2.4等腰三角形的判定定理 同步测试 2026-2027学年 浙教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦等腰三角形判定定理，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰三角形判定与性质、等边三角形基础|直接应用定理，如选择1用周长关系证等腰| |中档层|结合垂直平分线、外角性质、全等|综合2-3个知识点，如解答18用角平分线和平行线证等腰| |综合层|动态问题、探究性证明|复杂情境与开放探究，如解答24探究线段关系，培养创新意识|

2.4等腰三角形的判定定理 同步测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　） A．△ABC的边BC上的中线所在的直线 B．∠ACB的平分线所在的直线 C．△ABC的边AB的垂直平分线 D．△ABC的边AC上的高所在的直线 2．如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 4．已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm 5．在中，，，则的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．6 6．如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 7．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（　　） A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm 9．如图所示，以 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 C，交 于点 D，再分别以点 C 、 D 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在 内部交于点 E，过点 E 作射线 ，连接则下列说法错误的（　　） A．射线 是 的平分线 B． 是等腰三角形 C．C、D 两点关于 所在直线对称 D．O、E 两点关于 所在直线对称 10．如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（每空4分，共24分） 11．如图所示，P是等边三角形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，得到，若，则　 　． 12．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为　 　. 13．如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为　 　． 14．如图，在中，，是边上的中线，E是上一点，且．若，则　 　． 15．如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是　 　. 16．如图是某种落地灯的简易示意图，为立杆；为支杆，可绕点B旋转；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．为了使落地灯更方便学习时的照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长为，则此时B，D两点之间的距离为　 　． 三、解答题（共8题，共66分） 17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝2，CN＝3，求线段MN的长． 18．如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形. 19．如图，在中，，把直角边沿过点的某条直线折叠，使点落到边上的一点处，当时，证明． 20．如图，在中，与的平分线相交于点O，AO的延长线交于点D，.求证：. 21．欢欢和父亲起设计一个三角形屋架，如图，父亲给出一组数据：AB＝AC＝7m，BD＝CE＝2.5m，AD＝4m，∠DAE＝60°，让欢欢根据这组数据计算制作这个三角形屋架一共需要多长的钢材，请你帮欢欢计算一下，并说明理由. 22．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形． 23．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F. （1）求∠AEB的度数； （2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长. 24．如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点． （1）求证是等腰三角形； （2）探索、、之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵， ∴， ∴AB=AC， ∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴； 故答案为：A． 【分析】利用三角形的周长公式及线段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴。 2．【答案】D 【知识点】等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：如图所示，一共有8个点C符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。 3．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：由题意得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：B． 【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。 4．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接， ∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：B． 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。 5．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴的周长=． 故答案为：B． 【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得的周长=。 6．【答案】A 【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 【分析】根据题意先求出∠BDC=30°，再求出，最后计算求解即可。 7．【答案】A 【知识点】等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：，， . 故答案为：A. 【分析】由已知条件可知∠ABC=∠ACB，则AB=AC，据此解答. 8．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AH⊥BC，BH=CH， ∵DE=4cm， ∴DF=EF-DE=6cm， 在Rt△DFH中，HF=DF=3， ∴BH=BF-HF=10-3=7（cm）， ∴BC=2BH=14cm. 故答案为：C. 【分析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，易得△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，根据等腰三角形的性质得AH⊥BC，BH=CH，在Rt△DFH中，根据含30°角直角三角形的性质得HF=DF=3，据此就不难得出答案. 9．【答案】D 【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图-角的平分线 【解析】【解答】解：由题意得射线 是 的平分线，， ∴ 是等腰三角形，点C、D 两点关于 所在直线对称， 故D故符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用角平分线的作图方法，等腰三角形的判定方法和性质及轴对称的性质逐项判断即可。 10．【答案】C 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 即， ∴，故②不符合题意； ∵，， ∴垂直平分，故③符合题意； ∴平分，故④符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用角的运算，垂直平分线的判定和性质逐项判断即可。 11．【答案】3 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：将绕点B顺时针方向旋转，得到， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：3． 【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。 12．【答案】15 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：∵于点D，， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：15. 【分析】根据等腰三角形的判定定理可得AB=AC，由垂直平分线的性质可得AC=EC，则AC=EC=AB，根据周长的意义可得AB+AC+BC=2(AC+DC)=30，求出AC+DC的值，然后根据DE=DC+CE=DC+AC进行计算. 13．【答案】2 【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的计算 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【分析】先利用角的运算和等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得。 14．【答案】6 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：6. 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠CAD，∠B=∠C，由平行线的性质可得∠EDA=∠CAD，∠EDB=∠C，推出DE=AE，DE=BE，据此求解. 15．【答案】6 【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，， ，， ， ， 为等边三角形， 为， 的最小值为到的距离， 故答案为：6. 【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长. 16．【答案】50 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，连接 是等边三角形 ， 此时B，D两点之间的距离为 故答案为：50． 【分析】连接BD，先证明是等边三角形 ，再利用等边三角形的性质可得，从而得解。 17．【答案】解：∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE， ∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE， ∴ME＝MB，NE＝NC， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝5， 故线段MN的长为5． 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义 【解析】【分析】由平行线的性质可得∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，根据角平分线的概念可得∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE， 进而推出ME＝MB，NE＝NC，然后根据MN＝ME+NE＝BM+CN进行计算. 18．【答案】证明：平分， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义 【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠ACD=∠ECD，再根据平行线的性质得∠A=∠ACD，∠B=∠ECD，故∠A=∠B，根据等角对等边得AC=BC，从而根据等腰三角形的定义得出结论. 19．【答案】证明：在中， ， ， （等角对等边），即为等腰三角形， 由等腰三角形性质：等腰三角形底边上的高与底边中线重合可得，为的中线， ． 【知识点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】先证明为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得。 20．【答案】证明：， . 与的平分线相交于点O， ，. . . 在和中 . . . 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，根据角平分线的概念可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，利用SSS证明△ABO≌△ACO，得到∠BAD=∠CAD，据此证明. 21．【答案】解：制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材，理由如下： ∵AB＝AC＝7m， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE， ∵∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE＝AD＝4m， ∴AE+DE+AD+BD+CE+AB+AC＝4+4+4+2.5+2.5+7+7＝31（m）， 即制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材. 【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由已知条件可知AB=AC，BD=CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到AD＝AE，推出△ADE是等边三角形，则AE＝DE＝AD＝4m，据此求解. 22．【答案】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF＝60°， ∴∠EDF＝60°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 【解析】【分析】利用“ASA”证明△BDE≌△CDF，可得DE=DF，再结合∠EDF＝60°，可得△DEF是等边三角形。 23．【答案】（1）解：∵为等边三角形， ∴∠BAC=60°. ∵∠ABE=∠CAD， ∴∠ABE＋∠BAE=60°， ∴∠AEB＝180°-60°=120° （2）解：在AF上截取AG＝BE，连接CG 在△ABE和△CAG中，， ∴△ABE≌△CAG(SAS)， ∴BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°， ∴∠BED=60°. ∵AF＝15， ∴GF=AF-AG=15-10=5，∠CGF＝60°. ∵， ∴∠BED＝∠CFA＝60° ∴∠CGF＝∠CFA＝60° ∴△CFG为等边三角形. ∴AE＝CG＝GF＝5. 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，由已知条件可知∠ABE=∠CAD，则∠ABE＋∠BAE=60°，然后根据内角和定理进行计算； （2）在AF上截取AG＝BE，连接CG，利用SAS证明△ABE≌△CAG，得到BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°，则∠BED=60°，GF=AF-AG=5，∠CGF＝60°，由平行线的性质可得∠BED＝∠CFA＝60°，则∠CGF＝∠CFA＝60°，推出△CFG为等边三角形，据此解答. 24．【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定 【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质求出，即可得到CA=CE，从而可证为等腰三角形； （2）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。 1 学科网（北京）股份有限公司 $