第13章 三角形 章末检测 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册数学三角形章末检测，覆盖全章核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合跨学科情境与新定义问题，适配单元复习，有效考查几何直观、推理意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题36分|三角形高的作法、三边关系、内角和验证等|第12题结合物理光的反射定律，考查几何推理与跨学科应用| |填空题|6题18分|三角形稳定性、边与角关系、新定义“特征三角形”等|第18题以“特征三角形”定义，考查分类讨论能力| |解答题|6题66分|全等证明、动点问题、“黄金角”探究等|第23题引入“黄金角”新定义，第24题递进式探究角平分线性质，培养创新意识与推理能力|

人教版八年级上册数学第十三章三角形章末检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 2．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 3．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 4．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 5．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 6．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 8．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点H，点Q，先根据三角形的内角和定理和对顶角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设分别交、于点H，点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 10．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 11．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 12．物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图1）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．如图3，两块平面镜、，且，光线与所在的直线相交于点E，，则与之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平角的定义得出，利用外角的性质，而，即可证得． 【详解】解：， 理由如下：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 二、填空题 13．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 14．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 15．下图中有_________个三角形． 【答案】 【分析】先确定公共顶点三角形的个数，然后再确定线段交叉的三角形个数，二者相加即可求出． 【详解】解：以最上方顶点为公共顶点的三角形，分为两层，如下： 上层：， 下层：． 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 图中三角形的个数为：． 16．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 17．如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 18．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 【答案】或 【分析】设三角形三个内角为，，，已知一个内角为，分三种情况讨论后，结合钝角三角形的条件筛选符合要求的结果． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，， 当时，则， ∴， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 当时，则， ∴， 此时三角形是锐角三角形，不符合题意； 当时， ∴，解得：， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 综上：或． 三、解答题 19．如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 【答案】证明：，，，， ， ∴． 【分析】根据三角形内角和定理并结合题意得出，再结合平行线的判定定理即可得证． 【详解】略． 20．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 21．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 22．在中，，，． (1)求的度数； (2)在求的度数时，嘉琪说：“因为点位置不确定，可能在内，也可能在外，所以最后的结果是两个不同的数值．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)解：嘉琪的说法不正确，理由如下： 设，， 由（1）得． ①当点在内部时，如图， ∵，，在中，， ∴， 将代入得； ②当点在外部时，如图， 此时、与点分别在的两侧，仍满足，， 在中，， ∴； 综上所述，无论点在内部还是外部，的度数均为，故嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合已知的度数直接计算两角和； （2）分点在内部和外部两种情况，分别用三角形内角和计算的度数，验证结果是否一致． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）略． 23．阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)① ②解：是的黄金角，理由如下： 如图，为的边上的高，垂足为， ，， ， 平分， ， ． ， ， ， ， 为高， ， ， ， ， 即， 是的黄金角． 【分析】（1）根据“黄金角”的定义与互余的定义求解； （2）①根据三角形内角和为，将用表示出来，再根据角平分线与平行线的性质将用表示出来，最后利用“黄金角”的定义求解；②根据角平分线与平行线的性质将的度数求出来，根据三角形高的性质求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴，， ∵， 根据“黄金角”的定义得， ∴，解得． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵与互为“黄金角”,且， ∴， 解得． ②略 24．【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【答案】(1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册数学第十三章三角形章末检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共36分） 1．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 3．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 5．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A．B．C．D． 8．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 11．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 12．物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图1）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．如图3，两块平面镜、，且，光线与所在的直线相交于点E，，则与之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 13．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 14．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 15．下图中有_________个三角形． 16．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 17．如图所示，，则的度数为__度． 18．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 三、解答题（共66分） 19．（8分）如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 20．（10分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 21．（12分）如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 22．（12分）在中，，，． (1)求的度数； (2)在求的度数时，嘉琪说：“因为点位置不确定，可能在内，也可能在外，所以最后的结果是两个不同的数值．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 23．（12分）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 24．（12分）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《人教版八年级上册数学第十三章三角形章末检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D D A D B A B 题号 11 12 答案 A A 13． 14．三角形的稳定性 15． 16． 17．250 18．或 19．证明：，，，， ， ∴． 20．（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 21．（1）解：∵点P运动的距离是，∴； （2）解：∵，点P在上，∴，∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 22．（1）解：∵在中，，， ∴； （2）(2)解：嘉琪的说法不正确，理由如下： 设，， 由（1）得． ①当点在内部时，如图， ∵，，在中，， ∴， 将代入得； ②当点在外部时，如图， 此时、与点分别在的两侧，仍满足，， 在中，， ∴； 综上所述，无论点在内部还是外部，的度数均为，故嘉琪的说法不正确． 23．（1）解：∵与互余， ∴，， ∵， 根据“黄金角”的定义得， ∴，解得． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵与互为“黄金角”,且， ∴， 解得． ②解：是的黄金角，理由如下： 如图，为的边上的高，垂足为， ，， ， 平分， ， ． ， ， ， ， 为高， ， ， ， ， 即， 是的黄金角． 24．（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答案第4页，共4页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $