第9天 四边形中动点问题的综合训练-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

复习·整合提优 第9天 四边形中动点问题的综合训练 一、选择题 D→A→B→C…的方向运动 1.如图，在□ABCD中，点E在AD的延长线 时，点F的坐标是 上，点F在线段AB上，依次连接EB,EC, 三、解答题 FC,FC与EB交于点H,当点F从点B出 5.在矩形ABCD中，E是CD上的一个动点， 发向点A运动时（点F不与点B,A重合）， 连接AE △CHE的面积与△BFH的面积之差的变 (1)如图①，若AB=AE,AB=5,AD=3, 化情况是 求EC的长. A.先变小，再变大B.一直不变 (2)如图②，P是AE的中点，将直线AE绕 C.一直变小 D.一直变大 点P按顺时针方向旋转α后，恰好经过点 B,交AD于点F,连接EF.若a=∠DEF十 ∠EAB,求证：FB=2FP+FE. G (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, AE=4,AF=2,G,H分别是边BC,CD上 Q ② 的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 (第5题) A.25+6 B.45 C.4√2+2 D.2√5+10 二、填空题 3.转化与化归思想如图，正方形ABCD的边长 为1，E,F分别是边BC,CD上的动点，且 BE=CF,连接BF,DE,则BF+DE的最 小值为 R E (第3题) (第4题) 4.如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴 上，点A,B,E的坐标分别为（一3,0），(0， 4),(6,0).P是菱形ABCD边上的一个动 点，连接PE,把PE绕着点E按顺时针方向 旋转90°得到FE,连接PF.若点P从点C 出发，以每秒5个单位长度的速度沿C→ 21 毫期升级训练 数学（苏科版）八年级·A 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是 7.如图，在正方形ABCD中，动点P从点B运 边AD的中点，P是边AB上的一个动点（不 动到点C(点P不与点B,C重合)，连接 与点A重合)，连接PE并延长，交CD的延 DP,作点A关于直线DP的对称点E,连接 长线于点Q,连接PD,AQ. AE分别交DP,DC于点G,H.过点C作 (1)求证：四边形APDQ是平行四边形 CF⊥AE于点F,连接DE. (2)①当点P运动到 处时，四 (1)依题意补全图形； 边形APDQ是矩形 (2)求证：CF=EF; ②当点P运动到何处时，四边形APDQ是 (3)连接FB,FD,用等式表示线段FA, 菱形？请说明理由。 FB,FD之间的数量关系，并证明. P B (第6题) B P C (第7题) 22的面积为8，民=号△ABC的面积为号×8×号 易得芝形ABF的面积为9：AC·E你=2X 8 菱形AECF的面积=望 3 7.(1)将△AED剪下平移到△BGC处，将△ABE剪 下平移到△DCF处，∴.△AED≌△BGC,△ABE≌ △DCF.∴.∠ADE=∠BG,∠ABE=∠DCF.四边 形ABCD是平行四边形，∴.∠BCD=∠BAD. :∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴.∠BCD+ ∠DCF+∠BCG=180°，即∠GCF=180°.∴.点G,C,F 在同一条直线上(2)四边形BDFG是平行四边形 .·△AED≌△BGC,△ABE≌△DCF,,.AE=BG ED=GC,AE=DF,BE=CF..'BG=DF,ED+BE- GC十CF,即BD=GF.∴.四边形BDFG是平行四边形 (3)AE⊥BD,.∠AED=90°.：△AED≌△BGC, ∴.∠AED=∠G=90°.由(2)，知四边形BDFG是平行四 边形，∴.四边形BDFG是矩形 8.(1)四边形ABCD是矩形，.∠C=∠CBA= 90°.∴.∠CBE十∠ABE=90°.由旋转，得AE=AB.过点 A作AP⊥BE,垂足为P,则∠BAE=2∠PAB, ∠APB=90°.∴.∠ABE+∠PAB=90°..∠CBE= ∠PAB.∴.∠BAE=2∠CBE(2)AF=2MN如图， 过点B作BO⊥AE于点O,连接EG,则∠BOE= ∠MOB=90°.四边形AEFG是矩形，∴.AF=EG, ∠MAG=90°.∴.∠MAG=∠MOB..'四边形ABCD是 矩形，∴.∠C=90°，BC=AD,AB∥CD.∴.∠C ∠BOE,∠CEB=∠ABE.:AD=AG,∴.BC=AG. AE=AB,.∠OEB=∠ABE=∠CEB.在△CBE和 ∠C=∠BOE, △OBE中，∠CEB=∠OEB,∴.△CBE≌△OBE. BE=BE, ..CE=OE,BC=BO=AG.在△BOM和△GAM中， ∠BMO=∠GMA, ∠MOB=∠MAG,.∴.△BOM≌△GAM..∴.BM= BO-GA, GM.:N为BE的中点，.MN=2EG.:BG=AF, .∴.AF=2MN (第8题) 第9天四边形中动点问题的综合训练 一、1.C解析：设□ABCD的边BC上的高为h, 1 SuAn=BC,h.·S△c=2BC·h,S△Gs= 1 2SACn.如图，过点F作FM LBC于点M..SAc= 之C·M.△CHE的面积与△BFH的面积之差为 (Saag十Sme)-(58mm十Sme)=专SAm- S△c.又：'点F从点B出发向点A运动时，FM的长逐 渐增大，∴.△CHE的面积与△BFH的面积之差的变化 情况是一直变小. H (第1题) 2.D解析：如图，作点F关于BC的对称点F',作点E 关于CD的对称点E,连接EF',F'G,EH.∴.FG= F'G,EH=E'H.∴.四边形EFGH的周长=EF+FG+ GH+HE=EF+F'G+GH+HE≥EF+E'F'...当 E,H,G,F四点共线时，四边形EFGH的周长最小 AB=4,AF=2,.BF=2..BF'=2..AF'=6. AD=6,AE=4,∴.DE=2.∴.DE'=2..AE=8.在 Rt△AE'F'中，E'F'=√AF+AEF=√6+8= 10.在Rt△AEF中，EF=V√AF2+AE=√22+4= 25.∴.四边形EFGH周长的最小值为25+10. E D 、E B (第2题) 二、3.√5解析：如图①，连接AE.:四边形ABCD是 正方形，.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.又BE= CF,∴.△ABE≌△BCF.∴.AE=BF..BF+DE的最 小值等于AE十DE的最小值.如图②，作点A关于BC的 对称点H,连接BH,则A,B,H三点共线，连接DH DH与BC交于点E,连接AE,此时AE十DE的值最小， 即为DH的长.由对称性可知，AB=BH=1,∴.AH= 2.在Rt△ADH中，AD=1,AH=2,∴.DH= √AH+AD=√5..BF+DE的最小值为5. D /E ① ② (第3题) 4.(2,6)解析：四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥ BD..A(-3,0),B(0,4),.OA=3,OB=4..AB= √32+4=5.∴.AB=BC=CD=AD=5.:点P从点 C出发，以每秒5个单位长度的速度沿C→DA>BC 的方向运动，∴、点P的运动轨迹每4秒一个循环. .2025÷4=506…1,.第2025秒时点F的坐标与 第1秒时点F的坐标相同，第1秒时点P在点D处.如 图，过点F作FG⊥x轴于点G.:'∠OEF+∠OED= 90°，∠ODE+∠OED=90°，∴.∠OEF=∠ODE,即 ∠ODE=∠GEF.又：'∠DOE=∠EGF=90°，且DE= EF,∴.△ODE≌△GEF.∴.OD=GE=4,OE=GF= 6.∴.OG=OE-GE=6-4=2.∴.点F的坐标是(2,6). VA D(P) (第4题) 三、5.(1)四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB,∠D= 90°.又：AB=AE=5,∴.DE=AE2-AD √52-3=4.∴.EC=DC-DE=1(2)如图，过点A 作AM∥EF,交PB于点M.∴.∠PEF=∠PAM.:P 是AE的中点，∴.EP=AP.又.EPF=∠APM, ∴.△EPF≌△APM.∴.EF=AM,PF=PM.四边形 ABCD是矩形，∴.AB∥CD.∴.∠DEP=∠BAP ∴.∠DEP-∠PEF=∠BAP-∠PAM,即∠DEF= ∠MAB.a=∠APF=∠DEF+∠EAB,且∠APF= ∠EAB+∠PBA,∴.∠DEF=∠PBA.∴.∠MAB= ∠PBA.∴.MB=MA.∴.MB=EF.∴.FB=FM+ MB=EP+PM+EF=2EP+FE D E (第5题) 6.（1)四边形ABCD为菱形，∴.AB∥CQ ∴.∠QDA=∠PAD,即∠PAE=∠QDE.E是边AD 的中点，∴.AE=DE.又∠PEA=∠QED, ∴.△APE≌△DQE.∴.AP=DQ..四边形APDQ是 平行四边形(2)①AB的中点②当点P与，点B重合 时，四边形APDQ是菱形理由：如图，'四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，∴.AD=AB,∠DAB=60°. .△ABD为等边三角形..AB=BD,即AP=DP.由 (1),得四边形APDQ是平行四边形，.四边形APDQ 是菱形. B(P) (第6题) 7.(1)补全图形如图①所示(2)如图②，连接AC,CE, 设∠CDE=a.,四边形ABCD是正方形，∴.DA=DC, ∠ADC=90°.点A,E关于DP对称，∴DA=DE ·DA=DC=DE.·.∠DbC=∠ECD=2(180-a)= 90°-2a,∠DAE=∠DEA=2(180°-90°-a)=45°- 3a.·∠CEF=∠DBC-∠DEA=90-克a (45-2)-46.:CF1AE,·∠CFE=90 .∠FCE=∠CEF=45°.∴.FC=FE(3)FB十FD= √2FA如图③，过点A作AM⊥FD,交FD的延长线于 点M,AN⊥BF于点N,过点B作BJ⊥AE于点J, BK⊥FC,交FC的延长线于点K.由(2)，知DC=DE, FC=FE,又：DF=DF,∴.△DFC≌△DFE ·∠DFC=∠DFE-7×(360-90)=135 ∴.∠DFG=180°-∠DFE=45°.：∠BJF=∠JFK= ∠K=90,.∠JBK=∠ABC=90°..易得∠ABJ= ∠CBK.BA=BC,∠BJA=∠K=90°，∴.△BJA≌ △BKC..BJ=BK.:BJ⊥FA,BK⊥FK, ∴.∠BFJ=∠BFK=45°.∴.∠AFM=∠AFN=45°. ∠M=∠ANF=90°，FA=FA,.△FAM≌ △FAN..AM=AN.AD=AB,∠M=∠ANB= 90°，∴.Rt△AMD≌Rt△ANB..DM=BN.:∠M= ∠MFN=∠ANF=90°，∴.四边形AMFN是矩形 ·AM=AN,∴.四边形AMFN是正方形.∴.易得AF= √2FM.∴.FB+FD=FN+BN+FM-DM=2FM= √2AF D D G G ① ② D G7 B 、P C K ③ (第7题)》 第10天复习综合检测 -、1.C2.B3.D4.C5.D6.A7.C8.D 9.A10.C 2 二、11.二（答案不唯-）12.0.9613.0.18 14.1515.1316.2417.1618.2.4 三、19.(1)2√5(2)12-45 20.(1)x=4(2)x=0 21.(1)抽样调查的人数是20÷10%=200，a=200× 20%=40,b=200-20-40-70-10=60,m%=20)× 100%=30%,即m=30(2)补全频数分布直方图如图所 示(3)35%+5%=40%，12000×40%=4800（人）. ∴.视力正常的人数占被调查人数的百分比为40%，估计 该市2026年七年级学生视力正常的有4800人 频数 70 60 50 40 0 20 10 0 4.04.34.64.95.25.5视力 (第21题) 22.(1)AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE= ∠CDE.E是AD的中点，∴.AE=DE..△FAE≌ △CDE..AF=DC.D是BC的中点，.BD= DC.∴.AF=BD.又·AF∥BC,∴.四边形ADBF是平 行四边形.∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD= BD=2BC.·四边形ADBF是菱形(2)：四边形 ADBF是菱形，∴S装AD附P-2S△AD.:'D是BC的中 点，.SAAx=2S△ABn·.S装无ADP=S△A=40. AB=8,∴易得AC=10..AC的长为10 23.(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则 每天生产乙种文创产品的数量是(x一50)个.根据题意， 得3x-4(x-50)=100,解得x=100,.x-50=50. ∴.该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生 产乙种文创产品的数量是50个(2)设每天生产乙种文 创产品增加的数量是y个，则每天生产甲种文创产品增 加的数量是y个根银题藏，得2，=10解 得y=20.经检验，y=20是所列方程的解，且符合题 意.∴.每天生产乙种文创产品增加的数量是20个 24.(1)①设BE与AG交于点N,与DG交于点M. :四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，∴.AD AB,AG=AE,∠DAB=∠EAG=90°.∴.∠DAB+ ∠BAG=∠EAG+∠BAG,即∠DAG=∠BAE. ∴.△DAG≌△BAE.∴.DG=BE,∠AGD=∠AEB.由 题意，得∠AEB+∠ANE=90°，∠ANE=∠MNG, ∴.∠AGD+∠MNG=90°..∠GMN=90°..DG⊥ BE②：Sm边无BD=S△GAB十S△ABD十S△ABn十S△AG, 且在旋转过程中，△ABD与△AGE的面积始终保持不 变，.当AB⊥AG,AD⊥AE时，△ABG与△ADE的面