第17天 一元二次方程的根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

预学·新知储备 第17天 一元二次方程的根与系数的关系 新知导学 知识点1 一元二次方程的根 练2已知关于x的一元二次方程x2十x一Q= 与系数的关系 0的一个根为2，求它的另一个根及a的值 一元二次方程的根与系数的关系：若方程 ax2+bx十c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则 x1十x2= 日x·工=号上述关系通常也称 b a 为韦达定理 例1若一元二次方程x2一4x十3=0的两个实 数根为x1,x2,则下列结论正确的是 知识点2 一元二次方程的根 A.x1十x2=-4 B.x1+x2=3 与系数的关系的应用 C.x1x2=4 D.x1x2=3 元二次方程的根与系数的关系是求解一 解析：.'x2-4x十3=0，a=1,b=-4,c=3, 元二次方程系数中未知字母的值或代数式的值 ∴.根据一元二次方程的根与系数的关系，得 的重要数量关系，可结合两根之和、两根之积， 1十x2= =4,x1·x2= 通过配方法进行相互转化. e a 答案：D. 例3若a,b是方程x2-2x一2024=0的两个 易错分析 实数根，则a十b一ab的值为 ( 运用一元二次方程的根与系数的关系解答 A.2024B.2025C.2026 D.2027 元二次方程相关问题的前提条件是b2一4ac≥0 (a≠0). 解析：由韦达定理，得a十b=一2=2，b= 1 -2024 例2若x=一2是一元二次方程x2十2x十m= =-2024,∴.a+b-ab=2-(-2024)= 1 0的一个实数根，则方程的另一个实数根是 2026. 答案：C A.x=-2B.x=0C.x=2 D.x=-3 例4已知m和n是方程3x2一8x十4=0的两 解析：设方程的另一个实数根为x=a.由一元 个实数根，则m2十n2= 二次方程的根与系数的关系，得一2十a=一2， ∴.a=0. 解析：m和n是方程3x2-8x十4=0的两个 答案：B. 实数根，∴.m十n= 练1下列关于x的一元二次方程中，两个实数 根之和等于一2的是 ( ) (m+n)2-2mm A.x2+2x+4=0 B.2x2+4x-1=0 C.x2-2=0 D.3x2+5x-6=0 案0 39 窖期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 方法归纳 易错分析 常用的代数式变形方法： 利用根与系数的关系求出一元二次方程中的 (1)x7+x=(x1十x2)2-2x1x2; 未知字母的取值后，千万不要忘记一元二次方程有 (2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; 两个实数根的前提是二次项系数不为0且△≥0. L+1=x1十x2 (3) TI T2 T1T2 练3已知m和n是方程5.x2+4x一2=0的两 (4)2+4=i+x2_（1+x2)2-2x12 x1 x2 Tix2 xIT2 个实数根，分别求式子+和+”的值 n m (5)lx1-x2=√(x1-x2=√(x1十x22-4x1x2. 例5已知关于x的一元二次方程2x2十(k十 1)x一6=0的两个实数根的和是一2，则k的 值是 () A.3 B.-3C.-5 D.1 练4已知关于x的一元二次方程x2一2kx十 解析：设关于x的一元二次方程2x2+(k十 k2一1=0的两个实数根的积为3，求k的值 1)x一6=0的两个实数根分别为x1和x2,则 x1十x2= 十1=一2，解得k=3.当飞=3时， 2 一元二次方程为2x2十4x一6=0满足△>0. 答案：A 预学过关 1.已知x1,2是一元二次方程2x2一4x十1= (2)(x1-3)(x2-3) 0的两个实数根，则x1x2一(x1十x2)的值为 ( A-B C.-2 D.2 2.[苏州中考]已知x1,x2是关于x的一元二 次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2= 4.已知关于x的一元二次方程x2十2m.x+ 3.设x1,x2是一元二次方程2x2一5.x十1=0 m2+m=0的两个实数根的平方和为12，求 的两个实数根.利用根与系数的关系求下面 m的值. 各式的值： )1+1 40【预学过关】 0恒成立，.k的值为土2 1.A解析：原方程可变形为x2一2x一4=0，，∴.a=1, 【预学过关】 b=一2，c=-4...△=(-2)2-4×1×(-4)=20>0. 1.A解析：：x1,x2是一元二次方程2x2一4x+1= .方程有两个不相等的实数根 1 0的两个实数根，十x=2,x1x2=2小x12一 2.C解析：：关于x的一元二次方程a.x2+2x+1 0有两个相等的实数根，.△=0且a≠0..2一4a= )=-2=- 0且a≠0..∴.a=1. 2.一3解析：：x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ 3.a≤2且a≠1解析：关于x的一元二次方程(a 2x一m=0的两个实数根，.x1十x2=-2.又x1=1, a-1≠0， ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3. 1)x2+2x十1=0有实数根，∴. 4=22-4X(a-1)×1≥0， 3.:x1,x2是一元二次方程2x2一5x十1=0的两个实 解得a≤2且a≠1.∴实数a的取值范围是a≤2且 数根，十=号：=分(1)+ a≠1. 4.(1).b2-4ac=[-(2m+1)]2-4m(m+1)=1>0, 1十x2= ∴·.方程总有两个不相等的实数根(2)把x=0代人方 名=5(2)ac,-3)(x2-3)=x12-3(m十 程，得m(m+1)=0..(m+1)(m-1)+m+5=m2 x2)十9= 1+m+5=m(m+1)+4=0+4=4 -3x号+9-2 第17天一元二次方程的根与系数的关系 4.设x1,x2是x2十2mz十m2+m=0的两个实数根， .△=-4m0..m≤0..x1+x2=一2n,x1·x2= 【新知导学】 m2+m..x+x=(x1+x2)2-21·x2=4m2- 1.B解析：x2+2x+4=0,∴.△=22-4×1×4= 2m2-2m=2m2-2m=12..m=3或m=-2.:'m≤ 一12<0，则此方程没有实数根.故选项A不符合题意. 0,.∴.m=-2 2x2+4x-1=0,∴.△=42-4X2×(-1)=24>0,则 x1十x2=一2.故选项B符合题意.：x2一2=0，.△ 第18天i 面积问题 02-4X1×(-2)=8>0,则x1十x2=0.故选项C不符合 【新知导学】 题意.3x2+5x-6=0,∴.△=52-4×3×(-6)=97 1.生态园的面积能为40m:四边形ABCD是矩形， 0,则十2=一号故选项D不符合题查 ∴.AB=CD,AD=BC.设AB的长为xm,则BC的长为 18-x 2 m根据题意，得x·18,2=40.整理，得x2一 x1+2=-1, 2 x1=一3， 2.设方程的另一个根为x,则 解得 18x十80=0，解得x1=10,x2=8.∴.生态园的面积能为 2x1=-a, a=6 40m,AB的长为10m或8m 3.,m和n是方程5.x2+4x一2=0的两个实数根， 2 2(30-2x)(20-x)-(1-) ×20×30 解析：花 ..m+n=- 5,mm=- ..1土1一”十” m mn 带的宽度为xm,∴.剩余矩形的两邻边长为(30一2x)m, 4 5 2 =2, (20-xm可列方程为(30-2x)(20-x)=(1-1）× m mn 5 20×30. (m十n)2 -2=-18 3.:竖长条的宽度为xcm∴横长条的宽度为rcm由 mn 2 5 5 题意.得20×号+2X12·x-2× 3 N2x·x=×20× 4.根据根与系数的关系，得k2一1=3，解得k1=2, k2=-2.,△=(-2k)2-4(k2-1)=4k2一4k2+4=4> 12,解得=2，。=16（不合题意，舍去.号x=3. 13