2.2基本不等式2 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式2同步练，以梯度化题型设计（选择/填空/解答）实现从概念辨析到实际建模的进阶，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念辨析|聚焦公式成立条件（如选择6判断等号成立情况）| |中档|公式直接应用|结合简单实际情境（如填空10求2x+1/x最小值）| |提升|综合应用与建模|融入复杂情境设计（如解答13多间虎笼面积优化问题）|

基本不等式2 一、选择题 1．【2026·广东·质量检测】已知a≠0，则下列各不等式恒成立的是(　　) A．a＋>2 B．a＋≥2 C．a＋≤－2 D．≥2 【答案】D 【解析】取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A、B不正确；取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确；因为a，同号，所以＝|a|＋≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确． 2．【2026·河南·专题练习】将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4 m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，最合适(够用且浪费最少)的是(注：≈1.414)(　　) A．9 m B．9.5 m C．10 m D．10.5 m 【答案】C 【解析】由题意，设直角三角形的两条直角边为x，y(x>0，y>0)，则S＝xy＝4，则xy＝8，此时三角形框架的周长L＝x＋y＋≥2＋＝4＋4，当且仅当x＝y时，等号成立，由于≈1.414，所以4＋4≈4×1.414＋4＝9.656.观察选项知C项最合适． 3. 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知x＞0，函数的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵x＞0，∴函数，当且仅当x=3时取等号， ∴y的最小值是6．故选：C． 4．【2026·广东·质量检测】不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 【答案】C 【解析】由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 5．【2026·河南·专题练习】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　 B．s>t C．s≤t D．s<t 【答案】A 【解析】∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s. 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】下列不等式中等号可以取到的是(　　) A．＋≥2 B．x2＋2＋≥2 C．x2＋≥2 D．|x|＋3＋≥2 【答案】C 【解析】对于A，因为>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x2＝－4时取等号，但此时无解，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1时取等号，但此时无解，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为x2>0，所以x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋≥2＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2时取等号，但此时无解，故等号不成立，故D不符合． 7．(多选)【2026·广东·质量检测】下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 【答案】BC 【解析】A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立； B中，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，所以B一定成立； C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立； D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立． 8．(多选)【2026·广东·质量检测】下列条件可使＋≥2成立的有(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 【答案】ACD 【解析】根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 二、填空题 9.【2026·河南·专题练习】有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为____m2(围墙厚度不计).  【答案】2500 【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50),∴x=25时,Smax=2 500. 10． 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知x>0，则2x＋的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由x>0，得2x＋≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，所以2x＋的最小值为4. 11．【2026·广西南宁·质量检测】某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为144 m2的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是 m. 【答案】48 【解析】设矩形菜地的长为a m(a>0)，宽为b m(b>0)，则ab＝144，因为a＋b≥2＝24，当且仅当a＝b＝12时，取等号，所以需要的篱笆长度至少是2×24＝48 m． 三、解答题 12．【2026·四川内江·质量检测】设 求证： 【解析】 当且仅当，取“=”号。 故 13.【2026·广西南宁·质量检测】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 【解析】 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝＝y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤＝. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式2 一、选择题 1．【2026·广东·质量检测】已知a≠0，则下列各不等式恒成立的是(　　) A．a＋>2 B．a＋≥2 C．a＋≤－2 D．≥2 2．【2026·河南·专题练习】将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4 m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，最合适(够用且浪费最少)的是(注：≈1.414)(　　) A．9 m B．9.5 m C．10 m D．10.5 m 3. 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知x＞0，函数的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．【2026·广东·质量检测】不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 5．【2026·河南·专题练习】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　 B．s>t C．s≤t D．s<t 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】下列不等式中等号可以取到的是(　　) A．＋≥2 B．x2＋2＋≥2 C．x2＋≥2 D．|x|＋3＋≥2 7．(多选)【2026·广东·质量检测】下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 8．(多选)【2026·广东·质量检测】下列条件可使＋≥2成立的有(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 二、填空题 9.【2026·河南·专题练习】有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为____m2(围墙厚度不计).  10．【2025·甘肃兰州·质量检测】已知x>0，则2x＋的最小值为 ． 11．【2026·广西南宁·质量检测】某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为144 m2的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是 m. 三、解答题 12．【2026·四川内江·质量检测】设 求证： 13.【2026·广西南宁·质量检测】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $