第12天 用直接开平方法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

积最大，此时四边形BGED的面积也最大.：AB= ∠1=180°.∴.∠2=90..MNBE,∴.∠2+∠QMN= AD=2,AG=AE=22,∴.四边形BGED面积的最大值 180°..∠QMN=90°..四边形MNPQ为正方形.当 为7×2×22+号×22×2+2×2x2+7×2× G,A,D三，点在同一条直线上时，B,A,E三点也在同一 条直线上，此时BE最长，则MN最长，即正方形MNPQ 2√2=6+4√2 的面积景大，此时MN=专BE=号×(22+2)=E+ (2)正方形3十2√2解析：如图，连接DG,BE.M, N,P,Q分别是BG,GE,ED,DB的中点，∴.MN∥BE 1.∴.四边形MNPQ面积的最大值为(W2+1)2=3+2√2， MN=号BE,NP/GD,NP=2GD,QP/∥BE,QP= 2BE,MQ/GD,AMQ=GD.由ID,知DG=BE, ∴.MN=NP=PQ=QM..四边形MNPQ为菱形.由 (1)①，知DG⊥BE,.∠1=90°.：MQ/GD,.∠2+ (第24题) 预学·新知储备 第1章一元二次方程 2(2m2-m)+3=2×3+3=9. 一2=0不是关于x的一元二次方程 第11天一元二次方程的概念 5(1)32-1 【新知导学】 (2)x2十x=2是关于x的一元二次方程，一般形式为 1.C解析：：方程一x十1=☐是关于x的一元二次方 x2十x一2=0.二次项为x2,二次项系数为1，一次项为 程，.“☐”含x2,观察选项可知可以是一x2 x,一次项系数为1，常数项为一2(3)(x+1)(x一2)= 2.一1解析：将x=2代入方程，得2+2p一2=0，解得 5是关于x的一元二次方程，一般形式为x2一x一7 p=-1. 0.二次项为x,二次项系数为1，一次项为一x,一次项系 3.D解析：将方程x(x一9)=一3化为一般形式为x2一 数为一1，常数项为一7 9x十3=0，∴.一次项系数和常数项分别为-9,3. 第12天用直接开平方法解一元二次方程 4.A解析：围栏的长度为24m,矩形垂直于墙的一边 【新知导学】 长为xm,∴.其邻边长为(24一2x)m根据题意，得 x(24一2x)=40. 1.①移项，得9x2=4两边都除以9，得x2=号.原 【预学过关】 方程的两个实数根为=号：=一号 3 (2)移项，得 1.C解析：将1代入验证，12-9=一8≠0，选项A不符 25x2=4+14,即25.x2=18.两边都除以25，得x2= 合题意；将2代人验证，2一9=一5≠0，选项B不符合题 意；将3代人验证，3一9=0，选项C符合题意；将4代入 碧：原方型的两个实数根为一9-一9 5 验证，42一9=7≠0，选项D不符合题意 (3)移项，得121y2=2+7,即121y=9.两边都除以121， 2.D解析：依题意，得较大的奇数为x+2,则有x(x十 2)=143. 得)一高“原方程的两个实数根为音=一音 3.C解析：原方程可化为(k-1)x2+3x-5=0.若方程 2.(1)直接开平方，得x+3=±11.由x+3=11,解得 kx2十3x=x2+5是关于x的一元二次方程，则k-1≠0， x=8;由x十3=-11，解得x=一14.∴.原方程的两个实 解得k≠1. 数根为x,=8,x2=一14(2)将方程(x十1)2-4=0移 4.9解析：一元二次方程2a2一x一3=0的一个根为 项，得(x+1)=4.直接开平方，得x十1=土2.由x十1= m,.2m2一m一3=0..2m2一m=3.原式=2，解得x=1;由x十1=-2，解得x=-3..原方程的两 9 个实数根为x,=1,x=-3(3)将方程)(x-5)2- x)2,直接开平方，得2x+1=土(3-x).由2x+1=3- 16=0转化为(x-5)2=32.直接开平方，得x一5 x,解得x=号：由2x十1=-(3-x,解得x=-4.原 ±4√2.由x-5=4√2，解得x=5+42;由x-5= .2 方程的两个实数根为1=名，x?=一4(3)对于方程 一4√2，解得x=5一4√2..原方程的两个实数根为x1= 4(x十3)2=25(x-2)2,直接开平方，得2(x+3)= 5+42,x2=5-4√2 【预学过关】 ±5(x-2).由2(x+3)=5-2),解得x=1 3由2(x+ 1.D解析：根据题意，得m十3>0，解得m≥-3. 4 3)=-5(x-2),解得x=7.原方程的两个实数根为 2.C解析：：(x+1)2=2,.x+1=±√2.∴.x十1= 16 4 √2或x+1=-√2. x1= 3x2=7 3.D解析：x2-1=0,.x2=1..x1=1,x2= 第13天用配方法解一元二次方程 一1.∴.丁的答案正确. 4.C解析：依题意，得3x2-6=21.移项，得3x2=27.系 【新知导学】 数化为1，得x2=9.解得x=±3. 1.B解析：原方程配方，得x2+6x十9=8+9，即(x十 5.21(答案不唯一)解析：，关于x的一元二次方程 3)2=17. (x+2)2=m一21可以用直接开平方法求解，.m一21≥ 2.(1)将方程x2-2x-2=0配方，得(x-1)2=3.开平 0,解得m≥21 方，得x一1=士√5，∴.原方程的两个实数根为x1=1十 6.16解析：由平方根的意义，可知m一7十m十1=0，解 √5，x2=1一√3(2)原方程移项，得x2一4x=7.配方， 得m=3.∴.原方程的两个实数根为x1=一4，x2=4.将 得x2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11.开平方，得x-2 x=4代入ax2=b,得16a=b,.2=16. 士√，∴.原方程的两个实数根为=2+√，x2= 7.(1)将方程2x2-8=0整理，得x2=4.直接开平方，得 2-√/17 x=土2.∴.原方程的两个实数根为x1=2,x2=一2 3.D解析：原方程2x2十3x=一1两边同时除以2，得 (2)将方程(x十√3)(x一√5)=46整理，得x2=49.直接 x2+3 开平方，得x=士7..原方程的两个实数根为x1=7, =一子两边同时加品得r+受+号 x2=-7(3)将方程3(x-2)2=24整理，得(x-2)2= 之+品整理得(+)》-品 8.直接开平方，得x-2=士2√2.由x-2=2√2，解得 4.（1)原方程两边同除以3，得x2十2x一4=0.移项，得 x=2十22；由x-2=-2W2,解得x=2-22.∴.原方 x2+2x=4.配方，得x2+2x+1=4+1,即(x+1)2= 程的两个实数根为x1=2十2√2，x=2-2√2(4)将方 5.两边开平方，得x+1=士√5，即x+1=√5或x+1= 程2(x-5)2-8=0整理，得(x-5)2=16.直接开平方， 一√5.∴.原方程的两个实数根为x1=一1十√5，x2= 得x-5=士4.由x-5=4,解得x=9:由x一5=-4，解 -1一厅（2)原方程两边同除以2，得-子x+3= 得x=1..原方程的两个实数根为x1=1x2=9 0移项，得-子x=-8配方，得-名x十碧 7 49 8.(1)对于(2x一1)=(W2一1)2，直接开平方，得2x一 1=土(2-1).由2x-1=2-1,解得x=2 由2x -3+器即(-)广=两边开平方，得-子 1=一62-1)，解得x=2一，2..原方程的两个实数根 士即x一子-或一子-一“原方程的两个 22 为，2 2 (2)对于方程(2x十1)2=(3 实数根为，=2= 10预学·新知储备 第12天 用直接开平方法解一元二次方程 新知导学 知识点1解形如x2=a(a≥0)的 知识点2 解形如(x+h)2=k(h,k 方程 为常数，k≥0)的方程 般地，根据平方根的意义，对于方程 一般地，根据平方根的意义，方程(x+ x2=a,当a>0时，方程的两个实数根为x= h)2=k(h,k为常数，k≥0)的两个实数根为 士√a;当a=0时，方程的实数根为x=0. x=一h土√及】 例1解下列方程： 例2解方程：(x-2)2-25=0. (1)x2=100; 解：移项，得 (2)x2-9=0; 直接开平方，得 (3)4x2-9=0. 即x-2=5或x-2=-5. 解：(1)原方程的两个实数根为x1=10,x2= 解得x1= ,2= 一10.(2)移项，得x2=9.∴.原方程的两个实 解析：(x一2)2一25=0，∴.移项，得(x 数根为x1=3,x2=一3.(3)移项，得4x2=9. 2)2=25.直接开平方，得x-2=士5，即x一2= 厨边都除以4，得二9原方程的两个实数 5或x一2=一5..原方程的两个实数根为 x1=7,x2=-3. 3 2 答案：(x-2)2=25;x-2=±5；7；-3. 练1解下列方程： 易错分析 用直接开平方法解一元二次方程时，方程两边 (1)9.x2-4=0; 应同时开平方，开方后，方程一边有“士”号，因为正 数的平方根有两个，所以用直接开平方法求一元二 次方程的根时，注意不要漏解 练2解下列方程： (2)25.x2-14=4: (1)(x+3)2=121;(2)(x+1)2-4=0: (3)121y2-7=2. 8)-5-16-=0. 29 毫期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 预学过关 1.如果关于x的方程(x一9)2=m+3可以用 (2)(x+√3)(x-√3)=46； 直接开平方法求解，那么m的取值范围是 () A.m>0 B.m≥0 C.m>-3 D.m≥-3 2.一元二次方程(x+1)2=2可以转化为两个 (3)3(x-2)2=24; 一元一次方程，其中一个一元一次方程为 x十1=√2，则另一个一元一次方程为( A.x-1=√2 B.x+1=2 C.x+1=-√2 D.x+1=-2 3.老师出示问题：“解方程：x2一1=0.”四名同 学给出了各自的答案.甲：x=1;乙：x1= (0x-5-8=0 x2=1;丙：x1=x2=-1;丁：x1=1,x2 一1.下列判断正确的是 () A.甲的答案正确B.乙的答案正确 C.丙的答案正确D.丁的答案正确 4.使得代数式3x2一6的值等于21的x的 8.解下列方程： 值是 () (1)(2x-1)2=(2-1)2; A.3 B.-3C.±3D.±9 5.新考向结论开放题若关于x的一元二次方程 (x+2)2=m一21可以用直接开平方法求解， 则m的值可以为 (写出一个即可). 6.已知关于x的一元二次方程a.x2=b的两个 (2)(2x+1)2=(3-x)2; 实数根分别是m一7和m十1，则的值为 7.解下列方程： (1)2x2-8=0; (3)4(x+3)2=25(x-2)2. 30