第15天 用公式法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

【预学过关】 1.A解析：当二次项系数为1时，用配方法求解，应在方 程两边同时加上一次项系数一2一半的平方，即为1. 2.A解析：将方程一2x2一12x+16=0两边同时除以 一2，得x2十6x一8=0.移项，得x2十6x=8.配方，得 x2+6x+9=8+9,即(x+3)2=17. 3.25解析：将方程x2+8x一5=0配方，得x2+8x十 16=5+16,即(x+4)2=21,∴.k=4,p=21.∴.k+ p=25. 4.一1解析：配方后得到方程(x一1)2=2，∴.展开左 边，得x2-2x+1=2,即x2-2x-1=0.∴.a=-1. 5.1)二次项系数化为1，得r+之--0.移项，配 方得+号+品名+品即(+日)广=品两边 开平方，得x十子=士子、“原方程的两个实数根为 x,=2x2=一1(2)两边同时乘2，得x2-2x一6 1 0.移项，得x2一2x=6.配方，得x2一2x十1=6十1，即 (x一1)2=7.两边开平方，得x一1=士√7.∴.原方程的 两个实数根为x,=1十√7，x2=1一√7 6.(1)二(2)将方程x2一42x-17=0配方，得x2 42x+(2√2)2=17+(2√2)2，即(x-2√2)2=25.直接 开平方，得x一2√2=士5，∴.原方程的两个实数根为 x1=2W2-5,x2=2√2+5 第14天用因式分解法解一元二次方程 【新知导学】 1.(1)三(2)原方程可变形为3x(x一2)=4(2-x), .3x(x-2)=-4(x-2)..3x(x-2)+4(x-2)= 0..(x一2)(3x+4)=0.∴.x一2=0或3x+4=0.∴.原 方程的两个实数根为x=2,2,=一3 4 2.(1)原方程可变形为(3x+1)(2x一5)+2(2x一5)=0， ∴.(3x+1+2)(2x-5)=0.∴.3x+1+2=0或2x-5= 0.原方程的两个实数根为=一1，x=号(2)原 5 方程可变形为(x一3)2=0，∴.原方程的两个实数根为 x1=x2=3(3)原方程可变形为(x-5)(x十2)=0. ∴x一5=0或x十2=0..原方程的两个实数根为x1= 5,x2=一2 【预学过关】 1.C解析：(2x-1)2=10x-5,.(2x-1)2 5(2x一1)=0，则(2x一1)(2x一1-5)=0..2x一1= 0或2x-1-5=0,即2x-1=0或2x-1=5. 2.D解析：将原方程整理，得x2-5x=0,∴.x(x一5)= 0.∴.x1=0,x2=5. 3.A解析：原方程可化为(x一4)(x一2)=0，解得x,= 4,x2=2.当腰长是2时，三边长分别为2,2,4，不能组成 三角形；当腰长是4时，三边长分别为4,4,2，能组成等腰 三角形.∴.此等腰三角形的周长是4十4十2=10. 4.x1=4,x2=-9解析：由(x一4)(x十9)=0，得x一 4=0或x十9=0，∴.x1=4,x2=一9. 5.0解析：x2=8x,∴.x2一8x=0..x(x-8)=0, 解得x1=0,x2=8. 6.1或3解析：：代数式x(x一1)和3(1一x)的值互为 相反数，∴.x(x-1)+3(1一x)=0,即x(x一1)-3(x一 1)=0,即(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x-3=0,解 得x=1或x=3. 7.(1)原方程可变形为x(一4x十√5)=0，.原方程的两 个实数根为1-0：- 。(2)原方程可变形为(5 1)2-9(5x-1)=0,即(5.x-1)(5.x-1-9)=0,即(5x 1)(5x一10)=0，∴.5x一1=0或5x一10=0..原方程的 两个实数根为=行，x,=2(3)原方程可变形为 (3y-7+y+1)[(3y-7)-(y+1)]=0,即(4y-6)· (2y-8)=0,∴.4y-6=0或2y一8=0..原方程的两个 3 实数根为y,=2y=4(4)原方程可变形为(6x十 2)-0:原方程的两个实数根为x=x:=一2 1 第15天用公式法解一元二次方程 【新知导学】 1.B解析：：关于x的一元二次方程的根为x= -b±0-4ac_1±-1D二4X3X(-D:.结合 2a 2×3 选项可知，a=3,b=一1，c=一5.∴.原方程可以为3x2一 x-5=0. 2.1解析：由题意，得b2一4ac=(-2)2一4×1×(m一 1)=4,解得m=1. 3.(1)a=2,b=-1,c=-5,.b2-4ac=(-1)2- 1±√4 4×2×(一5)=41>0.∴.x= 2×21 原方程的两个 实数根为x,=十 4 ,2-1- (2)移项，得 3x2+4x-2=0.a=3,b=4,c=-2,.b2-4ac= 4-4×3X(-2)=40>0.x=二4共4⑩ 2×3 -2士√ 3 2.“原方程的两个实数根为，=二2+而 x,=二210 (3)将原方程整理，得x2+6a一5= 3 0..a=1,b=6,c=一5，∴.b2-4ac=62-4×1× （-5)=56>0.x=-6±厘=-3士m.原方 2 程的两个实数根为x,=一3十√14，x2=一3-√14 【预学过关】 1.A解析：移项，得3x2+5x-7=0.a=3,b=5,c -7,.x=-b±B-=-5±V5-4X3x(-7万 2a 2×3 ∴.“口”处应填一5. 2.D解析：a=3,b=-11,c=-1,.b2-4ac= (一11)2-4×3×（一1）=133>0.∴.原方程的两个实数 根为x=丽=1±愿.：一元二次方程 2×3 6 3x2一11z一1=0的两个实数根为m,n,且m>n,∴.m 的值为1+13 6 3=5十3觅或一5一√觅解析：根据题意，得2x2十 4 4 5x=1.移项，得2x2+5x-1=0.,a=2,b=5,c=-1, ∴.b2-4ac=52-4×2×(-1)=33>0..x= -5±√33 “原方程的两个实数根为，=二5+√压 4 xg=-5-33 4.(1)原方程变形为x2+25x十3=0.a=1,b= 25,c=3,∴.b2-4ac=(25)2-4×1×3=0..x= -一2B±D-一5.“原方程的两个实数根为x, 2×1 x2=-√3(2)原方程变形为3x2+12x十9=0.：a= 3,b=12,c=9,.b2-4ac=122-4×3×9=36..x= -12±√36 2X3 .原方程的两个实数根为=一3， x2=-1(3)原方程变形为3x2十4x一32=0.a=3, b=4,c=一32，..b2-4ac=42一4X3×(一32)=400. “x=二4生400=一2生10..原方程的两个实数根为 2×3 3 8 x1=-4,x2=3 5.有错误错误的原因是没有将方程化为一般形式将 方程2x2+4N3x=22化为一般形式为2x2+43x一 22=0,∴.a=√2，b=4√3，c=-2√2.∴.b2一4ac= (43)2-4X2X(-22)=64.x=二4B±6- 2W2 一45±8-一6士22.“原方程的两个实数根为 2W2 x1=-√6+2√2，x2=-√6-2√2 第16天一元二次方程根的判别式 【新知导学】 1.(1)由a=16,b=-24,c=9,得△=b2-4ac= (一24)2一4×16×9=0，∴.方程有两个相等的实数根 (2)原方程变形为16x2+8.x十3=0.由a=16,b=8,c= 3,得△=b2-4ac=82-4×16×3=-128<0,∴.方程没 有实数根(3)原方程变形为3x2+5x一6=0.由a=3, b=5,c=-6,得△=b2-4ac=52-4×3X(-6)=97> 0,.方程有两个不相等的实数根 2.(1)关于x的一元二次方程kx2一6x十9=0有两个 k≠0， 不相等的实数根， 解得k< △=（一6）2一4×9k>0, 1且k≠0.∴.当k<1且k≠0时，方程有两个不相等的实 数根(2)关于x的一元二次方程kx2一6x十9=0有 (k≠0， 两个相等的实数根，∴. 解得k= △=（一6）2一4×9k=0, 1.∴.当k=1时，方程有两个相等的实数根(3)：关于 x的一元二次方程kx2一6x十9=0没有实数根， k≠0， 解得k>1..当k>1时，方 △=（一6）2-4X9k<0, 程没有实数根 2预学·新知储备 第15天 用公式法解一元二次方程 新知导学 知识点1 知识点2 元二次方程的求根公式 用公式法解一元二次方程 元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的求 在一元二次方程的一般形式 根公式2=-b士分4ac(62-ac≥0》. 4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值直接代入求 2a 根公式，求方程的根的方法称为公式法， 例1用公式法解一元二次方程3x2+3=2x 例3小明在解方程x2一4x一2=0时出现了错 时，首先要确定a,b,c的值，下列选项正确的是 误，解答过程如下： .'a=1,b=一4，c=一2，（第一步） A.a=3,b=2,c=3 .∴.b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步) B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 x=一4±26 (第三步) D.a=3,b=-2,c=3 ∴.x1=一2十√6，x2=-2一√6.（第四步） 解析：将原方程化为一般形式，得3x2一2x十 小明的解答过程开始出错的步骤是() 3=0,∴.a=3,b=-2,c=3. A第一步B.第二步C.第三步D.第四步 答案：D 解析：小明解方程的过程开始出错的步骤是第 例2对于一元二次方程x2-5.x十2=0，b2 三步，求根公式用错 4ac的值是 ( 答案：C A.33 B.23 易错分析 C.17 D./17 运用公式法解一元二次方程时，要将一元二次 解析：由题意，得a=1,b=-5,c=2,.b2 方程化为一般形式，如果各项系数中有分数或小 4ac=(-5)2-4X1×2=25-8=17. 数，那么一般应先化为整数.在确定a,b,c的值时， 易因丢失符号致错， 答案：C 练1若关于x的一元二次方程的根为x= 例4将一元二次方程(3x-1)(x十2)=6化成 1±√(-1)2-4×3X(-5) 般形式为 ,b2-4ac= 2×3 ,则这个方程可以是 ,用求根公式求得该方程的根为 A.3x2+x-5=0 B.3x2-x-5=0 解析：将方程（3x一1)(x+2)=6整理，得 C.x2-3x-5=0D.x2+3x-5=0 3x2+5x-8=0,则a=3,b=5,c=-8, 练2已知关于x的一元二次方程x2一2x十 .b2-4ac=52-4X3×(-8)=121.∴.x= m一1=0，且b2一4ac的值为4，则m的值为 -5装区-川.=1= 8 2×3 35 毫期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 8 答案：3x2+5x-8=0;121:x1=1,x2=- (2)3x2+4x=2; 3 练3用公式法解方程： (1)2x2-x-5=0; (3)x(x+6)=5. 预学过关 1.用公式法解方程3x2一7=一5x时，得x= (3)(3.x-2)(x+2)=28. ☐±√52-4×3×(-7) 2×3 ,则“☐”处应填 () A.-5B.5 C.-7D.7 2.利用公式法可得一元二次方程3x2一11x 1=0的两个实数根为m,n.若m>n,则m 的值为 () 5.解方程：√2x2+43x=2√2. A.-11+/109 B-11+133 有一名同学解答如下： 6 6 .a=2,b=45,c=22, C.11+10g 11+√133 6 6 ∴.b2-4ac=(4V3)2-4X√2×22=32. 3.若代数式2x2+5x的值为1，则x的值为 =二153冠=-6士2. 2√2 4.用公式法解方程： 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请 指出错误的原因，并写出正确的解答过程， (1)x2+3+2√3x=0; (2)3x2+4x-1=-10-8.x; 36