第2章 2.2 一元二次方程的解法-课时5 公式法解一元二次方程-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“公式法解一元二次方程”，从求根公式的系数确定入手，衔接一元二次方程一般形式，通过“刷基础”“刷提升”分层支架，帮助学生逐步掌握公式应用的前提条件与解题步骤。 其亮点在于融合抽象能力与推理意识，通过矩形线段长度、无限连分数等实例，引导学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维推导方程求解过程。采用易错点分析与“刷有所得”小结，助力学生提升运算能力与模型意识，教师可直接利用分层习题与详细解析优化教学。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.2 一元二次方程的解法 课时5 公式法解一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.一元二次方程在用求根公式求解时，，， 的 值分别是( ) D A.3，， B.，，3 C.，3，1 D.，3， 【解析】，，则，， , 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2025江苏无锡期中】用公式法解一个一元二次方程的根为 ，则此方 程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) C A.6，5，1 B.3，5， C.3，5，1 D.3， ，1 【解析】由题意得，用公式法解一个一元二次方程 的根为 ，,,， ， 解得 ，即此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，5，1，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 用公式法解一元二次方程 3.【2026四川自贡质检】利用公式法解一元二次方程 得到两个根， 其中较小的根为( ) B A. B. C. D. 【解析】，，， ， ， . ， 一元二次方程的两个根中,较小的根为 . 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： ； . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.如图，在矩形中，，．以点 为圆 心，的长为半径画弧，交于点，交于点 ．下列线段 的长度是方程 的一个根的是( ) B A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段 的长 【解析】 四边形为矩形，，， ， .由作法得， ， .解方程，得 ， ， 线段 的长为方程的一个根.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2026浙江衢州期末】已知关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为， （其中），若是关于的函数，且，则当时， 的取 值范围为___________. 【解析】是关于 的一元二次方程， .由求根公式，得 ， 或.，，， ， ，解得， ，故 答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.用公式法解下列方程. （1） . 【解】方程整理为.因为,, , ，所以，所以， . （2） . 【解】，所以，， ，所以 ，所以 ，所以 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 刷有所得 运用公式法解一元二次方程的一般步骤:①把一元二次方程化为一般形式;②确定 ,,的值;③当时，把,, 的值代入方程的求根公式中求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.已知关于的一元二次方程 . （1）若是方程的一个根，求 的值； 【解】是方程的一个根，， 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）以这个方程的两个实数根作为中,的长，当 时，是直角三角形，求此时 的值. 【解】， ， ，， 的长是这个方程的两个实数根， ，， 当时， 是直角 三角形， 当为斜边时，有 ，解这个方程，得 （不符合题意，舍去），；当 为斜边时，有 ，解这个方程，得 . 综上所述， 的值为0或1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 刷易错 易错点 未将一元二次方程化为一般形式就直接利用公式法解一 元二次方程导致错误 8.下面是小明同学解方程 的过程： ，， ， ， ， ， . 小明的解答过程是否有错?如有，请写出正确的过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 【解】有错，错在没有将方程化为一般形式,弄错了常数项.正确的过程如下： ，，，， ， ，，， . 易错警示 利用公式法求解时,一定要先把一元二次方程化为一般形式，再确定各项的系数， 否则就会出错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 提升 1.【2026浙江杭州期中，中】若正数满足，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】， ， ，. 是正数， . 正数满足， ， .把 代入 ，得 ， ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2. 【2026江苏连云港期末，较难】满足方程 的所有 正整数解有( ) C A.一组 B.二组 C.三组 D.四组 【解析】原方程变形为，将其视为关于 的一元二次 方程，则 方程 有正整数解， 为非负完全平方数，即，且为正整数， 的所有 可能取值为1,2,3,4.当时， ，此时 ，不是正整数，不符合题意，故舍去；当 时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 ，此时，, （舍去）， 即方程组的正整数解为，；当时， ，此 时，不是正整数，不符合题意，故舍去；当 时， ，此时，, ，即方程组的 正整数解为，或， .综上，共有三组正整数解，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3.【2026浙江宁波调研，中】已知，的坐标分别为，，点 在直线 上，若为等腰三角形，则这样的 点共有___个. 5 【解析】设,.因为，的坐标分别为， ，所以①当 时，，故此时有一个点；②当 时， ，解得，故此时有两个 点；③当 时，，解得，故此时有两个 点. 综上，这样的 点共有5个.故答案为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.【2026河南洛阳期中，中】将关于的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的， 则 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以 化简次数较高的代数式.已知，且，则 的值 为_______. 【解析】， ， ， .在 中， ,,， ， ， ，故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 5.【2026江苏南京期末，较难】我们把关于的一元二次方程 与 称为一对“友好方程”，如 的 “友好方程”是.现在来探究方程的根的特点，当 时，方程的两根为， ，其“友好 方程”的两根为， _ __________，观察可以 知道，，， 之间存在的一种特殊关系为_______________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】根据求根公式可知，方程的两根为 ， .由题意得， ， ，，故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 6. 【2026江苏无锡质检，中】刘徽在《九章算术注》中指出：“割之弥细， 所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割 圆术体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设 ， 则有，得到，解得 . （1）类比上述方法，则 _______________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________ ； 【解】设 ， 两边平方得，整理得，解得， （舍去）， 所以 .故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）现有一个无限连分数 ，它的每一个分母都与原数完全一样，求此数 的值. 【解】设.根据题意，可得，解得或 ， 所以此数的值为或 . 关键点拨 利用方程的思想是解决此类问题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 7.【2026江苏无锡梁溪区模拟，中】阅读下面的例题,并解决问题. 分解因式： . 令，得到一个关于 的一元二次方程. ，，，, 方程的解为 ，, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面的问题： （1）已知代数式对应的方程的解为和5，则代数式 分解 后为______________， 的值为____； 15 【解析】 代数式对应的方程的解为和5， 代数式 分 解后为， ，故答案为 ，15. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）将代数式 分解因式. 【解】令，得到一个关于的一元二次方程.， ， ，， 方程的解为 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 $