一共转动64圈时，B齿轮一共转动了（ ）圈。 【答案】30 【解析】 【分析】相互咬合的齿轮，相同时间内转过的总齿数相等，因此齿轮转动圈数和齿数成反比。根据齿数比求出圈数比；根据A、C圈数比与总份数，求出1份对应几圈；再结合B占的份数，求出B转动的圈数。 【详解】   （份） （圈） （圈） B齿轮一共转动了30圈。 23. 一些靶子（图中的圆圈）按如图方式悬挂。打靶时，要求同一竖列的靶子必须按照从下往上的顺序击中。则把靶子打完一遍，符合要求的打靶顺序共有（ ）种。 【答案】210 【解析】 【分析】一共有7个靶子，要求同一竖列必须按从下往上顺序击中，也就是同一列靶子的击中顺序固定，只需要确定不同列靶子的位置即可。也就是一共有7个空位，将这些靶子放进这7个空位中，并且每组靶子之间的击中顺序一定，属于“只选不排”的类型，用组合数计算。 【详解】根据分析可知： 先从7个打靶顺序位置中选3个给第一列，选好后顺序固定，选法共种； 剩余4个位置中选2个给第二列，选好后顺序固定，选法共种； 最后剩下2个位置给第三列，只有种选法。 根据乘法原理，总符合要求的顺序：（种）。 24. 在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“青少年数学竞赛”表示的七位数有（ ）种不同的取值。 【答案】40 【解析】 【分析】整理竖式，推导各部分关系这个加法竖式可写为： ，即：。 和的千位是2，只有第一个数有千位，若青＝2，剩余部分和为10，必然多个数字重复，因此青＝1，则等式简化成：。 再从个位开始看进位，分类计数，然后计算不同组合七个汉字是不同数字。 【详解】根据分析可得： 个位和的个位是0，两个不同数字相加只能是，向十位进1； 十位和的个位是1，加上个位的进位1，得，因此，向百位进1； 百位和的个位是0，加上十位的进位1，得个位为0，向千位进1，因此。 青已经用了1，剩下六个数字不能等于1，也互不重复： 情况1：，因为首位不能为0，所以只有1种可能。剩余数字里，和为10的对有共3组，需要选2组分给（年，竞）和（数，赛）：选2组排列共种，每组两个数字交换位置共种，因此这部分总共有：种。 情况2：，少和学用掉了2和7，原本的3组和为10的对中，缺2、缺7，只剩1组，不够分，共0种。 情况3：，少和学用掉了3和6，缺3、缺6，只剩1组，不够分，共0种。 情况4：，少和学交换位置共2种，剩余刚好剩下2组和为10的对：，分配给（年，竞）和（数赛）共种，每组交换位置共种，总共有：种。 总和所有不同取值一共：种。 25. 从1到70中选出两个不同的数相加，和大于70的情况有（ ）种。 【答案】1225 【解析】 【分析】要找两个不同的数相加和大于70的情况，可以先固定其中一个数，再分析另一个数的可选范围，再利用分类加法计数原理计算总数，注意两个数是不同的，要排除两个数相同的情况。 【详解】当从1到35时： 时，另一个数需要满足和大于70，只有70，共1种； 时，另一个数可以是69、70，共2种； …… 时，另一个数可以是36~70，共35种； 这部分总和： (种)。 当从36到69时： 因为比35大，只要另一个数比大，和一定大于； 时，另一个数可以是37~70，共34种； 时，另一个数可以是38~70，共33种； …… 时，另一个数只有70，共1种； 这部分总和： (种)。 总情况数：种。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学六年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：（ ）。 2. 计算：（ ）。 3. 计算：＝（ ）。 4. 若数x满足，则x＝（ ）。 5. 计算：＝（ ）。 6. 定义运算如下：任意的数a、b，只要a不为0，那么ab＝，例如，32，那么，[（12）3][1（23）]×2的值为（ ）。 7. 11＋22＋33＋44＋55＋66＋77＋88＋99除以3的余数是（ ）。 8. [x]表示不大于x的最大整数，计算：＝（ ）。 9. 与的和除以7的余数是________。 10. 今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二。从今天算起，再过20142014天是星期（ ）。（括号里面写数字） 11. 在数列，，，…，中一共有（ ）个不同的数。 12. 12012＋22012＋32012＋…＋20132012的计算结果除以10的余数是（ ）。 13. 有一个正整数，用它去除70，112，161得到三个商和三个余数。如果三个余数之和是53，那么三个商的和是（ ）。 14. 101010101044除以44的余数是（ ）。 15. 如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地。绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置。小狗的活动范围是（ ）平方米。（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3） 16. 如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（取3） 17. 如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的，是小圆面积的，如果小圆的半径是5厘米，那么大圆的直径是（ ）厘米。 18. 如图，边长为150厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，150厘米为半径作圆弧，那么中间阴影部分的周长是（ ）厘米。（π＝3.14） 19. 如图，两个半径为4厘米的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，那么图中两块阴影部分的面积之差是（ ）平方厘米。（π取3） 20. 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7小时，那么，从甲地到乙地需行驶（ ）千米的上坡路。 21. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟。那么两人出发（ ）分钟后第一次相遇。 22. 有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合。这三个齿轮的齿数之比3∶4∶5。当A、C两个齿轮一共转动64圈时，B齿轮一共转动了（ ）圈。 23. 一些靶子（图中的圆圈）按如图方式悬挂。打靶时，要求同一竖列的靶子必须按照从下往上的顺序击中。则把靶子打完一遍，符合要求的打靶顺序共有（ ）种。 24. 在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“青少年数学竞赛”表示的七位数有（ ）种不同的取值。 25. 从1到70中选出两个不同的数相加，和大于70的情况有（ ）种。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $