3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，通过课前表格对比不同标准方程的焦点、准线等性质，结合入木三分问题深化理解，搭建从方程到几何特征的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，如例2利用抛物线对称性简化圆与抛物线交点计算，例3将最值问题转化为函数求解。采用问题链与探究活动结合的教学方法，帮助学生提升逻辑推理能力，教师可借助结构化资料高效开展教学。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 (第1课时) 素养目标 1.掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(直观想象、数学运算)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 3 要点　抛物线的几何性质 第页 第页 答：参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大． 1．抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？ 答：有一条对称轴． 2．抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？ 答：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误． 3．参数p对抛物线开口大小有何影响？ 返 回 课时学案 7 例 1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 题型一　 抛物线的几何性质的应用 第页 8 探究1 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 第页 第页 例 2 √ 第页 第页 探究2 抛物线对称性的应用 涉及抛物线的内接几何体是具有对称性的几何图形问题时，要注意借助抛物线的对称性及数形结合思想的应用． 第页 思考题2　(1)已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p＞0)上存在两点 E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________． 第页 (2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________． 【解析】　由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，不妨设A(x0，y0)在x轴上方，过点A作AH⊥x轴于点H， 在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，x0＞1， 由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°， 第页 第页 例 3 √ 题型二　 最值问题 第页 17 探究2 抛物线上的点有关的最值的求法 求解与抛物线上的点有关的最值问题，可借助抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线上的点的坐标的取值范围． 第页 思考题3　已知直线l：3x－4y－12＝0，若P为抛物线x2＝4y上的动点， 则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为_____________． 返 回 课后巩固 20 解析　抛物线的标准方程中一次项的系数的绝对值最小则开口最小，观察四个选项可知A选项一次项的系数的绝对值最小，故选A. √ 第页 √ 第页 √ 第页 √ 第页 5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． 返 回 请做：课时作业（三十九） 教师备用资料 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【解析】　椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq \f(p,2)＝3， ∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3，x＝3. 【解析】　因为点(eq \r(3)，－6)在第四象限， 所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)． 因为点(eq \r(3)，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p·eq \r(3). 解得2p＝12eq \r(3)，所求抛物线的标准方程为y2＝12eq \r(3)x. 若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(1,2)y. 思考题1　求顶点在原点，经过点(eq \r(3)，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程． 　圆(x－2)2＋y2＝9与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A.eq \f(4,3)或4　　　　　　　 B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,3)或4 D．4 【解析】　因为圆(x－2)2＋y2＝9和抛物线y2＝2px(p>0)都关于x轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A在第一象限，如图，设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，则B(x1，－y1)，则|AB|＝2y1＝4eq \r(2)，所以y1＝2eq \r(2).因为点A在圆(x－2)2＋y2＝9上，所以(x1－2)2＋8＝9，解得x1＝1或x1＝3，所以A(1，2eq \r(2))或A(3，2eq \r(2))．当A点坐标为(1，2eq \r(2))时，8＝2p，解得p＝4，当A点坐标为(3，2eq \r(2))时，8＝6p，解得p＝eq \f(4,3).综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为eq \f(4,3)或4. 【解析】　由于△OEF为等边三角形，根据抛物线的对称性可知E，F关于x轴对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，不妨设E在x轴上方，如图，所以E(2eq \r(3)，2)，将E(2eq \r(3)，2)代入y2＝2px，可得4＝4eq \r(3)p⇒p＝eq \f(\r(3),3). eq \f(\r(3),3) 4eq \r(3) 故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)， 所以点A的坐标为(x0，eq \r(3)(x0－1))，将A点坐标代入抛物线方程可得3xeq \o\al(2,0)－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)， 所以点A的坐标为(3，2eq \r(3))， 故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3). 　若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为(　　) A.eq \r(3)－1 B.eq \f(\r(10),2)－1 C．2 D.eq \f(\r(11),2)－1 【解析】　设P(x，y)，y2＝x，则P(x，y)到圆心的距离为d＝eq \r(（x－3）2＋y2)＝eq \r(（x－3）2＋x)＝eq \r(x2－5x＋9)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))\s\up18(2)＋\f(11,4)).∴当x＝eq \f(5,2)时，dmin＝eq \f(\r(11),2)，即|PQ|min＝eq \f(\r(11),2)－1. 【解析】　因为P为抛物线x2＝4y上的动点， 所以可设P2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x,4))) ， 则P到l的距离为d＝2,0)eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x0－4×\f(x,4)－12)),5) ＝2,0)eq \f(|x－3x0＋12|,5) ＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))\s\up18(2)＋\f(39,4))),5)， 则当x0＝eq \f(3,2)时，dmin＝eq \f(39,20)，此时Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,16))). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,16))) 1．下列抛物线中，开口最小的是(　　) A．y2＝eq \f(1,2)x　　　　　　　 B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x 解析　把A(x0，2)代入抛物线方程中可得2＝eq \f(1,8)×xeq \o\al(2,0)解得x0＝±4，因为该抛物线的对称轴为y轴，所以抛物线y＝eq \f(1,8)x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为4. 2．抛物线y＝eq \f(1,8)x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，连接PF，PO，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \o\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4). 4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4))) 解析　设点A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， ∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，连接AF， ∴AF⊥OB，点F不在AB上，∴kAF·kOB＝－1， 即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1.∴yeq \o\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))， 又∵yeq \o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2). $