第22章 相似形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第22章相似形培优冲刺单元卷，通过文化传承（如伽利略比例规）、现实应用（如国旗面积比）情境，覆盖相似判定、位似、比例应用等核心知识，适配单元复习，提升推理与创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似判定（第2题）、比例性质（第1题）|结合五星红旗（第3题）考查面积比，体现文化情境| |填空题|4/20|位似坐标（第12题）、黄金分割（第13题）|银川览山公园步道（第13题）融入实际测量| |解答题|9/90|相似证明（第16题）、模型应用（第23题）|比例规（第8题）关联历史发明，23题模型建立与应用培养创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章相似形 培优冲刺 (考试时间：120分钟满分：150分) 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。 题号 3 6 7 8 9 10 答案 D C D B D B B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.2 12.（-610)或（6.-106，-10)或-6,10) 13.(10W5-20) 14. 15 2W5 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：1518每题8分，19-20题每题10分，21-22 题每题12分，23题14分) 15.【详解】解：如图1，如图2所示，△DEO即为所求作. 5 3 2 2 -1 B E B 6-5-4-3-2-1912345.6x -65-4-32.-Z0123456x 23 4 图1 图2 答案第1页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【详解】证明：如答图，过点C作CH LOB,交OB于点H. 由A,B,C三点的坐标可以得到 OA=3,0B=4,AD=1,CD=2,OH CD=2,BH =OB-OH=2,CH=4 A D :.AB=VOA2+0B2=V32+42=5 AC=AD2+CD2=1+22=5 BC=BH2+CH2=22+4=25 在△ABC和△ACD中， :4C=5=5C=25=54g-5 CD 2 c店5 AC BC AB ADCD AC ,△ABCn△ACD, 17.【详解】解：已知OB=120,OD=60,0C=80,OA=40, 0D_60_10A_401 0B1202'0C802: :0D=0a OB OC' :∠AOD与∠COB是对顶角， .∠AOD=∠COB 两边对应成比例且夹角相等，故aOAD∽aOCB, AD OA 1 BC-OC-2 已知AD=68步，代入得：BC=68×2=136, .B、C之间相距136步. 答案第2页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.【详解】证明：如图，设AH,BD交于点G, B H :四边形ABCD是矩形， ∠ADC=∠DCB=90°BC=AD=2N2 :点H为CD边上的中点，DH=2 ∴.DC=2DH=4 AD=22-2DH=2=2 .DC-42,BC2√22 AD DH DC BC ∴.△ADHADCB ∴.∠DAH=∠CDB ∴.∠CDB+∠ADB=∠DAH+∠ADB=90° .∠AGH=90 即AH⊥BD. 19【详解】.(1)证明：·AEDC, ∴.∠ACD=∠CAE, 由旋转可得，∠FAE=90°， ∠BAC=90°， .∠FAE=∠BAC, .∠BAF=LCAE, .∠BAF=∠ACD: (②2*1 答案第3页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：连接BF,过点F,E分别作FN⊥AB,EM L AB,垂足为点N,M, AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠ABC=∠ACB=45° 由旋转可得，AF=AE .·∠BAF=∠CAE .△BAF≌△CAE(SAS) .∠ABF=∠ACE=45°，BF=CE, 设BE=AC=2x, 则在等腰Rt△ABC, 中，Bc=V2AB=2N2x :.CE=BF=(22-2x .EM⊥AB,∠ABC=45 .△BME是等腰直角三角形 M=号6=2 2 FN⊥AB,∠ABF=45o ∴.△FBN是等腰直角三角形， m-9ar-e-回j FN⊥AB,EM⊥AB ∴.EM∥FN .∴.△EMG∽△FNG 答案第4页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG EM √2x =√2+1 :.FG FN (2-2)x 20.【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB,∠ABP=∠CBP=45 在△ABP和△CBP中 (AB=CB ∠ABP=∠CBP BP=BP ∴.△ABP≌△CBP(SAS) (2)证明：由(1)得△ABP≌△CBP, .PA=PC PE=PC :PE=PA, 又·AP⊥PE .∠APE=90° .∠PEA=∠PAE=45° 又：∠EPF=∠BPE(公共角)， ∴.△PEF∽△PBE ..PE2=PF.PB .PEPB PF PE D D R B E 21.【详解】(1)证明：如图， 答案第5页，共2页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ,平行四边形ABCD中，AB‖CD :.∠1=∠3，△AB0∽△CE0 AB OA CE OC :BE平分∠ABC .1=∠2 .∠2=∠3 ∴.BC=CE OA AB ·OCBC: (2)解：①.AF=2DE=2 .DE=1 ,在ABCD中，BC=AD, 又，CF=CE,CB=CE .CF=CE=CB=AD 设CF=CE=CB=AD=x .FD=AD-AF=x-2,CD=CE+DE=x+1 CF⊥AD ∴在RtACDF中，由勾股定理得CF2+DF2=CD :r+-2y=(x+1 整理得，x2-6x+3=0 解得=3+V6与=3-V6 答案第6页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF=x-2>0 .x>2 :=3-V6 不符合题意，舍去： :BC=3+v6 ②延长AD,BE交于点H, A F H B 图2 OA。AB6 由(1)可得oCBC5 设AB=6x,BC=5x 在平行四边形ABCD中，AB=CD=6x,AD=BC=5x,ADI‖BC,∠ADC=∠ABC=60° 同(1)可证明AB=AH=6x .DH=AH-AD=x CF⊥AD .DF=CD×cos∠ADC=3x .FH=DF+DH=4x 4DWBC ∴.△FGH∽ACGB FG FH 4 ∴.CGBC5 22.【详解】(I)证明：由轴对称的性质可得∠DFE=∠C, :∠DFE+∠NFE=180°，∠ABC=∠NFE, .∠ABC+∠C=180°. 答案第7页，共2页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ABII CD 又AD∥BC, .四边形ABCD为平行四边形： (2)①解：BE=CE,理由如下： 由轴对称的性质可得DF=DC,∠DEF=∠DEC,EF=CE, ..DE DC .DF=DE DC. ∠DFE=∠DEF=∠DEC=∠C; .DN平分∠ADE, ∠ADN=LEDN; ,四边形ABCD是平行四边形， .ADI‖BC,ABICD .∠ADN=∠N,∠ABC+∠C=180°， .∠N=∠EDN. .NE=DE. 设∠ADN=∠EDN=∠N=x, .∠DEC=∠N+∠EDN=2x, .∠DEF=∠DFE=2x: .∠DEF+∠DFE+∠EDF=I8O°， .2x+2x+x=180°， .x=36°， .∠N=36°，∠C=∠DEF=∠DEC=72° .∠BEG=180°-72°-72°=36°，∠ABC=108°， .∠BGE=180°-∠EBG-∠BEG=36°： DG⊥AB, .∠BGD=90°， .∠EGD=90°-36°=54°」 :.∠EDG=180°-∠EGD-∠DEG=54°， 答案第8页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EGD=∠EDG. ..EG=ED .'.EG=NE: 又.∠N=∠BEG=∠BGE=36°， .△BGE≌aFNE(ASA) ∴BE=EF, ∴.BE=CE; ②设CE=a,CD=b 由(2)①得DE=DC=NE=GE=b. .NC=NE+CE=a+b,EF=CE=a, .'.GF=EG-EF =b-a 由(2)①得∠CDE=180°-∠C-∠DEC=36°， .∠CDE=∠N, 又，∠C=∠C, .△CDE∽△CND. CE CD a b ∴CDNC,即ba+b, .a2+ab-b2=0, 月jg0 a_-1+V5a-1-V5 解得b2或b2(舍去)： 由(2)①可得∠GFM=∠DFE=72°，∠MGF=36°， .∠GMF=180°-72°-36°=72°， .∠GMF=∠GFM, :.GM=GF=b-a; 由平行四边形的性质可得∠A=∠C=72°=∠GMF,AD=BC=CE+BE=2a, .DG⊥AM, 答案第9页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DGA=∠DGM=90°， 又，DG=DG, :.△1GD≌aMGD(AAS) .AG=GM=b-a; 在RtAADG中，由勾股定理得DG2=AD2-AG2, DG2 AD2-AG2 ∴.AG·ADAG·AD -2a'-6-a} (b-a).2a 4a2-(b2-2ab+a2） 2ab-2a -3a2-B2+2ab 2ab-2a2 =（b b 、2 2a-2 3-1+52 2 1+2x-1+V5 2 2x-1+V5 2 -1+5 2 2 35+5 4. 23.【详解】(1)证明：：△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠ABC=60°，BA=BC, :∠AEB+∠ACB=180°， .∠AEB=120°， 由翻折得∠ABC=∠DC-AE8=60,AE=DE: 答案第10页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FE=FB, ∴.△FBE为等边三角形， ∠EBF=6O°，BE=BF, .∠CBF=∠ABE, 在△CBF和△ABE中 (BC=BA ∠CBF=∠ABE BF=BE △CBF≌△ABE(SAS) .CF=AE=DE. .CE=FE+CF=BE+DE (2)解：①√2CE=DE+BE,理由如下， 过点B作BF⊥CE,如图， D .∠BFE=∠BFC=90° :∠ACB=90°，∠AEB+∠ACB=180°， ∠AEB=90°， 折得ABC=DC∠AEB=4,AEE .在△BFE中∠BFE=90°，∠DEC=45°， .∠EBF=45°， ∴.△BFE是等腰直角三角形， BF√2 ∴.FE=BF,BE2, :△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 答案第11页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CB2 .∠ABC=45°，AB2, ∴.∠EBF=∠ABC=45 ·∠CBF=∠ABC-∠ABF=45°-∠ABF, ∠ABE=∠EBF-∠ABF=45°-∠ABF, .∠CBF=∠ABE, .∠AEB=∠BFC=90° .△CBFP△ABE」 CB CF BF 1 AB AE BE2, CF-AE FBE 2 2 .AE=DE,FE=BF, CF-DE FE-BE 2 2 CE=CF+FE, CE-DEBE 2 2 ..2CE DE+BE. 解： .CE=52 BE=4AE CE=DE+BE .10=DE+4AE, AE =DE, .5AE=10, .AE=2, .BE=4×2=8. CF-AE BF-BE 2 2 答案第12页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF-12 BF-4 在RtBFC中，根据勾股定理得BC=VCF+BF :BC=V2+32=V54 答案第13页，共2页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如果，那么有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题的关键． 根据比例的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 2．（本题4分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 3．（本题4分）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 4．（本题4分）制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 5．（本题4分）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 6．（本题4分）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据相似三角形的判定，得，得到，即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 7．（本题4分）如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（    ） A．1.5 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，先证明得，求出，，可得，化简得，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】解：在等边中，， ∵， ∴， 又∵， ∴　， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ 整理得， 这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 将代入函数解析式得：， 因此，的最小值为3， 故选：D． 8．（本题4分）比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 的面积为，的面积为， ∴． 9．（本题4分）如图，在中，为边上一点，且，连接，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形和相似三角形的性质，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（本题4分）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，交于点，利用正方形性质以及证明，得到，，为定值；再结合，通过相似证明，推出，设，从而得到其余选项比值随、移动改变． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则四边形为矩形， ∴，，， 又，， ∴， 又四边形是正方形， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在点，运动的过程中，为定值，为，B正确； 又，， ∴， ， 设， 则，，，， ， ， 不是定值，A错误； 不是定值，C错误； 不是定值，D错误． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）若，则___________． 【答案】 【分析】将所求分式拆分变形，结合已知比例关系代入计算即可得到结果． 【详解】解： 12．（本题5分）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 13．（本题5分）宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义，依次求出线段，的长度，再利用线段的和差关系计算的长度即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， 根据黄金分割的定义得：， 又点是线段的黄金分割点，， ， ， 代入得：． 14．（本题5分）某施工队要搭建一个直角三角形的钢架支架，其中，．为了加固支架，施工队从点引出一条角平分线平分，再从点向作垂线，垂足为，用于固定支撑，则的度数为________，在上述钢架结构中，的值为_________． 【答案】 【分析】对于第一空，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进一步求出的度数即可得到答案；对于第二空，延长交于点F，证明，得到，则，解直角三角形得到，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法， 分别求出和的各边长度，再根据对应边成比例即可解答． 【详解】证明：如答图，过点C作，交于点H. 由A，B，C三点的坐标可以得到, ， ， 在和中， ，，， ∴. ． 17．（本题8分）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 18．（本题8分）如图，在矩形中，点为边上的中点，连接、，若，求证：． 【答案】证明：如图，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为边上的中点， ∴ ∴，     ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． 【分析】设交于点，证明，得出，进而证明，即可得证． 【详解】略 19．（本题10分）如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质以及平行线的性质证明即可； （2）连接，过点分别作，垂足为点，先证明，则，，设，则在等腰中，，则，可得是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，则，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点分别作，垂足为点， ∵ ∴ 由旋转可得， ∵ ∴ ∴，， 设， 则在等腰中， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 20．（本题10分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据即可证明； （2）证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， 在和中 ； （2）证明：由（1）得， ， 又 又（公共角）， 21．（本题12分）如图1，在中，平分，交于点E，与对角线交于点O． (1)求证：． (2)如图2，过点C作于点F，交于点G． ①若，，求的长． ②若，，求的值． 【答案】(1)证明：如图， ∵平行四边形中， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴； (2)①；② 【分析】（1）根据平行证明以及即可； （2）①可设，然后对运用勾股定理建立方程求解； ②延长交于点，由设，，在平行四边形中，，，然后解求出，同理可得，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵ ∴ ∵在中，， 又∵ ∴ 设 ∴， ∵ ∴在中，由勾股定理得 ∴ 整理得， 解得， ∵ ∴ ∴不符合题意，舍去； ∴； ②延长交于点， 由（1）可得 设， 在平行四边形中，，， 同（1）可证明 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 22．（本题12分）如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； (2)①解：，理由如下： 由轴对称的性质可得，， ∵ ， ∴， ∴； ∵平分， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由轴对称的性质可得，可证明，得到，据此可证明四边形为平行四边形； （2）①由轴对称的性质可得，，则可证明，得到；可证明，得到；设，则；根据三角形内角和定理可求出，可证明，得到，则；证明，得到，则可证明；②设，则，可得，；证明，可推出，进而得到；证明，得到；再证明，得到；由勾股定理得，则可得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略； ②设， 由（2）①得， ∴， ∴； 由（2）①得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 由（2）①可得， ∴， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴ ． 23．（本题14分）如图，点在下方，，将沿翻折，点的对应点落在上． 【模型建立】 (1)如图1，是等边三角形，点在上，且，求证：． 【模型应用】 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，． ①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由翻折得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用手拉手证明，再换算即可． （2）构造等腰，利用对应角相等，得，再换算即可．利用中结论计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，理由如下， 过点作，如图， ∴， ∵，， ， 由翻折得，， ∴在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如果，那么有（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．（本题4分）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 5．（本题4分）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（    ） A．1.5 B． C．2 D．3 8．（本题4分）比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，为边上一点，且，连接，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（本题4分）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）若，则___________． 12．（本题5分）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 13．（本题5分）宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 14．（本题5分）某施工队要搭建一个直角三角形的钢架支架，其中，．为了加固支架，施工队从点引出一条角平分线平分，再从点向作垂线，垂足为，用于固定支撑，则的度数为________，在上述钢架结构中，的值为_________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 17．（本题8分）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 18．（本题8分）如图，在矩形中，点为边上的中点，连接、，若，求证：． 19．（本题10分）如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 20．（本题10分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 21．（本题12分）如图1，在中，平分，交于点E，与对角线交于点O． (1)求证：． (2)如图2，过点C作于点F，交于点G． ①若，，求的长． ②若，，求的值． 22．（本题12分）如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 23．（本题14分）如图，点在下方，，将沿翻折，点的对应点落在上． 【模型建立】 (1)如图1，是等边三角形，点在上，且，求证：． 【模型应用】 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，． ①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）； ②若，，求的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如果，那么有（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．（本题4分）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 5．（本题4分）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（    ） A．1.5 B． C．2 D．3 8．（本题4分）比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，为边上一点，且，连接，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（本题4分）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）若，则___________． 12．（本题5分）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 13．（本题5分）宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 14．（本题5分）某施工队要搭建一个直角三角形的钢架支架，其中，．为了加固支架，施工队从点引出一条角平分线平分，再从点向作垂线，垂足为，用于固定支撑，则的度数为________，在上述钢架结构中，的值为_________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 17．（本题8分）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 18．（本题8分）如图，在矩形中，点为边上的中点，连接、，若，求证：． 19．（本题10分）如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 20．（本题10分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 21．（本题12分）如图1，在中，平分，交于点E，与对角线交于点O． (1)求证：． (2)如图2，过点C作于点F，交于点G． ①若，，求的长． ②若，，求的值． 22．（本题12分）如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 23．（本题14分）如图，点在下方，，将沿翻折，点的对应点落在上． 【模型建立】 (1)如图1，是等边三角形，点在上，且，求证：． 【模型应用】 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，． ①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）； ②若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $