2.4 等腰三角形的判定定理 同步分层练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到实际应用，通过选择、证明、实践题递进，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|等腰三角形判定与性质、等边三角形判定、三角形内角和|以选择、填空为主，如第1题用内角和判断等腰三角形，第11题填空式证明强化逻辑推理| |能力提升|综合应用（多结论判断、动态等腰三角形）、尺规作图|如第13题多结论辨析，第17题结合轴对称分类讨论，培养推理能力| |拓展创新|实际应用（测量河流宽度）|第18题联系生活情境，用等腰三角形判定解决测量问题，体现应用意识|

2.4 等腰三角形的判定定理 同步分层练习 一、夯实基础： 1．已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是(　　). A．30°，60° B．40°，70° C．50°，60° D．100°，30° 2．下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 3．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（　　） A． B． C． D．，且 4．如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列命题：①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；②在一个三角形中，相等的角所对的边相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果一个三角形的三边长a，b，c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 7．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D交AC于点E，那么下列结论中正确的是（　　） ①△BDF和△CEF都是等腰三角形 ②DE=BD+CE ③△ADE的周长等于AB和AC的和 ④BF=CF A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 8．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是　 　． 9．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为　 　． 10．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则　 　米． 11．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形． 证明：在中 ∵， ∴______（等腰三角形________） ∵， ∴ ____（两直线平行，内错角相等） ______ ______（等量代换） （在同一个三角形中，________） 即是等腰三角形． 二、能力提升： 12．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④． 正确的是（　　）． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 14．已知 的周长为 ，当 的值为　 　时， 是等腰三角形． 15．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是　 　． 16．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 17．如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接． （1）求的度数． （2）设，当为何值时，为等腰三角形？ 三、拓展创新： 18．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°， ∴第三个内角为180°- 30°- 60°= 90°， ∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意； B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°， ∴第三个内角为180°- 40°- 70°= 70°， ∴这个三角形由两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°， ∴第三个内角为180°-50°-60°= 70°， ∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°， ∴第三个内角为180°-100°-30°= 50°， ∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意； 故答案为：B. 【分析】由三角形内角和定理和等腰三角形的判定分别对各个选项进行判断即可. 2．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：A、不是等腰三角形，故选项A错误； B、3，7，7可以构成等腰三角形的条件，故选项B正确； C、，不满足三角形三边条件，选项C错误； D、不是等腰三角形，故选项D错误. 故答案为：B 【分析】根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系，逐项判断即可． 3．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定 【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意； B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意； C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意； D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解. 4．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠A=36°，∠ADB=108°， ∴∠ABD=180°-108°-36°=36°， ∴∠ABD=∠A，即△ABD是等腰三角形． 故答案为：A. 【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠ABD=36°，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可求解. 5．【答案】C 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：①等腰三角形中有一个角等于60°，则另外两个角也60°，此三角形为是等边三角形，正确；③利用全等三角形或面积法可证得等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，正确；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17，错误。 故答案为：C. 【分析】第1，2个判断项为教材中的定理，第3个判断项可利用中线平分面积的性质，结合等面积法证明其正确性；第4个判断项则需考虑等腰三角形，腰长的不确定性。 6．【答案】A 【知识点】等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：∵(a-b)(b-c)(c-a)=0 ∴a=b或b=c或a=c 说明三角形的三条边中至少有两条边相等； ∴这三角形一定是等腰三角形 故答案为：A. 【分析】根据等腰三角形两腰相等解题即可. 7．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB， ∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形. ∴①正确 ∵△DFB，△FEC都是等腰三角形. ∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC. ∴②③正确； ∵△ABC不是等腰三角形， ∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠FBC≠∠FCB， ∴BF≠CF， ∴④错误. 综上，正确的结论为①②③. 故答案为：B. 【分析】①由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，由角平分线的性质可得∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB，所以∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，由等腰三角形的判定可知△DFB，△FEC都是等腰三角形； ②由①知，△DFB，△FEC都是等腰三角形，所以DF=DB，FE=EC，则DE=DF+EF=BD+CE； ③由②知， DE=BD+CE，所以△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+AE+BD+CE=AB+AC； ④ 因为△ABC不是等腰三角形，所以不能证明∠FBC≠∠FCB，即BF≠CF。 8．【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【解析】【解答】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据等边三角形的判定定理解题即可． 9．【答案】12 【知识点】等腰三角形的判定；内错角的概念 10．【答案】48 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ ∴∠BAC=180°-60°-60°=60° ∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=BC=48米． 故答案为：48． 【分析】根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解. 11．【答案】2；三线合一；3；2；3；等角对等边 【知识点】等腰三角形的判定与性质；内错角的概念 12．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， ∵中，，， ∴∠A=180°-∠C-∠B=60°， 又∵， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴∠DCB=∠ACB - ∠ACD=90°-60°=30°， 又∵， ∴∠DCB=∠B， ∴DB=DC ∴△DBC是等腰三角形， 即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意； 、由图可知，DE是BC的垂直平分线， ∴和不一定等腰三角形，符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴是等腰三角形，不符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和是等腰三角形，不符合题意； 故答案为：． 【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 13．【答案】A 【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵平分，， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误， ∴①②③正确． 故答案为：A． 【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④． 14．【答案】4或5或6 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解∵△ABC的周长为16，AB= 6， ∴BC+AC =10， 分为两种情况：①当AB和AC为腰时， 则AB＝AC=6，BC=4； ②当AB和BC为腰时， 则AB=BC＝6时， AC=4； ③当AC和BC为腰时， 即BC=AC时，BC=AC=5， 综上所述，当AC的值为4或5或6时，△ABC是等腰三角形； 故答案为：4或5或6. 【分析】分为三种情况：①当AB和AC为腰时，②当AB和BC为腰时，③当AC和BC为腰时，分别求出即可. 15．【答案】10°或80°或20°或140° 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定 16．【答案】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴180°-∠ABE=180°-∠CAD， 即， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由等角的补角相等推出，利用等角对等边求得，再根据三边相等的三角形是等边三角形即可得出结论． 17．【答案】（1）解：∵、关于所在的直线对称， ∴△ABD≌△AFD， ∴∠B=∠AFD，AB=AF， ∵AB=AC， ∴AF=AC， ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG=∠CAG， 在△AFG和△ACG中， ， ∴△AFG≌△ACG（SAS）， ∴∠AFG=∠C， ∵∠BAC=130°， ∴∠DFG=∠ADG+∠AFG=∠B+∠C=180°-∠BAC=. （2）解：由（1）可知，∠DFG=50°，△ABD≌△AFD， ∴∠BAD=∠FAD=θ，∠B=∠AFD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠BAC=130°， ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=25°， 当△DFG为等腰三角形时，可以分三种情况： ①DF=GF时，则∠FDG=∠DGF， ∵∠DFG=50°， ∴∠FDG=∠DGF=（180°-∠DFG）=65°， 在△ADF中，∠FAD+∠ADF+∠AFD=180°， ∴∠FAD+∠ADG+∠FDG+∠AFD=180°， ∴∠FAD+∠BAD+∠B+∠FDG+∠AFD=180°， 即θ+θ+25°+65°+25°=180°， 解得：θ=32.5°， ②DG=FG时，则∠GDF=∠DFG=50°， 在△ADF中，∠FAD+∠ADF+∠AFD=180°， ∴∠FAD+∠BAD+∠B+∠FDG+∠AFD=180°， 即θ+θ+25°+50°+25°=180°， ∴θ=40°， ③GD=FD时，则∠DGF=∠DFG=50°， ∴∠GDF=80°， 在△ADF中，∠FAD+∠ADF+∠AFD=180°， ∴∠FAD+∠BAD+∠B+∠FDG+∠AFD=180°， 即θ+θ+25°+80°+25°=180°， ∴θ=25°. 综上所述，当θ=32.5°，40°或25°时，△DFG为等腰三角形. 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）根据轴对称性质可得，求得∠B=∠AFD，AB=AF，AF=AC，可根据SAS证明△AFG≌△ACG得出∠AFG=∠C，再利用三角形的内角和定理即可得出∠DFG=180°-∠BAC； （2）由（1）可知∠DFG=50°，△ABD≌△AFD，易得∠BAD=∠FAD=θ，∠B=∠AFD，∠B=∠C=25°，再根据①DF=GF时，②DG=FG时，③GD=FD时三种情况讨论，为等腰三角形，分别求出对应的值即可． （1）解：∵，， ∴， ∵、关于所在的直线对称， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论： 令与交点为， ， ①当时， ∴， ∵， ∴在中：， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴在中：， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴在中：， ∴； 综上所述：当或时，为等腰三角形． 18．【答案】（1） （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米 （3）解：可行，理由如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行 【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】（1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解； （2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解； （3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解． （1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米； （3）解：可行，证明如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行． 1 学科网（北京）股份有限公司 $