第14天 用因式分解法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

预学·新知储备 第14天 用因式分解法解一元二次方程 新知导学 知识点 用因式分解法解一元二 3)[x+1-(2x-3)]=0,∴.(3x-2)(4-x)= 次方程 0.∴.3x一2=0或4一x=0.∴.原方程的两个 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能 足为x三号，x三4.(3)原方程司 分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这 2(x-3)2-(x-3)(x十3)=0，.(x- 个一元二次方程转化为解两个一元一次方程， 3)[2(x-3)-(x+3)]=0..(x-3)(x- 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 9)=0.∴.x一3=0或x一9=0.∴.原方程的两 例1用因式分解法解下列方程： 个实数根为x1=3,x2=9. (1)(x+1)(3x-2)=0: 方法归纳 (2)x2+3x=0; 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 (3)(2x-3)2=4x-6. 常见类型 因式分解为 方程的解 解：(1).(x十1)(3x-2)=0,∴.x+1=0或 x+bx=0 x(x+b)=0 x1=0,x2=-b 3x一2=0..原方程的两个实数根为x1=一1， (x-a)(x十 x2-a2=0 x1=a,x2= a)=0 x2二二，(2)原方程可变形为x(x十3)=0 x2+2a.x+a2=0 (x十a)}=0或 x=x2=-a .x=0或x十3=0.∴.原方程的两个实数根 或x2-2ax十a2=0(x-a)2=0 或x1=x2=a x2+(a+b)x+ (x+a)(x十 x1=一a, 为x1=0,x2=-3.(3)原方程可变形为(2x ab=0(a,b为常数)b)=0 x2=-b 3)2-2(2x-3)=0.∴.(2x-3)(2x-5)=0. .2x一3=0或2x一5=0.∴.原方程的两个实 练1张林用因式分解法解一元二次方程3x2 3 数根为x1=2x2=2 6x=8一4x时，他的做法如下： 解：方程两边分解因式， 易错分析 得3x(x一2)=4(2-x),(第一步) 用因式分解法解方程时需将一元二次方程的 右边化为0，再对方程的左边因式分解.不能随意在 方程变形为3.x(x一2)=一4(x一2)，（第二步） 方程两边约去含未知数的代数式. 方程两边同时除以(x一2)，得3x=一4，（第三步） 例2用因式分解法解方程： 系数化为1，得x=一 (第四步) (1)(2x+3)2-x2=0; (1)张林的解法是不正确的，他从第 (2)(x+1)2-(2x-3)2=0; 步开始出现了错误； (3)2(x-3)2=x2-9. (2)请你用张林的方法完成这道题的解题过程。 解：(1)原方程可变形为(2x十3+x)(2x+3 x)=0,∴.(3x+3)(x十3)=0..3x十3=0或 x十3=0..原方程的两个实数根为x1=一1， x2=一3.(2)原方程可变形为(x十1十2x 33 毫期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 练2用因式分解法解方程： (3)x2-3x-10=0. (1)(3.x+1)(2x-5)=-2(2x-5); (2)x2-6.x十9=0； 预学过关 1.将(2x一1)2=10x一5转化为两个一元一次 (2)(5x-1)2=9(5x-1): 方程，这两个方程是 () A.2x-1=0,2x+1=-5 B.2x+1=5,2x-1=0 C.2x-1=0,2x-1=5 D.2x+1=0,2x-1=-5 2.方程(x+√5)(x-√5)=5(x-1)的根是 () A.x1=x2=5 B.x1=x2=0 (3)(3y-7)2-(y+1)2=0: C.x1=0,x2=-5D.x1=0,x2=5 3.若一个等腰三角形的两边长分别是方程 x2一6x十8=0的两个根，则该三角形的周 长是 () A.10B.8C.8或10D.6或10 4.一元二次方程(x一4)(x+9)=0的解是 5.小华在解方程x2=8x时，只得出一个解是 (④36x2+6x+星-0. x=8,则被他漏掉的另一个解是x= 6.若代数式x(x一1)和3(1一x)的值互为相反 数，则x的值为 7.用因式分解法解下列方程： (1)-4x2+√5x=0; 34【预学过关】 1.A解析：当二次项系数为1时，用配方法求解，应在方 程两边同时加上一次项系数一2一半的平方，即为1. 2.A解析：将方程一2x2一12x+16=0两边同时除以 一2，得x2十6x一8=0.移项，得x2十6x=8.配方，得 x2+6x+9=8+9,即(x+3)2=17. 3.25解析：将方程x2+8x一5=0配方，得x2+8x十 16=5+16,即(x+4)2=21,∴.k=4,p=21.∴.k+ p=25. 4.一1解析：配方后得到方程(x一1)2=2，∴.展开左 边，得x2-2x+1=2,即x2-2x-1=0.∴.a=-1. 5.1)二次项系数化为1，得r+之--0.移项，配 方得+号+品名+品即(+日)广=品两边 开平方，得x十子=士子、“原方程的两个实数根为 x,=2x2=一1(2)两边同时乘2，得x2-2x一6 1 0.移项，得x2一2x=6.配方，得x2一2x十1=6十1，即 (x一1)2=7.两边开平方，得x一1=士√7.∴.原方程的 两个实数根为x,=1十√7，x2=1一√7 6.(1)二(2)将方程x2一42x-17=0配方，得x2 42x+(2√2)2=17+(2√2)2，即(x-2√2)2=25.直接 开平方，得x一2√2=士5，∴.原方程的两个实数根为 x1=2W2-5,x2=2√2+5 第14天用因式分解法解一元二次方程 【新知导学】 1.(1)三(2)原方程可变形为3x(x一2)=4(2-x), .3x(x-2)=-4(x-2)..3x(x-2)+4(x-2)= 0..(x一2)(3x+4)=0.∴.x一2=0或3x+4=0.∴.原 方程的两个实数根为x=2,2,=一3 4 2.(1)原方程可变形为(3x+1)(2x一5)+2(2x一5)=0， ∴.(3x+1+2)(2x-5)=0.∴.3x+1+2=0或2x-5= 0.原方程的两个实数根为=一1，x=号(2)原 5 方程可变形为(x一3)2=0，∴.原方程的两个实数根为 x1=x2=3(3)原方程可变形为(x-5)(x十2)=0. ∴x一5=0或x十2=0..原方程的两个实数根为x1= 5,x2=一2 【预学过关】 1.C解析：(2x-1)2=10x-5,.(2x-1)2 5(2x一1)=0，则(2x一1)(2x一1-5)=0..2x一1= 0或2x-1-5=0,即2x-1=0或2x-1=5. 2.D解析：将原方程整理，得x2-5x=0,∴.x(x一5)= 0.∴.x1=0,x2=5. 3.A解析：原方程可化为(x一4)(x一2)=0，解得x,= 4,x2=2.当腰长是2时，三边长分别为2,2,4，不能组成 三角形；当腰长是4时，三边长分别为4,4,2，能组成等腰 三角形.∴.此等腰三角形的周长是4十4十2=10. 4.x1=4,x2=-9解析：由(x一4)(x十9)=0，得x一 4=0或x十9=0，∴.x1=4,x2=一9. 5.0解析：x2=8x,∴.x2一8x=0..x(x-8)=0, 解得x1=0,x2=8. 6.1或3解析：：代数式x(x一1)和3(1一x)的值互为 相反数，∴.x(x-1)+3(1一x)=0,即x(x一1)-3(x一 1)=0,即(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x-3=0,解 得x=1或x=3. 7.(1)原方程可变形为x(一4x十√5)=0，.原方程的两 个实数根为1-0：- 。(2)原方程可变形为(5 1)2-9(5x-1)=0,即(5.x-1)(5.x-1-9)=0,即(5x 1)(5x一10)=0，∴.5x一1=0或5x一10=0..原方程的 两个实数根为=行，x,=2(3)原方程可变形为 (3y-7+y+1)[(3y-7)-(y+1)]=0,即(4y-6)· (2y-8)=0,∴.4y-6=0或2y一8=0..原方程的两个 3 实数根为y,=2y=4(4)原方程可变形为(6x十 2)-0:原方程的两个实数根为x=x:=一2 1 第15天用公式法解一元二次方程 【新知导学】 1.B解析：：关于x的一元二次方程的根为x= -b±0-4ac_1±-1D二4X3X(-D:.结合 2a 2×3 选项可知，a=3,b=一1，c=一5.∴.原方程可以为3x2一 x-5=0.