第11天 一元二次方程的概念-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

预学·新知储备 第1章 一元二次方程 第11天一元二次方程的概念 新知导学 知识点1 知识点2 元二次方程的定义 一元二次方程的根 等号两边都是整式，且只含有一个未知数， 元二次方程的解通常也称为一元二次方 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次 程的根。 方程 例2在数-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4中，哪 有下列关于x的方轻：①+=0： 些数是一元二次方程x2一3x十2=0的根？ 解：分别将这9个数代入方程，一一验证，发现当 ②a.x2+bx+c=0;③x2-3x+2=0:④(x十 x=1或x=2时，方程的左边等于右边，∴.x= 1)(x一2)=x2.其中，一定是一元二次方程的有 1和x=2是方程的根..将一4，一3，一2，一1， 0,3,4代入方程，方程的左边都不等于右边， A.1个B.2个C.3个 D.4个 ∴.一4，一3，一2，一1,0,3,4不是这个方程的根 解析：①”+子=0不是套式方程，以该方 练2若关于x的一元二次方程x2+x-2=0 的一个根为x=2,则卫的值为 程不是一元二次方程.②，在ax2十bx十c=0 中，当a=0时，方程没有二次项，∴.该方程不 知识点3 一元二次方程的一般形式 -定是-元二次方程.③：x2-3x十2=0符 合一元二次方程的定义，.该方程是一元二次 关于x的一元二次方程的一般形式是 方程.④.(x+1)(x一2)=x2可化为一x= ax2十bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).其中， 2,∴.该方程不是一元二次方程」 ax2,bx,c分别叫作二次项、一次项和常数项， 答案：A a,b分别叫作二次项系数、一次项系数， 方法归纳 例3将下列方程化为一元二次方程的一般形 判断一个方程是不是一元二次方程，首先需将 式（二次项系数大于0），并指出二次项系数、一 方程变形，使方程的右边为0，左边合并同类项，然 次项系数和常数项. 后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程： (2)只含有一个未知数：(3)未知数的最高次数是 (1)5.x2=81; 2.这三个条件缺一不可. (2)2x(x-1)=0; (3)5x(x-5)=4x-25: 练1若方程一x十1=口是关于x的一元二次 (4)2(x-3)2-4=x(x-1). 方程，则“☐”可以是下列选项中的 解：(1)化为一元二次方程的一般形式为5x2 A.y2 B.22 C.-x2 D.-x 81=0.二次项系数是5，一次项系数是0，常数 27 毫期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 项是一81.(2)化为一元二次方程的一般形式 由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， 为2x2一2x=0.二次项系数是2，一次项系数 设该汽车一月份至三月份销售量平均每月的增 是一2，常数项是0.(3)化为一元二次方程的一 长率为x,则可列方程为 () 般形式为5.x2-29x十25=0.二次项系数是5， A.8000(1+2x)=12000 一次项系数是一29，常数项是25.(4)化为一元 B.8000(1+x)2=12000 二次方程的一般形式为x2-11x+14=0.二次 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000 项系数是1，一次项系数是一11，常数项是14. D.8000X2(1+x)=12000 练3将一元二次方程x(x一9)=一3化为一般 解析：由题意可得，所列方程为8000(1十x)2= 形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数 12000. 项分别为 答案：B. A9,3 B.9,-3C 练4[新疆中考]如图，小明 知识点4 在数学综合实践活动中，利 根据题意列一 用一面墙（墙足够长）和 (练4图) 通过具体问题抽象出一元二次方程的关键 24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场 是掌握常见的实际问题中的基本数量关系. 地.设矩形垂直于墙的一边长为xm,根据题意 例4[龙东地区中考]随着“低碳生活，绿色出 可列方程为 () 行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们 A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40 喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量 C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40 预学过关 1.在数1,2,3,4中，是一元二次方程x2-9=0 5.下列方程是不是关于x的一元二次方程？ 的根的为 ( 若是，将其化为一般形式（二次项系数大于 A.1 B.2 C.3 D.4 0),并分别指出它们的二次项、一次项、常数 2.两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数.设 项及二次项系数、一次项系数， 较小的奇数为x,则可列方程为 (1)3x2-1-2=0: A.x(x+1)=143 B.(2x+1)(2x-1)=143 (2)x2+x=2; C.x(x-2)=143 (3)(x+1)(x-2)=5. D.x(x+2)=143 3.若方程kx2十3x=x2十5是关于x的一元二 次方程，则k的取值范围是 () A.k≠0 B.k≠-1 C.k≠1 D.k≠士1 4.整体思想已知一元二次方程2x2一x一3=0 的一个根为m,则4m2一2m十3的值为 28积最大，此时四边形BGED的面积也最大.：AB= ∠1=180°.∴.∠2=90..MNBE,∴.∠2+∠QMN= AD=2,AG=AE=22,∴.四边形BGED面积的最大值 180°..∠QMN=90°..四边形MNPQ为正方形.当 为7×2×22+号×22×2+2×2x2+7×2× G,A,D三，点在同一条直线上时，B,A,E三点也在同一 条直线上，此时BE最长，则MN最长，即正方形MNPQ 2√2=6+4√2 的面积景大，此时MN=专BE=号×(22+2)=E+ (2)正方形3十2√2解析：如图，连接DG,BE.M, N,P,Q分别是BG,GE,ED,DB的中点，∴.MN∥BE 1.∴.四边形MNPQ面积的最大值为(W2+1)2=3+2√2， MN=号BE,NP/GD,NP=2GD,QP/∥BE,QP= 2BE,MQ/GD,AMQ=GD.由ID,知DG=BE, ∴.MN=NP=PQ=QM..四边形MNPQ为菱形.由 (1)①，知DG⊥BE,.∠1=90°.：MQ/GD,.∠2+ (第24题) 预学·新知储备 第1章一元二次方程 2(2m2-m)+3=2×3+3=9. 一2=0不是关于x的一元二次方程 第11天一元二次方程的概念 5(1)32-1 【新知导学】 (2)x2十x=2是关于x的一元二次方程，一般形式为 1.C解析：：方程一x十1=☐是关于x的一元二次方 x2十x一2=0.二次项为x2,二次项系数为1，一次项为 程，.“☐”含x2,观察选项可知可以是一x2 x,一次项系数为1，常数项为一2(3)(x+1)(x一2)= 2.一1解析：将x=2代入方程，得2+2p一2=0，解得 5是关于x的一元二次方程，一般形式为x2一x一7 p=-1. 0.二次项为x,二次项系数为1，一次项为一x,一次项系 3.D解析：将方程x(x一9)=一3化为一般形式为x2一 数为一1，常数项为一7 9x十3=0，∴.一次项系数和常数项分别为-9,3. 第12天用直接开平方法解一元二次方程 4.A解析：围栏的长度为24m,矩形垂直于墙的一边 【新知导学】 长为xm,∴.其邻边长为(24一2x)m根据题意，得 x(24一2x)=40. 1.①移项，得9x2=4两边都除以9，得x2=号.原 【预学过关】 方程的两个实数根为=号：=一号 3 (2)移项，得 1.C解析：将1代入验证，12-9=一8≠0，选项A不符 25x2=4+14,即25.x2=18.两边都除以25，得x2= 合题意；将2代人验证，2一9=一5≠0，选项B不符合题 意；将3代人验证，3一9=0，选项C符合题意；将4代入 碧：原方型的两个实数根为一9-一9 5 验证，42一9=7≠0，选项D不符合题意 (3)移项，得121y2=2+7,即121y=9.两边都除以121， 2.D解析：依题意，得较大的奇数为x+2,则有x(x十 2)=143. 得)一高“原方程的两个实数根为音=一音 3.C解析：原方程可化为(k-1)x2+3x-5=0.若方程 2.(1)直接开平方，得x+3=±11.由x+3=11,解得 kx2十3x=x2+5是关于x的一元二次方程，则k-1≠0， x=8;由x十3=-11，解得x=一14.∴.原方程的两个实 解得k≠1. 数根为x,=8,x2=一14(2)将方程(x十1)2-4=0移 4.9解析：一元二次方程2a2一x一3=0的一个根为 项，得(x+1)=4.直接开平方，得x十1=土2.由x十1= m,.2m2一m一3=0..2m2一m=3.原式=2，解得x=1;由x十1=-2，解得x=-3..原方程的两 9