3.1函数的概念及其表示（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的概念及其表示，系统梳理函数定义（三要素：定义域、值域、对应关系）、三种表示方法（解析法、列表法、图象法）、定义域与值域求解、解析式求法及分段函数，衔接初中变量定义与高中集合对应定义，构建“非空数集、唯一对应、定义域优先”的学习支架。 资料以课标为纲，突出重难点，通过随学随练、分层题型（基础到素养提升）强化应用，结合实际情境抽象函数模型，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，用数学思维辨析对应关系的逻辑推理，课中助力教学，课后辅助查漏补缺。

第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 课标要点 1.结合具体实际情境（变化问题、对应关系问题）抽象出函数模型，认识高中函数的定义，理解定义域、值域、对应关系三要素，能准确识别函数、判断两个变量是否构成函数关系。 2.掌握函数的三种常用表示方法：解析法、列表法、图象法，能辨析三种表示法的优缺点，根据实际问题情境选择合适的方法表示函数，规范书写函数解析式并明确自变量取值范围。 3.能区分函数与非函数对应关系，厘清初中变量定义与高中集合对应定义的区别，建立“非空数集、唯一对应、定义域优先”三层判定逻辑。 4.能利用函数的概念与三要素，求解简单函数的定义域、函数值，逆向根据函数值求自变量，结合实际情境判断定义域、函数值的实际合理性。 学习重难点 重点： 1.高中函数的定义辨析，精准理解函数定义域、值域、对应关系三大核心要素。 2.函数三种表示方法的灵活运用，能根据实际问题、表格、图象提取对应关系，写出函数解析式并标注定义域。 3.简单函数定义域的求解、函数值的代入计算，利用三要素判断两个函数是否为同一函数。 难点： 1.理解函数“任意唯一对应”的核心内涵，区分“一对多”与“多对一”，准确判定非函数对应关系。 2.掌握隐含定义域限制条件，能根据解析式本身、实际场景双重约束求解定义域，规避取值误区。 3.从实际变化问题、图象信息中挖掘变量间的对应关系，构建函数模型，并结合实际情境检验自变量、函数值的实际意义。 知识点 函数的概念 函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中_______，在集合B中都有______与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 特别提醒 1）定义中集合一定要是非空书籍. 2）定义中三个关键词：任意、存在、对应. 随学随练 1.（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 知识点 函数的定义域和值域（重点） 1.常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 【答案】 2.函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 ______：简单一次、反比例函数直接判断； ______：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； ______：分式一次比一次型； ______：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； ______：画图看取值范围. 随学随练 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 知识点 函数的表示 1.函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. ______：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； ______：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； ______：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； ______：含与等式，联立方程消元求解. 2.分段函数 分段函数是一个函数．求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解． 随学随练 1.（25-26高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 拓展 复合函数的定义域 复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 活学活用 1.（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 题型 函数的概念 解题贴士 函数的概念，首先判断是否非空数集，其次判断任意性和唯一性 ▌例1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练1-1．（25-26高一下·河南·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 ▌对点练1-2．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 ▌对点练1-4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练1-5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 题型 函数的定义域 解题贴士 1.函数的解析式有意义：分母不为零、偶次根式底数大于等于零；2.复合函数定义域求法。 ▌例1．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 ▌例2．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 ▌对点练1-2．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 ▌对点练1-3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. ▌对点练1-4．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ ▌对点练1-5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 题型 函数的解析式求法 ▌例1．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． ▌对点练1-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． ▌对点练1-3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 题型 分段函数 ▌例1．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． ▌对点练1-1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·四川宜宾·期中）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 基础通关 1.（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2.若函数，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 6.（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）若函数，则______. 7.（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8.（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 9.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10.（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 素养提升 11.（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 13.（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 15.（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 16．（25-26高一上·河北承德·期末）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 迁移创新 17.（25-26高一上·四川成都·期中）已知下面五个函数： (1)请分别写出 的定义域 (2)请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 18．（25-26高一上·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 课标要点 1.结合具体实际情境（变化问题、对应关系问题）抽象出函数模型，认识高中函数的定义，理解定义域、值域、对应关系三要素，能准确识别函数、判断两个变量是否构成函数关系。 2.掌握函数的三种常用表示方法：解析法、列表法、图象法，能辨析三种表示法的优缺点，根据实际问题情境选择合适的方法表示函数，规范书写函数解析式并明确自变量取值范围。 3.能区分函数与非函数对应关系，厘清初中变量定义与高中集合对应定义的区别，建立“非空数集、唯一对应、定义域优先”三层判定逻辑。 4.能利用函数的概念与三要素，求解简单函数的定义域、函数值，逆向根据函数值求自变量，结合实际情境判断定义域、函数值的实际合理性。 学习重难点 重点： 1.高中函数的定义辨析，精准理解函数定义域、值域、对应关系三大核心要素。 2.函数三种表示方法的灵活运用，能根据实际问题、表格、图象提取对应关系，写出函数解析式并标注定义域。 3.简单函数定义域的求解、函数值的代入计算，利用三要素判断两个函数是否为同一函数。 难点： 1.理解函数“任意唯一对应”的核心内涵，区分“一对多”与“多对一”，准确判定非函数对应关系。 2.掌握隐含定义域限制条件，能根据解析式本身、实际场景双重约束求解定义域，规避取值误区。 3.从实际变化问题、图象信息中挖掘变量间的对应关系，构建函数模型，并结合实际情境检验自变量、函数值的实际意义。 知识点 函数的概念 函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中_______，在集合B中都有______与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 【答案】 任意一个数x 唯一确定的数y 特别提醒 1）定义中集合一定要是非空书籍. 2）定义中三个关键词：任意、存在、对应. 随学随练 1.（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 知识点 函数的定义域和值域（重点） 1.常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 【答案】 2.函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 ______：简单一次、反比例函数直接判断； ______：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； ______：分式一次比一次型； ______：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； ______：画图看取值范围. 【答案】 观察法 配方法 分离常数法 换元法 图象法 随学随练 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 知识点 函数的表示 1.函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. ______：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； ______：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； ______：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； ______：含与等式，联立方程消元求解. 【答案】 待定系数法 换元法 配凑法 方程组法 2.分段函数 分段函数是一个函数．求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解． 随学随练 1.（25-26高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 拓展 复合函数的定义域 复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 【答案】 活学活用 1.（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 题型 函数的概念 解题贴士 函数的概念，首先判断是否非空数集，其次判断任意性和唯一性 ▌例1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． ▌对点练1-1．（25-26高一下·河南·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B ▌对点练1-2．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. ▌对点练1-4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B ▌对点练1-5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D． 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 题型 函数的定义域 解题贴士 1.函数的解析式有意义：分母不为零、偶次根式底数大于等于零；2.复合函数定义域求法。 ▌例1．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． ▌例2．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. ▌对点练1-1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. ▌对点练1-2．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. ▌对点练1-3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. ▌对点练1-4．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. ▌对点练1-5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 题型 函数的解析式求法 ▌例1．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. ▌对点练1-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． ▌对点练1-3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 题型 分段函数 ▌例1．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． ▌对点练1-1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. ▌对点练1-3．（25-26高一上·四川宜宾·期中）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题为新定义分段函数值域问题，先化简函数，再利用数形结合分析自变量范围，即可确定区间长度的范围. 【详解】解：由， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图像，如下图： 因为函数在区间上的值域为， 则当时，区间的长度取最小值1； 当时，区间的长度取最大值3. 所以，区间的长度的取值范围是. ▌对点练1-4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 基础通关 1.（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2.若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 3.（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 4.（25-26高一上·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为，函数， 所以，解得：或, 所以函数的定义域为， 故选：D 5.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 6.（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）若函数，则______. 【答案】2 【详解】令， 所以有，即. 7.（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 8.（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确。 9.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 10.（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象及分段函数画出图象； （2）根据端点值和单调性，再结合图象分析求解范围即可. 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 素养提升 11.（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 13.（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 15.（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出. 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 16．（25-26高一上·河北承德·期末）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 迁移创新 17.（25-26高一上·四川成都·期中）已知下面五个函数： (1)请分别写出 的定义域 (2)请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 【答案】(1)的定义域为；的定义域为；的定义域为且；的定义域为；的定义域为. (2)（i）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数； （ii）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数； （iii）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为且，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数；； （iv）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数. 【分析】（1）根据分式分母不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，逐个求出每个函数自变量的范围，对多个式子成立的取范围的交集即为定义域. （2）判断两个函数是否为同一个函数，需同时对比定义域和对应法则，二者完全一致才是同一函数，任一不同则不是，逐项进行判断即可. 【详解】（1）对于函数，因为分式函数的定义域需满足分母不为0， 则，解得，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，的定义域为； 对于函数，根号下的表达式需非负，且中分母不为0，则中， 中分母，解得， 综上得且，故的定义域为且； 对于函数，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，故的定义域为. 18．（25-26高一上·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【答案】(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【分析】 （1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $