第18天 面积问题-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

第18天 新知 知识点1 规则图形的面积问题 求规则图形的面积问题时，需记住常见 图形的面积公式 例1新情境数学文化[辽宁中考]我国古代数学 家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积 八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几 何.”其大意如下：一块矩形田地的面积为 864平方步，只知道它的长与宽共60步.问：它 的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步， 根据题意可列方程为 () A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2x+(x+60)]=864 解析：利用矩形面积公式即可列出方程为x(60 x)=864. 答案：A 例2如图，某农场计划建造一个等腰梯形的菜 园ABCD,梯形ABCD的面积为50m,梯形菜 园的下底DC比上底AB长4m,高AE比上底 AB短3m,则AB= m. DE (例2图) 解析：设AB=xm,则DC=(.x十4)m,AE (-3)m由题意，得2×[x十(x+4](x- 3)=50.整理，得(x一8)(x+7)=0,解得x1 8,x2=-7(不合题意，舍去).∴.AB=8m. 答案：8. 预学·新知储备 面积问题 导学 方法归纳 列一元二次方程解决应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，明确已知量与未知量之间的数量 关系；(2)设：根据题意，设出恰当的未知数，设未知 数有“直接设元”与“间接设元”两种方法；(3)列：将 相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出 来，再根据相等关系构建方程；(4)解：解方程，得出 未知数的值；(5)检：检查得出的方程的根是否符合 题意，舍去不合题意的根；(6)答：写出答案，一定要 遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 练1新情境生活实际为了便于劳动课程的开 展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)， 生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 长的篱笆围成.生态园的面积能否为40m?如 果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由. 墙 生态园 (练1图) 期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 知识点2 甬道与边框问题 求解不规则图形的面积问题时，往往把不 规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之 间的关系，再运用规则图形的面积公式列方程。 例3如图，在长为30m、宽为20m的矩形地面 上修筑同样宽的道路（图中涂色部分），余下部 分种植草坪，要使草坪的面积为551m2.设道路 的宽为xm,则可列方程为 20m ,30m (例3图) A.30×20-30x-20x=551 B.(30-x)(20-x)+x2=551 C.30.x+20x=551 D.(30-x)(20-x)=551 解析：.道路的宽为xm,。草坪部分可拼接 为一个长为(30一x)m、宽为(20-x)m的矩 形.由题意，得(30-x)(20一x)=551. 答案：D. 例4如图，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm 在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四 周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子 当剪去正方形的边长为多少时，所得长方体盒 子的侧面积为200cm2? (例4图) 解：设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖 长方体盒子的底面长为(30一2x)cm,宽为 (20-2x)cm,高为xcm.依题意，得2X[(30 2x)+(20-2x)]x=200.整理，得2x2-25x+ 50=0,解得x1三9z2=10,当x=10时，20 2x=0,不合题意，舍去.x= 当剪去正 方形的边长为)cm时，所得长方体盒子的侧面 积为200cm2. 练2某中学有一块长30m、宽20m的矩形空 地，计划在这块空地上划分出四分之一的区 域种花，小明同学设计的方案如图所示，求花带 的宽度.设花带的宽为xm,则可列方程为 30m 20m (练2图) 练3如图所示为一幅长20cm、宽12cm的图 案，其中有一横两竖的长条（阴影部分），横、竖 长条的宽度比为3：2.设竖长条的宽度为 xcm,若图案中三条长条所占的面积是图案面 积的号，求横、竖长条的宽度 cm cm ,20cm (练3图) 2 预学i 1.如图，在长为30m、宽为18m的矩形地面上 修筑等宽的道路（图中涂色部分），余下部分 种植草坪，草坪的面积为490m2.设道路的 宽为xm,则可列方程为 30m (第1题) A.30X18-30x-18x=490 B.(30-x)(18-x)+x2=490 C.30x+18.x=490 D.(30-x)(18-x)=490 2.若一个直角三角形的两条直角边的和为 14cm,面积为24cm2,则这个直角三角形的 斜边长为 cm. 3.[威海中考]如图，某校有一块长20m、宽 14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在 种植园的四周和内部修建宽度相同的小路 (图中涂色部分).小路把种植园分成面积均 为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的 宽度 20m 14m (第3题) 4.学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起 的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教 学楼的后墙（可利用的墙长为28m),另外的 边利用学校现有总长55m的铁栏围成，其 43 预学·新知储备 过关 中平行于墙的BC边开有两个宽为1m的木 质门.若围成的车棚面积为270m,试求出 自行车车棚的长和宽 28m (第4题) 5.如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m, 15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽 各增加相同的长度后，得到新的矩形绿地. (1)若扩充后的矩形绿地的面积为800m, 求新的矩形绿地的长与宽； (2)扩充后，若实地测量发现新的矩形绿地 的长、宽之比为5：3，则新的矩形绿地的面 积为 m2. 15 35m (第5题)【预学过关】 0恒成立，.k的值为土2 1.A解析：原方程可变形为x2一2x一4=0，，∴.a=1, 【预学过关】 b=一2，c=-4...△=(-2)2-4×1×(-4)=20>0. 1.A解析：：x1,x2是一元二次方程2x2一4x+1= .方程有两个不相等的实数根 1 0的两个实数根，十x=2,x1x2=2小x12一 2.C解析：：关于x的一元二次方程a.x2+2x+1 0有两个相等的实数根，.△=0且a≠0..2一4a= )=-2=- 0且a≠0..∴.a=1. 2.一3解析：：x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ 3.a≤2且a≠1解析：关于x的一元二次方程(a 2x一m=0的两个实数根，.x1十x2=-2.又x1=1, a-1≠0， ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3. 1)x2+2x十1=0有实数根，∴. 4=22-4X(a-1)×1≥0， 3.:x1,x2是一元二次方程2x2一5x十1=0的两个实 解得a≤2且a≠1.∴实数a的取值范围是a≤2且 数根，十=号：=分(1)+ a≠1. 4.(1).b2-4ac=[-(2m+1)]2-4m(m+1)=1>0, 1十x2= ∴·.方程总有两个不相等的实数根(2)把x=0代人方 名=5(2)ac,-3)(x2-3)=x12-3(m十 程，得m(m+1)=0..(m+1)(m-1)+m+5=m2 x2)十9= 1+m+5=m(m+1)+4=0+4=4 -3x号+9-2 第17天一元二次方程的根与系数的关系 4.设x1,x2是x2十2mz十m2+m=0的两个实数根， .△=-4m0..m≤0..x1+x2=一2n,x1·x2= 【新知导学】 m2+m..x+x=(x1+x2)2-21·x2=4m2- 1.B解析：x2+2x+4=0,∴.△=22-4×1×4= 2m2-2m=2m2-2m=12..m=3或m=-2.:'m≤ 一12<0，则此方程没有实数根.故选项A不符合题意. 0,.∴.m=-2 2x2+4x-1=0,∴.△=42-4X2×(-1)=24>0,则 x1十x2=一2.故选项B符合题意.：x2一2=0，.△ 第18天i 面积问题 02-4X1×(-2)=8>0,则x1十x2=0.故选项C不符合 【新知导学】 题意.3x2+5x-6=0,∴.△=52-4×3×(-6)=97 1.生态园的面积能为40m:四边形ABCD是矩形， 0,则十2=一号故选项D不符合题查 ∴.AB=CD,AD=BC.设AB的长为xm,则BC的长为 18-x 2 m根据题意，得x·18,2=40.整理，得x2一 x1+2=-1, 2 x1=一3， 2.设方程的另一个根为x,则 解得 18x十80=0，解得x1=10,x2=8.∴.生态园的面积能为 2x1=-a, a=6 40m,AB的长为10m或8m 3.,m和n是方程5.x2+4x一2=0的两个实数根， 2 2(30-2x)(20-x)-(1-) ×20×30 解析：花 ..m+n=- 5,mm=- ..1土1一”十” m mn 带的宽度为xm,∴.剩余矩形的两邻边长为(30一2x)m, 4 5 2 =2, (20-xm可列方程为(30-2x)(20-x)=(1-1）× m mn 5 20×30. (m十n)2 -2=-18 3.:竖长条的宽度为xcm∴横长条的宽度为rcm由 mn 2 5 5 题意.得20×号+2X12·x-2× 3 N2x·x=×20× 4.根据根与系数的关系，得k2一1=3，解得k1=2, k2=-2.,△=(-2k)2-4(k2-1)=4k2一4k2+4=4> 12,解得=2，。=16（不合题意，舍去.号x=3. 13 ∴.横长条的宽度为3cm,竖长条的宽度为2cm 20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.∴.该景区这两年接待 【预学过关】 游客人数的年平均增长率为20%. 1.D解析：利用图形平移可将原图转化为如图所示的图 2.(1)由题意，得120×(1+20%)=144（袋），∴.该农产 形.：道路的宽为xm,∴.根据题意，可得(30一x)(18 品三月份的销售量为144袋(2)设该商店四、五两个月 x)=490. 该农产品销售量的月平均增长率为x.由题意，得 30m 144(1+x)2=225,解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不 合题意，舍去).∴该商店四、五两个月该农产品销售量的 18m 月平均增长率为25% 3.设移动ts后，△PBQ的面积等于4cm,则AP= (第1题) t cm,BQ=2t cm.AB =5 cm,.'PB=(5-t)cm. 2.10解析：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 ·2×2(5-t)=4.整理，得t-5t十4-0，解得1=1或 1 直角边的长为14-)cm根据题意，可得}·x·(14 t=4.当t=4时，BQ=2X4=8(cm)>7cm,∴.t=4不合 x)=24,解得x1=6,x2=8..这个直角三角形的两条直 题意，舍去.∴.移动1s后，△PBQ的面积等于4cm 角边的长分别为6cm,8cm.∴.这个直角三角形的斜边长 【预学过关】 为√6+82=10(cm). 1.C解析：由题意，可知该钢铁厂二月份生产钢铁 3.设小路的宽度为xm,则9个矩形地块可合成一个长 560(1+x)吨，三月份生产钢铁560(1十x)2吨.，该钢铁 (20-4x)m、宽(14一4x)m的矩形.根据题意，得(20一 厂第一季度共生产钢铁1860吨，∴.列方程为560十 4x)(14-4x)=24×9.整理，得2x2一17x十8=0，解得 560(1+x)+560(1+x)2=1860. x=,=8(不合题意：合去.“小路的宽度为2m 1 2.2解析：由题意，易得B()=3cm.设运动xs时， 4.设AB=xm,则BC=55-3x+1+1=(57-3x)m.根 △MCN的面积为2cm,则x<3.根据题意，得 据题意，得x(57-3x)=270,解得x1=9,x2=10.当x= 8-2x)3-=2,解得x,=2,,=5(舍去).若点 2 9时，57-3a=30>28,不合题意，舍去；当x=10时，57 M,N同时出发，则运动2s时，△MCN的面积为2cm. 3x=27.∴.车棚的长为27m,宽为10m 3.60解析：设该医疗器械这两年的平均降价率是x.依 5.(1)设将原矩形绿地的长、宽各增加xm,则新的矩形 题意，得(1一x)2=(1一20%)×(1一80%)，解得x1= 绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m.根据题意，得 0.6=60%,x2=1.4(舍去)..该医疗器械这两年的平 (35十x)(15十x)=800.整理，得x2+50x-275=0,解得 均降价率是60%. x1=5,x2=-55(不合题意，舍去).此时35+x=35+5= 4.(1)设平均一只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有 40,15十x=15十5=20.∴.新的矩形绿地的长为40m,宽 x只鸡被传染，第二轮传染中有x(1十x)只鸡被传染.由 为20m 题意，得1十x十x(1十x)=81,整理，得(1十x)=81,解 (2)1500解析：设将原矩形绿地的长、宽各增加ym,则 得x1=8,x2=一10（不合题意，舍去）.∴.平均一只鸡传 新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15十y)m.根据题 染8只鸡(2)81十81×8=729（只），∴.经过三轮传染后 意，得(35+y):(15+y)=5:3,即3(35+y)=5(151 y),解得y=15.∴.新的矩形绿地的面积为(35十15)× 共有729只鸡患上该种传染病 (15+15)=1500(m2). 5.(1)根据题意，得0<x<6,BP=AB-AP=(6 x)cm,BQ=2xcm.在Rt△BPQ中，由勾股定理，得 第19天百分率、动态几何问题 BP2+BQ=PQ,即(6-x)2+(2x)2=(4√2)2，解得 【新知导学】 2 1.B解析：设该景区这两年接待游客人数的年平均增长 =号x,=2.·x的值为名或2(2)根据题意，得 率为x.根据题意，得25(1十x)2=36,解得x1=0.2= 0<x<6,CQ=(12-2x)cm.'S△DrQ=S矩无Acn 14