专题01 一次函数的图象和性质（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以k和b的核心作用为起点，通过5大题型系统构建一次函数图象性质的解题方法体系，融合抽象概括与几何直观，实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |k和b的作用|1典例+11变式|k的符号/绝对值/平行关系、b的截距规律|从k,b的基本属性到函数增减性、象限分布的推理| |求参数|1典例+10变式|根据象限/增减性确定k,b符号范围|性质应用到参数求解的逆向推理| |图象共存|1典例+10变式|k,b符号与图象象限的对应判定|多函数图象特征的综合分析与辨析| |图象平移|1典例+7变式|上下/左右平移的解析式变换规律|平移对函数表达式影响的直观建模| |将军饮马问题|1典例+2变式|轴对称转化线段求最值|几何变换思想在函数背景下的应用|

专题01 一次函数的图象和性质 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数中k和b的作用 题型02 根据一次函数图象或性质求参数 题型03 多个一次函数图象共存问题 题型04 一次函数图象的平移 题型05 一次函数中的将军饮马问题 ▌题型01 一次函数中k和b的作用 一、k的作用 1.k的符号 k的符号 增减性 象限 两点关系 k>0 y随x的增大而增大 一、三 若x1>x2，则y1>y2（同增） k<0 y随x的增大而减小 二、四 若x1>x2，则y1<y2（异减） 2.k的绝对值 k的绝对值越大，y随x的变化速度越快，图象越陡，越靠近y轴 k的绝对值越小，y随x的变化速度越慢，图象越平，越靠近x轴 3.若直线l1∥l2，则k1=k2；若k1=k2，则直线l1∥l2。 二、b的作用 一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，b） b的符号 与y轴交点 象限 b>0 正半轴 一、二 b<0 负半轴 三、四 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于一次函数y=x+1，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期中）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限． 【变式1-2】已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【变式1-3】已知点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”或“＜”）． 【变式1-4】如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【变式1-6】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【变式1-7】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【变式1-8】已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-9】一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第________象限． 【变式1-10】一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-11】已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． ▌题型02 根据一次函数图象或性质求参数 根据图象所过象限、函数增减性、与y轴交点等信息，我们可以确定k或b的符号，进而求得参数的范围。 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是 ．（写一个即可） 【变式2-2】若y关于x的函数是正比例函数，则m，n应满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-3】（25-26八年级上·云南大理·期末）已知函数的值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式2-4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式2-5】（25-26八年级上·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【变式2-6】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 【变式2-7】（25-26八年级上·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【变式2-8】当m＝　　时（写出m的一个值），一次函数y＝（2m﹣1）x+1的值都是随x的增大而减小． 【变式2-9】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-10】已知y关于x的一次函数为． (1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？ (2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？ (3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围． ▌题型03 多个一次函数图象共存问题 根据k和b的符号，可以确定一次函数的大致图象 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx k>0 b＞0 b＜0 b=0 k<0 b>0 b<0 b=0 【典例3】一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ；② ；③ 当时，；④． 其中正确的是 （只填写序号）． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（    ） A．  B．  C．D．   【变式3-5】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】（25-26八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【变式3-7】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【变式3-8】（25-26八年级上·广东普宁·期末）一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）与y2＝﹣abx（a、b是常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-9】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式3-10】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（    ）    A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ ▌题型04 一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b ①向上平移m个单位，得到y=kx+b+m ②向下平移m个单位，得到y=kx+b-m ③向左平移m个单位，得到y=k(x+m)+b ④向右平移m个单位，得到y=k(x-m)+b 【典例4】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后，得到函数图象的解析式为 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-4】（25-26八年级上·云南临沧·期末）将一次函数的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为 ． 【变式4-5】已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-6】将直线：，先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到直线 ，则平移后得到直线的解析式为 ． 【变式4-7】（25-26八年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． ▌题型05 一次函数中的将军饮马问题 我们在轴对称图形这一章节中，接触过将军饮马问题，它的核心思想是通过轴对称，将线段转化，从而解决一类最小值问题。在一次函数中，我们可以用同样的办法，求出对称点的坐标，再利用勾股定理，求出最短距离，或者求出直线的表达式和点的坐标。 【典例5】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为　 　 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为　 　． 【变式5-2】（25-26八年级上·江西萍乡·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数的图象和性质 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数中k和b的作用 题型02 根据一次函数图象或性质求参数 题型03 多个一次函数图象共存问题 题型04 一次函数图象的平移 题型05 一次函数中的将军饮马问题 ▌题型01 一次函数中k和b的作用 【典例1】 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 【变式1-1】 【答案】四 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点位于的象限，根据函数增减性可知，从而得到，通过点在象限的特征进行判断即可． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， ， 则点在第四象限， 故答案为：四． 【变式1-2】 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 【变式1-3】 【答案】＞ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解题的关键． 根据正比例函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在正比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：＞． 【变式1-4】 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数中值的大小比较，解题的关键是作直线与已知直线产生交点，将值转为交点的纵坐标．作直线与两直线分别交于A，B两点，将值的大小比较转化为A，B两点的纵坐标大小比较． 【详解】如下图所示，作直线与两直线分别交于A，B两点，易得，， 由图知，，即． 故选：A． 【变式1-5】 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【变式1-6】 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 【变式1-7】 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 【变式1-8】 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与的值有关是解题的关键．根据一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【变式1-9】 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质和图象，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而增大，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【变式1-10】 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-11】已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】7 【分析】根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】∵一次函数中， ， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 故答案为：7． ▌题型02 根据一次函数图象或性质求参数 【典例2】 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当，时，一次函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 先根据一次函数的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴ ∴b可以等于（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】 【答案】D 【分析】正比例函数的解析式为，其中，据此求解． 【详解】解： 是正比例函数， 且， 且． 故选D． 【变式2-3】 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于的不等式即可． 【详解】解：∵函数的值随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2-5】 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 【变式2-6】 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-7】 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 【变式2-8】 【答案】﹣1 【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到：2m﹣1＞0，由此求得m的取值范围，然后写出m的一个值． 【详解】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+1的值都是随x的增大而减小， ∴2m﹣1＜0， ∴m． ∴m＝﹣1符合题意． 故答案为：﹣1． 【变式2-9】 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2-10】 【答案】(1)当，n为任意数时，y随x的增大而增大 (2)当时，函数图象经过原点 (3)若图象经过第一、二、三象限， 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象的性质解答． （1）根据一次函数，时，y随x的增大而增大，可得答案； （2）根据一次函数，且时，函数的图象经过原点，可得答案； （3）根据一次函数，，时，函数的图象经过第一、二、三象限，可得答案． 【详解】（1）解：当，n为任意数时，y随x的增大而增大； （2）解：当时，函数图象经过原点； （3）解：若图象经过第一、二、三象限， ▌题型03 多个一次函数图象共存问题 【典例3】 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据b的正负判断一次函数图象所经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系分析即可解答． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限； 一次函数的图象经过第一、二、四象限； 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 【变式3-1】 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 【变式3-2】 【答案】①④ 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 【变式3-3】 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数的图象经过第二象限，可以得到，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二象限， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【变式3-4】 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案． 【详解】解：①当时，m、n同号，过一、三象限， m，n同正时，经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当时，m、n异号，过二、四象限， ，时，经过一、三、四象限；，时，过一、二、四象限； 结合各选项可知D正确， 故选：D． 【变式3-5】 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 【变式3-6】 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作出判断． 【详解】解：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的， 故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 【变式3-7】 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 【变式3-8】 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y1＝ax+b图象分析可得a、b的符号，进而可得﹣ab的符号，从而判断y2＝﹣abx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由图象可知a＜0，b＞0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数y2＝﹣abx经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知a＞0，b＞0， ∴﹣ab＜0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，正确，符合题意； C、由一次函数图象可知a＞0，b＜0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-9】 【答案】B 【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】解：根据图象知： A、，则，正比例函数的图象不对，不符合题意； B、，则．图象正确，符合题意； C、当，过一、二、三象限，不符合题意； D、正比例函数的图象不对，不符合题意； 故选：B． 【变式3-10】 【答案】D 【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解． 【详解】解：①、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则①错误，故不符合题意； ②、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则②正确，故符合题意； ③、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则③错误，故不符合题意； ④、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则④正确，故符合题意， 故选D． ▌题型04 一次函数图象的平移 【典例4】 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 【变式4-1】 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 【变式4-2】 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 【变式4-3】 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后， 得到， 把代入， 得， 解得， 故选C． 【变式4-4】 【答案】 【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将一次函数的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为：，即， 故答案为：． 【变式4-5】 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数图象平移规律即可得到，根据一次函数性质判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限， ，解得， ． 故选：B． 【变式4-6】 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移变换规律是解题关键．根据一次函数图象的平移变换规律即可得． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 【变式4-7】 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算和的长是解本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算和时对应的值，可得和的值，根据的面积为2，列方程可得结论． 【详解】解：直线沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线， 当时，， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：4． ▌题型05 一次函数中的将军饮马问题 【典例5】 【答案】 【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【详解】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小. 当x=0时，y=2×0+4=4， ∴点B的坐标为(0，4)； 当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2， ∴点A的坐标为(-2，0)． ∵M、N分别是AB、OA的中点， ∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)， ∴点M′的坐标为(1，2)． 设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得： ， 解得：， ∴直线M′N的解析式为y=x+1． 当x=0时，y=0+1=1， ∴点P的坐标为(0，1)． 故答案为：(0，1)． 【变式5-1】 【答案】 【分析】根据点的对称性，可OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF；根据两点之间线段最短，可判断三角形周长最小时的值；根据正比例函数的性质，可得∠AOB=45°；根据勾股定理即可求解. 【详解】解：作点P关于OA和OB的对称点分别为E和F，连接EF，作OH⊥EF交EF于点H，如下图： ∵点P关于OA和OB的对称点分别为E和F ∴OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF ∵三角形PAB的周长=PA+PB+AB=AE+BF+AB ∴当E、A、B、P四点共线时，三角形的周长最小，此时三角形PAB的周长=EF ∵∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB ∴∠EOF=2∠AOB ∵点A（m，m）在直线y=x上 ∴∠AOB=45° ∴∠EOF=90° ∴EF= 故答案为：. 【变式5-2】 【答案】B 【分析】作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将y=0代入求出x的值，即可得到点P的坐标。 【详解】解：由题意可知： ∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B， ∴，， ∵C在直线，且， ∴，解之得：，即， ∵点D为线段的中点， ∴即：， ∵的周长， ∴若想使三角形周长最小，则需的值最小， 作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小， ∵，， 设直线的解析式为， 利用待定系数法可得，解之得： ∴直线的解析式为， 令，得，即， 故答案为：B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数的图象和性质 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数中k和b的作用 题型02 根据一次函数图象或性质求参数 题型03 多个一次函数图象共存问题 题型04 一次函数图象的平移 题型05 一次函数中的将军饮马问题 ▌题型01 一次函数中k和b的作用 一、k的作用 1.k的符号 k的符号 增减性 象限 两点关系 k>0 y随x的增大而增大 一、三 若x1>x2，则y1>y2（同增） k<0 y随x的增大而减小 二、四 若x1>x2，则y1<y2（异减） 2.k的绝对值 k的绝对值越大，y随x的变化速度越快，图象越陡，越靠近y轴 k的绝对值越小，y随x的变化速度越慢，图象越平，越靠近x轴 3.若直线l1∥l2，则k1=k2；若k1=k2，则直线l1∥l2。 二、b的作用 一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，b） b的符号 与y轴交点 象限 b>0 正半轴 一、二 b<0 负半轴 三、四 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于一次函数y=x+1，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期中）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点位于的象限，根据函数增减性可知，从而得到，通过点在象限的特征进行判断即可． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， ， 则点在第四象限， 故答案为：四． 【变式1-2】已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 【变式1-3】已知点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解题的关键． 根据正比例函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在正比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：＞． 【变式1-4】如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数中值的大小比较，解题的关键是作直线与已知直线产生交点，将值转为交点的纵坐标．作直线与两直线分别交于A，B两点，将值的大小比较转化为A，B两点的纵坐标大小比较． 【详解】如下图所示，作直线与两直线分别交于A，B两点，易得，， 由图知，，即． 故选：A． 【变式1-5】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【变式1-6】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 【变式1-7】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 【变式1-8】已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与的值有关是解题的关键．根据一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【变式1-9】一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质和图象，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而增大，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【变式1-10】一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-11】已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】7 【分析】根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】∵一次函数中， ， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 故答案为：7． ▌题型02 根据一次函数图象或性质求参数 根据图象所过象限、函数增减性、与y轴交点等信息，我们可以确定k或b的符号，进而求得参数的范围。 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当，时，一次函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 先根据一次函数的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴ ∴b可以等于（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】若y关于x的函数是正比例函数，则m，n应满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】正比例函数的解析式为，其中，据此求解． 【详解】解： 是正比例函数， 且， 且． 故选D． 【变式2-3】（25-26八年级上·云南大理·期末）已知函数的值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于的不等式即可． 【详解】解：∵函数的值随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2-5】（25-26八年级上·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 【变式2-6】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-7】（25-26八年级上·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 【变式2-8】当m＝　　时（写出m的一个值），一次函数y＝（2m﹣1）x+1的值都是随x的增大而减小． 【答案】﹣1 【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到：2m﹣1＞0，由此求得m的取值范围，然后写出m的一个值． 【详解】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+1的值都是随x的增大而减小， ∴2m﹣1＜0， ∴m． ∴m＝﹣1符合题意． 故答案为：﹣1． 【变式2-9】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2-10】已知y关于x的一次函数为． (1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？ (2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？ (3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围． 【答案】(1)当，n为任意数时，y随x的增大而增大 (2)当时，函数图象经过原点 (3)若图象经过第一、二、三象限， 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象的性质解答． （1）根据一次函数，时，y随x的增大而增大，可得答案； （2）根据一次函数，且时，函数的图象经过原点，可得答案； （3）根据一次函数，，时，函数的图象经过第一、二、三象限，可得答案． 【详解】（1）解：当，n为任意数时，y随x的增大而增大； （2）解：当时，函数图象经过原点； （3）解：若图象经过第一、二、三象限， ▌题型03 多个一次函数图象共存问题 根据k和b的符号，可以确定一次函数的大致图象 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx k>0 b＞0 b＜0 b=0 k<0 b>0 b<0 b=0 【典例3】一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据b的正负判断一次函数图象所经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系分析即可解答． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限； 一次函数的图象经过第一、二、四象限； 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 【变式3-1】函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 【变式3-2】如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ；② ；③ 当时，；④． 其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 【变式3-3】在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数的图象经过第二象限，可以得到，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二象限， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【变式3-4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（    ） A．  B．  C．D．   【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案． 【详解】解：①当时，m、n同号，过一、三象限， m，n同正时，经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当时，m、n异号，过二、四象限， ，时，经过一、三、四象限；，时，过一、二、四象限； 结合各选项可知D正确， 故选：D． 【变式3-5】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 【变式3-6】（25-26八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作出判断． 【详解】解：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的， 故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 【变式3-7】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 【变式3-8】（25-26八年级上·广东普宁·期末）一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）与y2＝﹣abx（a、b是常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y1＝ax+b图象分析可得a、b的符号，进而可得﹣ab的符号，从而判断y2＝﹣abx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由图象可知a＜0，b＞0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数y2＝﹣abx经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知a＞0，b＞0， ∴﹣ab＜0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，正确，符合题意； C、由一次函数图象可知a＞0，b＜0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-9】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】解：根据图象知： A、，则，正比例函数的图象不对，不符合题意； B、，则．图象正确，符合题意； C、当，过一、二、三象限，不符合题意； D、正比例函数的图象不对，不符合题意； 故选：B． 【变式3-10】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（    ）    A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解． 【详解】解：①、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则①错误，故不符合题意； ②、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则②正确，故符合题意； ③、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则③错误，故不符合题意； ④、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则④正确，故符合题意， 故选D． ▌题型04 一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b ①向上平移m个单位，得到y=kx+b+m ②向下平移m个单位，得到y=kx+b-m ③向左平移m个单位，得到y=k(x+m)+b ④向右平移m个单位，得到y=k(x-m)+b 【典例4】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后，得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 【变式4-3】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后， 得到， 把代入， 得， 解得， 故选C． 【变式4-4】（25-26八年级上·云南临沧·期末）将一次函数的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将一次函数的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为：，即， 故答案为：． 【变式4-5】已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数图象平移规律即可得到，根据一次函数性质判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限， ，解得， ． 故选：B． 【变式4-6】将直线：，先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到直线 ，则平移后得到直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移变换规律是解题关键．根据一次函数图象的平移变换规律即可得． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 【变式4-7】（25-26八年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算和的长是解本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算和时对应的值，可得和的值，根据的面积为2，列方程可得结论． 【详解】解：直线沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线， 当时，， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：4． ▌题型05 一次函数中的将军饮马问题 我们在轴对称图形这一章节中，接触过将军饮马问题，它的核心思想是通过轴对称，将线段转化，从而解决一类最小值问题。在一次函数中，我们可以用同样的办法，求出对称点的坐标，再利用勾股定理，求出最短距离，或者求出直线的表达式和点的坐标。 【典例5】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为　 　 ． 【答案】 【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【详解】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小. 当x=0时，y=2×0+4=4， ∴点B的坐标为(0，4)； 当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2， ∴点A的坐标为(-2，0)． ∵M、N分别是AB、OA的中点， ∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)， ∴点M′的坐标为(1，2)． 设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得： ， 解得：， ∴直线M′N的解析式为y=x+1． 当x=0时，y=0+1=1， ∴点P的坐标为(0，1)． 故答案为：(0，1)． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为　 　． 【答案】 【分析】根据点的对称性，可OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF；根据两点之间线段最短，可判断三角形周长最小时的值；根据正比例函数的性质，可得∠AOB=45°；根据勾股定理即可求解. 【详解】解：作点P关于OA和OB的对称点分别为E和F，连接EF，作OH⊥EF交EF于点H，如下图： ∵点P关于OA和OB的对称点分别为E和F ∴OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB，AP=AE，BP=BF ∵三角形PAB的周长=PA+PB+AB=AE+BF+AB ∴当E、A、B、P四点共线时，三角形的周长最小，此时三角形PAB的周长=EF ∵∠EOA=∠POA，∠POB=∠FOB ∴∠EOF=2∠AOB ∵点A（m，m）在直线y=x上 ∴∠AOB=45° ∴∠EOF=90° ∴EF= 故答案为：. 【变式5-2】（25-26八年级上·江西萍乡·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将y=0代入求出x的值，即可得到点P的坐标。 【详解】解：由题意可知： ∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B， ∴，， ∵C在直线，且， ∴，解之得：，即， ∵点D为线段的中点， ∴即：， ∵的周长， ∴若想使三角形周长最小，则需的值最小， 作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小， ∵，， 设直线的解析式为， 利用待定系数法可得，解之得： ∴直线的解析式为， 令，得，即， 故答案为：B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $