2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年九年级上册数学苏科版

2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、通过求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）；牢记定理使用的两个前提：；可以不解方程，直接求出两根之和、两根之积；熟练对这类对称代数式变形求值；能已知方程一根求另一根与参数；可以根据两根构造一元二次方程。 2、经历计算特例、猜想规律、公式证明、变式应用的完整探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，掌握代数式恒等变形的常用方法。 3、强化逻辑推理能力、代数运算素养，建立整体代换的解题思维，完善一元二次方程的知识体系。 【学习重点】 韦达定理的内容与直接应用；常见两根对称式的变形技巧；已知一根求参数。 【学习难点】 定理成立的前提条件容易遗漏；含参数题型中，结合判别式综合取值；区分二次项系数为 1 和不为 1 时的公式用法。 【课前温故・知识链接】 1、一元二次方程一般形式：； 2、求根公式：； 3、根的判别式：，只有，方程才有实数根。 一、情境导入 任务：求解下面三个方程，算出每一题两根的和、两根的积，观察和、积与方程系数之间存在什么规律。 ① ，根：，和 = 5，积 = 6 ② ，根：，和 =-2，积 =-3 ③ ，根：，和 =，积 = 思考：不需要把方程解出来，能不能直接利用系数算出两根的和与积？ 引出本节课内容：一元二次方程根与系数的关系。 二、合作探究一：猜想并证明韦达定理 探究活动 1：小组猜想规律 1、当方程形式为 （二次项系数为 1），两根： ， 2、对于标准形式 ，猜想两根关系。 探究活动 2：利用求根公式严格证明 设方程，，两根为： 1、两根相加： 2、两根相乘： ✅ 定理归纳（韦达定理） 若一元二次方程有两个实数根，则： ⚠️ 使用必备两个条件（缺一不可）： ① 必须是一元二次方程：； ② 方程存在实数根：； 如果，不存在实数根，不能使用根与系数的关系。 探究活动 3：常用的两根代数式变形（必考公式） 1、 2、 3、 易错警示 1、两根之和一定要带负号，极易漏掉负号； 2、二次项系数不是 1 时，不能直接套用一次项系数相反数； 3、求字母参数取值范围时，只套用韦达定理，忘记检验判别式； 4、分式形式的方程，要先整理成整式的一般形式再找。 三、典例精讲（标准答题格式，可直接仿写） 例 1：不解方程，求两根之和与两根之积 方程： 解： ， 例 2：已知方程的一根是 2，求另一根和的值。 解：设另一根为 由两根之和：，得 两根之积：， 例 3：设是方程的两根，求的值。 解： 原式 例 4：已知关于的方程有两个实数根，两根之和为 1，求的取值。 解：，解得； 再检验：，符合条件。 例 5：构造方程：以 2 和 - 5 为两根，写出一元二次方程。 方法： 代入得： 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1、方程，则，； 2、已知方程一根为 1，求另外一个根； 3、若是的两根，求的值。 【能力提升题（拔高选做）】 1、已知方程有两个实数根，两根之和为，求的值； 2、以为两根，写出对应的一元二次方程。 五、课堂自主小结（预留空白填写） 1、韦达定理使用的两个前提： 、 ； 2、，； 3、平方和变形公式： ； 4、已知一根求另一根，优先使用两根之和求解，计算更简便。 我的收获： 我的疑问： 参考答案 当堂检测答案 基础 1： 基础 2：另一根等于 3 基础 3：原式 提升 1：，且检验，符合题意； 提升 2： 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D． 2．把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　） A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16 3．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣8＝0的一个根是4，那么它的另一个根是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 5．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 6．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 7．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（　　） A．﹣13 B．12 C．14 D．15 8．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（　　） A．19 B．25 C．31 D．30 9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　） A．x1≠x2 B．2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 二．填空题（共5小题） 11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则的最小值是　 　 ． 12．已知一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，则的值为 　 　 ． 13．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　 ． 14．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　 　 ． 15．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝1，求实数m的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 18．已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0． （1）求证：n＜0； （2）试用k的代数式表示x1； （3）当n＝﹣3时，求k的值． 19．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求的值． 20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 　 　 （填序号）是“邻根方程”． ①x2+x＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+3x+2＝0． （2）若（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）为“邻根方程”，求出a，b，c应满足的数量关系． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：由根与系数的关系可得：a+b＝﹣2，ab＝﹣2， ∴， 将a+b＝﹣2，ab＝﹣2代入得：． 故选：C． 2．【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n， ∴m+n＝4，mn＝﹣12， ∴． 故选：A． 3．【解答】解：设方程的另一个根为x2， ∵关于x的一元二次方程2x2+mx﹣8＝0的一个根是4， ∴4x2 则x2＝﹣1． 故选：B． 4．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）， ∴x2+x﹣2﹣p2＝0， ∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0， ∴一个正根，一个负根， 故选：C． 5．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2 ∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12， ∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4 ∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4， 故选：A． 6．【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3． 方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根． ∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故选：D． 7．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根， ∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1， ∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1， ∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根， ∴α+β，αβ， ∴2α2+3αβ+5β＝53×（）+1＝12． 故选：B． 8．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+6＝31． 故选：C． 9．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x22，x1•x21． x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2＝1+x1+x2＝1+2＝3． 故选：D． 10．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴x1≠x2，选项A不符合题意； ∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根， ∴2x1＝0，选项B不符合题意； ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0， 解得， 由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t， ∴， ∵﹣2＜0， ∴随t的增大而减小， ∴当t取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 故答案为：． 12．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2， 所以4． 故答案为：4． 13．【解答】解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1， 将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0． 解得k＝2． 故答案为：2． 14．【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0． ∴10． ∴1＝0， 又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根． ∴m2． ∴m+12+1＝3， 故答案为：3． 15．【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根； ∴α+β＝﹣2m﹣3，α•β＝m2； ∴1； ∴m2﹣2m﹣3＝0； 解得m＝3或m＝﹣1； ∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根； ∴Δ＝（2m+3）2﹣4×1×m2＝12m+9＞0； ∴m； ∴m＝﹣1不合题意舍去； ∴m＝3． 三．解答题（共5小题） 16．【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， 所以Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0， 解得m； （2）因为方程的两实数根分别为x1，x2， 所以． 因为（x1+1）（x2+1）＝1， 则x1x2+x1+x2＝0， 所以m2﹣1﹣2m+1＝0， 解得m＝0或2． 因为， 所以m＝0． 17．【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0， ∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ∴1﹣4k≥0， ∴k． ∴当k时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k使得0成立． ∵x1，x2是原方程的两根， ∴． 由0， 得0． ∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0， ∴只有当k＝1时，上式才能成立． 又∵由（1）知k， ∴不存在实数k使得0成立． 18．【解答】证明：（1）∵关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0， ∴nk2． 又﹣k2≤0， ∴n＜0． 解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k， ∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0 ∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0 ∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0 ∴x1+k＝3或x1+k＝5， ∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k． （3）∵nk2，n＝﹣3， ∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2． 原方程化为：x2﹣kx+k2﹣3＝0， 把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0， 解得k1＝1，k2＝2（不合题意）， 把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，Δ＝﹣39＜0，所以此时k不存在． ∴k＝1． 19．【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴a+b＝1，ab＝﹣1， ∴3． 20．【解答】解：（1）解方程x2+x＝0得x1＝0，x2＝﹣1， ∵0﹣（﹣1）＝1， ∴方程x2+x＝0为“邻根方程”． 解方程x2﹣2x+1＝0得x1＝x2＝1， ∵1﹣1＝0， ∴方程x2﹣2x+1＝0不是“邻根方程”． 解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵（﹣1）﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0为“邻根方程”． 故答案为：①③； （2）（x﹣2）（x+n）＝0， x﹣2＝0或x+n＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣n， ∵（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”， ∴2﹣（﹣n）＝1或﹣n﹣2＝1， 解得n＝﹣1或n＝﹣3； （3）设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个分别为t，t+1， 根据题意得Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵t+t+1，t（t+1）， ∴t， ∴（1）， 整理得b2﹣4ac＝a2， 即a，b，c应满足的数量关系为b2﹣4ac＝a2 学科网（北京）股份有限公司 $