第13章三角形章末检测卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 同步练聚焦三角形章节核心知识，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|稳定性、三边关系、内角和|单选1-5（如三角形稳定性应用）、填空11-14（简单计算），夯实概念| |中档|外角性质、中线/角平分线、面积|单选6-10（重心与面积）、填空15-16（角平分线综合），融合2-3个知识点| |拔高|多知识点综合推理|解答20-21（外角平分线与内角关系），需构造辅助线，发展逻辑推理|

第13章三角形章末检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．三角形的稳定性广泛应用于生产生活中，但有一些物品不能利用三角形稳定性，以下物品不具备三角形稳定性的是（   ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．学校的伸缩大门 2．现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（   ）的木棒 A． B． C． D． 3．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 5．下列四个条件中，能确定为直角三角形的是（    ） A．在中，，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．的三个外角的度数之比是 6．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（   ） A．4.8 B．6 C．8 D．12 二、填空题 11．三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 12．在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形． 13．如图，的外角是______________． 14．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时，______． 15．如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则_______． 16．如图，已知，的平分线相交于点，过点且． （1）若，，则______； （2）若，，则_______． 三、解答题 17．（1）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． （2）已知，，是的三边长，化简：； 18．如图，已知：在中，，，点、分别为边、上的点，且．求证：． 证明：∵， ∴（______）， ∴． 又∵， ∴（______）， ∵， ∴______． ∴（______）． 19．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 20．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 21．【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形章末检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B A C D B B 1．D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：A、自行车的三角形车架具备三角形稳定性，不符合题意； B、三角形房架具备三角形稳定性，不符合题意； C、照相机的三脚架具备三角形稳定性，不符合题意； D、学校的伸缩大门不具备三角形稳定性，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，由此确定x的取值范围，再判断选项． 【详解】解：设第三根木棒长为， ∵已知两边长分别为和， ∴由三角形三边关系，得，即， 只有满足， 故选C． 3．B 【分析】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键． 由，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到，结合已知，，然后等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 5．B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及直角三角形的判定条件,逐项分析各条件是否能确保三角形有一个角为即可得出结果，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、和都是锐角，但可能为锐角或钝角,不能确定直角三角形，故A不符合题意； B、设三个内角为，，，则，解得，故三个角的度数分别为，，，有一个直角，能确定直角三角形，故B符合题意； C、由，，可得，由，可得，即，不能确定直角三角形，故C不符合题意； D、设三个外角为，，，则，解得，故三个外角分别为，，，对应内角为，，，不能确定直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 7．C 【分析】本题考查三角形外角的性质，和交于点，和交于点，根据三角形外角得到，，结合已知条件和三角形内角和可得，解方程即可． 【详解】解：设和交于点，和交于点， ∴是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，先根据邻补角的定义求得的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．可知的度数即为的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 所以的值为． 故选：B． 10．B 【分析】利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步推导各部分三角形的面积． 【详解】解：连接． ∵ 是的中线， ∴． ∴，即：． ∵， ∴． ∵ 是的中点， ∴． ∵ 是的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线与面积的关系，解题关键是多次利用“中线分三角形为面积相等的两部分”这一性质，逐步缩小面积范围，最终得到目标三角形的面积． 11．7 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求出a的取值范围，再结合a是奇数的条件进行判断． 【详解】由三角形的三边关系，得： ，即； ，即； ，恒成立． 所以． 又因为a是奇数， 所以， 故答案为：7． 12． 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴在中，若，则， ∵在中，， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：；；直角． 13．，， 【分析】本题考查三角形外角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据三角形外角的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 则图中的外角为，，， 故答案为：，，． 14． 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；根据轴对称的定义可知：，则，利用外角的性质将转化为，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值； 根据轴对称的定义可知： ， 则 ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，连接，设，根据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， 连接，设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴ 故答案为：． 16． /125度 /20度 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识的综合运用． （1）由角平分线的定义可求解，，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求，的度数，根据平行线的性质即可得，的度数，利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）和的平分线与相交于点， 所以，， 又，， ，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ，， ， ，， 和的平分线与相交于点， ，． ． 故答案为：． 17．(1) ,   (2) 0 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）分情况讨论等腰三角形的腰长和底边长，结合三角形三边关系判断是否成立． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质化简． 【详解】解：（1）情况一：当为腰长时，底边长为． ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 此情况不成立． 情况二：当为底边长时，腰长为． ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 另两边长均为． 综上，另两边的长为，； （2）∵ ，，是的三边长， ∴ ，即， ∴． ∴ ． 18．见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的判定定理，根据题意得出是解答此题的关键．先根据得出，再根据，进而可得出，由，可知，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴（垂直的定义）， ∴， 又∵， ∴，（同角的余角相等） ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 19．的度数为；的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得． 【详解】解：，， ， 、是的角平分线，， ，， ， 是高线， ， ， ． 20．(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 21．(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $