第21章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数与反比例函数单元复习强化卷，覆盖函数定义、图象性质、实际应用等核心内容，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，结合动车行驶、刀削面运动等真实情境，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数定义（2题）、反比例函数图象（1题）、抛物线性质（3题）|结合广州南站到江门站动车行程（4题）考查反比例函数模型，体现数学眼光观察现实| |填空题|6/12|函数图象平移（15题）、k值几何意义（14题）|第17题结合抛物线与x轴交点求线段长，渗透几何直观| |解答题|8/72|二次函数顶点坐标（19题）、利润问题（24题）、抛物线与三角形面积（25题）|24题以商场销售为背景构建函数模型，25题综合抛物线表达式与面积计算，强化运算能力与推理意识|

第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D A D B C C C C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． -1 12. 4 13． 14． 6 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 16.【答案】(1)，；(2)5；(3)或． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，确定参数，将点B坐标代入反比例函数解析式，得参数，将两点坐标代入一次函数解析式，得方程组求解确定一次解析式； （2）由图，以为底求面积，的面积； （3）图象法求解，观察函数图象，在第一、三象限内，直线位于双曲线上方（含交点）时自变量取值范围为解集． 【详解】（1）解：由题意知，，得， ∴ ∴ ∴ 点在上，则 ，解得 ∴． （2）解：如图，的面积=BC·[2-(-3)]=5． （3）解：由知， 解集为或． 17．【答案】（1） （2）气体压强为 （3）体积V应不少于 【分析】（1）由已知点的坐标，可得表达式；（2）令V=40，带入表达式，可求得p的值；（3）根据p=400求出V的值，再由反比例函数的增减性可得V的范围。 【详解】（1）设p=，将（30，200）带入，可得k=6000，所以表达式为p=； （2）当V=40时，p=150，所以气体压强值为150kPa； （3）当p=400时，V=15，p随V的增大而减小，由于注射器内气体的压强不能超过，则其体积V的范围为V≧15，所以体积V应不少于 18. 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 19．【答案】(1)或2； (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 20. 【答案】(1)①；② (2)每组手办降价5元时利润可以为3500元 (3)当时，有利润的最大值为3600元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② （2）根据题意得：，     整理得：， 解得：，．     答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． （3）每天的利润为， 则      ， 当时，有利润的最大值为3600元． 21.【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22.【答案】(1) ；（2）点P的坐标为（2，-3） 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值； （2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标． 【详解】解：（1）根据题意，将点A（-1， 0）和点B（0，-5）代入解析式得 解得 ， ∴二次函数的表达式为， （2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 由于P是对称轴上一点， 连结AB，由于， 要使△ABP的周长最小，只要最小 由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC 因而BC与对称轴的交点P就是所求的点 设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得 所以直线BC的解析式为 因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得 所求的点P的坐标为（2，-3） 23．【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线顶点式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A 2.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度， 得到的二次函数解析式是（　　 ） A. B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度， 得到的二次函数解析式是． 故选：D． 3．对于反比例函数.下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在二，四象限内 B．图象经过点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点都在函数的图象上，且时，则 【答案】D 【分析】由于反比例函数解析式中比例系数k=-2026＜0，故图象的两支分别分布于二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、C选项；将x=-1代入反比例函数解析式算出对应的函数值可判断B选项，当A、B两点在不同的象限的时候，即x1＜0＜x2，y1＞y2，据此可判断D选项. 【详解】解：∵，， ∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 当时，， ∴图象经过点， A、选项正确，不符合题意； B、选项正确，不符合题意； C、选项正确，不符合题意； D、当时，，选项错误，符合题意； 故答案为：D. 4.点均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下，而点到对称轴的距离最远，点最近， ∴， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y= （m≠0）的图象相交于点A（-2，3），B（6，-1），则不等式kx+b＞ 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】求不等式 kx+b＞ 的解集 就是求一次函数的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，但要注意，反比例函数的图象一定不会与坐标轴相交这一限制。 【详解】解：∵函数y=kx+b（k≠0）与y= （m≠0）的图象相交于点A（-2，3），B（6，-1）， ∴不等式kx+b＞ 的解集为：x＜-2或0＜x＜6， 故答案为：D. 6．如图，已知双曲线y= （k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　） A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】B 【分析】△AOC的面积=△AOB的面积-△BOC的面积，由点A的坐标为（-6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=12|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可． 【详解】∵OA的中点是D，点A的坐标为（-6，4）， ∴D（-3，2）， ∵双曲线y= 经过点D， ∴k=-3×2=-6， ∴△BOC的面积= |k|=3． 又∵△AOB的面积= ×6×4=12， ∴△AOC的面积=△AOB的面积-△BOC的面积=12-3=9． 故答案为：B． 7．二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 8.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①；②；③当时，y随x的增大而增大；④， 其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 9.如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（　　 ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 10.为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），甲、乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，最低点，且经过点．下列结论中：①； ②； ③甲船的速度为；④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，则时刻对应的两船距离平方为；其中正确的有（　　 ） A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，利用勾股定理得出甲、乙两船距离的平方y与t满足二次函数关系，再结合图象上已知点的坐标，利用图象性质逐一分析即可求解． 【详解】解：当时，甲船在点A处，乙船在点B处此时两船距离为， 已知函数图象与y轴交于点，即当时，， 因为y表示甲、乙两船距离的平方， 所以，即，故①正确； 设甲船的速度为，乙船的速度为，经过时间为，甲船航行的距离为，乙船航行的距离为， 根据勾股定理得， ∴y与t满足二次函数关系， ∵点，点， ∴根据二次函数图象性质得，最低点E的横坐标，故②错误； 根据题意，乙船航行的时间时，， 解得， ∵过点， ∴， 解得，故③正确； ∵存在2个时刻，对应的两船距离相等， ∴根据二次函数性质得， 又因为， 所以， ∵， 把，，代入得：，故④正确， 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．当 时，函数是二次函数． 【答案】－1 【分析】二次函数要求二次项系数不为0，且指数为2，列出相应式子求解即可。 【详解】解：依题意得：a2+1=2且a-1≠0， 解得a=-1． 故答案是：－1. 12. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n =______． 【答案】4． 【分析】二次函数图象与x轴交点个数由根的判别式决定，令△=0，求解即可。 【详解】】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4． 13．反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，其中 ，则 的大小关系是　 　． 【答案】 【分析】根据k>0可得，在每一象限内y随x的增大而减小，且第一象限的函数值大于第三象限的函数值，再根据即可判断出y1、y2、y3的大小关系. 【详解】 反比例函数 中的 ， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 点 ， ， 在此函数图象上，且 ， ， ， 故答案为： （或 ）． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A （0，4）， B（3，4），将△ABO向右平移到 △CDE 位置， A 的对应点是 C， O的对应点是 E，函数 的图象经过点 C 和DE的中点 F，则k的值是　 　． 【答案】6 【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值. 【详解】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G， ∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形 ∴AC＝OE＝BD， 设AC＝OE＝BD＝a， ∴四边形ACEO的面积为4a， ∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴， ∴FG为△EDQ的中位线， ∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝， ∴四边形HFGO的面积为2（a＋）， ∴k＝4a＝2（a＋）， 解得：a＝， ∴k＝6． 故答案为：6． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 16.如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴，垂足为，求的面积． (3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)5；(3)或． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，确定参数，将点B坐标代入反比例函数解析式，得参数，将两点坐标代入一次函数解析式，得方程组求解确定一次解析式； （2）由图，以为底求面积，的面积； （3）图象法求解，观察函数图象，在第一、三象限内，直线位于双曲线上方（含交点）时自变量取值范围为解集． 【详解】（1）解：由题意知，，得， ∴ ∴ ∴ 点在上，则 ，解得 ∴． （2）解：如图，的面积=BC·[2-(-3)]=5． （3）解：由知， 解集为或． 17．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体压强为 （3）体积V应不少于 【分析】（1）由已知点的坐标，可得表达式；（2）令V=40，带入表达式，可求得p的值；（3）根据p=400求出V的值，再由反比例函数的增减性可得V的范围。 【详解】（1）设p=，将（30，200）带入，可得k=6000，所以表达式为p=； （2）当V=40时，p=150，所以气体压强值为150kPa； （3）当p=400时，V=15，p随V的增大而减小，由于注射器内气体的压强不能超过，则其体积V的范围为V≧15，所以体积V应不少于 18. 小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1) 求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2) 已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 19．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1) 当t为何值时，的长度等于？ (2) 是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2； (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 20. 某手办商家推出的产品深受同学们的喜欢，有一组手办（2个）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． (1)用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． (2)当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3)当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2)每组手办降价5元时利润可以为3500元 (3)当时，有利润的最大值为3600元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② （2）根据题意得：，     整理得：， 解得：，．     答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． （3）每天的利润为， 则      ， 当时，有利润的最大值为3600元． 21.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1) 求此抛物线的函数表达式； (2) 有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处， 之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行． 如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22.如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．    【答案】(1) ；（2）点P的坐标为（2，-3） 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值； （2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标． 【详解】解：（1）根据题意，将点A（-1， 0）和点B（0，-5）代入解析式得 解得 ， ∴二次函数的表达式为， （2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 由于P是对称轴上一点， 连结AB，由于， 要使△ABP的周长最小，只要最小 由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC 因而BC与对称轴的交点P就是所求的点 设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得 所以直线BC的解析式为 因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得 所求的点P的坐标为（2，-3） 23．在二次函数中． (1) 若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2) 若点在抛物线上，令，求证：． (3) 如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是 A． B． C． D． 2.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度， 得到的二次函数解析式是（　　 ） A. B． C． D． 3．对于反比例函数.下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在二，四象限内 B．图象经过点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点都在函数的图象上，且时，则 4.点均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（　　 ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y= （m≠0）的图象相交于点A（-2，3），B（6，-1），则不等式kx+b＞ 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 6．如图，已知双曲线y= （k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　） A．12 B．9 C．6 D．4 7．二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（　　 ） A． B． C． D． 8.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①；②；③当时，y随x的增大而增大；④， 其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9.如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（　　 ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10.为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），甲、乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，最低点，且经过点．下列结论中：①； ②； ③甲船的速度为；④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，则时刻对应的两船距离平方为；其中正确的有（　　 ） A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．当 时，函数是二次函数． 12. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n =______． 13．反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，其中 ，则 的大小关系是　 　． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A （0，4）， B（3，4），将△ABO向右平移到 △CDE 位置， A 的对应点是 C， O的对应点是 E，函数 的图象经过点 C 和DE的中点 F，则k的值是　 　． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 16.如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴，垂足为，求的面积． (3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集． 17．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 18. 小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1) 求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2) 已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 19．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1) 当t为何值时，的长度等于？ (2) 是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20. 某手办商家推出的产品深受同学们的喜欢，有一组手办（2个）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． (1)用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． (2)当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3)当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 21.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． 按如图所示建立平面直角坐标系． (1) 求此抛物线的函数表达式； (2) 有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22.如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．    23．在二次函数中． (1) 若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2) 若点在抛物线上，令，求证：． (3) 如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $