第3天 四边形-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9苏科版）

复习·整合提优 第1天数据的收集、整理与描述 车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥堵.建 议家长在条件允许的情况下优先选用公共交通接送孩子 -、1.A2.A 或者使用电动自行车或私家车接送孩子时避开时间段 3.B 12:00~12:10(言之有理即可) 易错分析 各时段用电动自行车或私家车接送孩子的家长人数 因对概念的理解不准确而导致错误 条形统计图 日常生活中的“考察对象”与总体、个体、样本中的 口电动自行车口私家车 人数 “考察对象”意义不同，前者指生活中的人或物（如学 0 46 40 35 生、灯泡等)，后者指生活中的人或物的某种属性（如学 0 20 生的视力、灯泡的使用寿命等).表述总体、个体、样本 0 0 时易将统计学中的“考察对象”与日常生活中的“考察 12:00~12:10 12:00 11:50 12:10~12: 其他时段时侵 对象”混淆，导致出错.另外，样本容量是指样本中个体 的数目，它是不带单位的. (第15题) 第2天认识概率 4.D5.D6.B7.D 8.D -、1.D2.D3.C4.A5.D6.C ·方法归纳 7.A 双统计图问题的求解策略 易错分析 题目中如果有两幅统计图，那么要抓住在两幅统 因对频率稳定值和概率估计值的 计图中量都已知的同一项目，利用“频率=额数，”求出 理解不准确而导致错误 总数 在一定条件下，多次重复同一试验，随机事件A发 总数，进而求得统计图中其他项目的量」 生的频率为a%,这里的a%不是指每做100次试验，随 机事件A就一定有a次发生. 二、9.每名同学对抗日战争时间的了解情况被抽取的 140名同学对抗日战争时间的了解情况14010.6 8.B 11.10812.20252024 方法归纳 三、13.(1)小明的抽样不合理理由：全年级每名学生 运用频率估计概率思想来估计不规则图形的面积 被抽到的机会不相等，样本不具有代表性.小刚的抽样 估计不规则图形的面积，常通过做大量重复的试 不合理理由：样本容量太小，样本不具有广泛性. 验，得到试验结果在不规则图形中的频率，再利用所得 (2)答案不唯一，如数学兴趣小组从25个班级各随机抽 频率来估计概率，进而运用概率的意义建立面积之间 取学号为9,19,29,39的学生进行调查 的数量关系，从而求得不规则图形的面积」 14.(1)202(2)72(3)由题意，得学生总人数为 10片25%=0.：120×8钻2-30（合，倍计体重在 二、9.随机10.211.0.912.1 三、13.(1)随机事件(2)不可能事件(3)必然事件 59.5kg及以上的学生有300名 14.(1)2950.745(2)0.60.6(3)360°×(1 15.(1)36135补全条形统计图如图所示(2)1500× 0.6)=144°，∴.在该转盘中，“手工”区域的扇形对应的圆 30%=450(名)，∴：估计用私家车接送孩子的家长有 心角的度数大约是144 450名(3)由扇形统计图，可知用电动自行车和私家车 接送孩子的人数占比为45%+30%=75%.由条形统计 第3天四边形 图，可知在时间段12：00~12：10内，接送孩子的电动自行 -、1.D2.A3.C4.D5.B6.C 7.B解析：连接DF.:四边形ABCD是正方形，∴.点t)cm.当四边形CQPD是平行四边形时，3t一24=12-t, B与点D关于AC对称.∴.BF=DF.∴.△BFE的周 解得t=9.当四边形CQPD是等腰梯形时，t+3+(3t 长=BF+EF+BE=DF十EF十BE.连接DE,根据“两 24)十3=12，解得t=7.5(舍去).∴当t=9时，PQ= 点之间，线段最短”可知，当点D,F,E在同一条直线上 CD.综上所述，当t的值为1.5或3或6或9时，PQ=CD. 时，DF+EF的值最小，为DE的长，此时△BFE的周长 A P-H D 最小，为DE十BE的值.：正方形ABCD的边长为4， ∴.AD=AB=4,∠DAB=90°.，点E在AB上，BE= B←O ① ② 1,∴AE=3.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE= √AD+AE=5,∴.此时△BFE的周长=5+1=6. 方法归纳 Q→ 利用对称性求最小值 ③ 正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的 (第8题) 一条对称轴.如果两条线段的公共端，点在正方形的对 二、9.210.1011.6 角线上且这两条线段在对角线的同侧，那么这两条线 12.34或38 段长度之和的最小值可利用正方形的对称性求解，即 易错分析 先作其中任意一条线段的另一端点关于对角线的对称 因未对不同长度的线段进行分类讨论而导致错误 点，得到这条线段的对称线段，再利用“两点之间，线段 某条线（或某个点）把一条线段分成两条不相等的 最短”求出最小值 线段，如果没有明确指出这两条不相等的线段中较长 的线段、较短的线段，而是用不确定性的文字表述，如 8.B解析：由题意可知，点P从点A到点D需12s,点 “分成长为…的两条线段”，那么要进行分类讨论，即 Q从点C到点B(或从点B到点C)需12：3=4(s).设点 分成的不相等的两条线段中，任一条线段都有可能是 P,Q的运动时间为ts.①如图①，当0≤t≤4时，过点Q 较长线段，这样求解才全面. 作QH⊥AD于点H,过点C作CG⊥AD于点G.由题意 可知，AP=tcm,CQ=GH=3tcm..'PD∥CQ,PQ= 13.①②③④ CD,∴.四边形CQPD是等腰梯形或平行四边形.当四边 14.2.4解析：四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD 形CQPD是等腰梯形时，∠QPH=∠D=∠B=60° BO=DO=4,OA=CO...∠BOC=90°，BD=8. PQ=CD=AB-6 cm.PH-2PQ=3 em:DG= SA-7AC.BD=24.AC=6..CA-CO- 2CD=3 cm.AP+PH+GH+DG=AD=BC- 1 3.在Rt△OBC中，由勾股定理，得BC=√CO?+BO= 12cm,∴.t+3十3t+3=12,解得t=1.5.如图②，当四边 √32+4=5.由“垂线段最短”可知，当OH⊥BC时，OH 形CQPD是平行四边形时，PD=CQ=3tcm,.t+3t= 的长最小，此时S20c=2B0·C0=2BC·OH, 12,解得t=3.∴.当t=1.5或3时，PQ=CD.②当4< t≤8时，BQ=(3t-12)cm,AP=tcm.如图③，当四边形 OHB0:C0_4X3=2.4.OH长的最小值是 BC 5 CQPD是平行四边形时，PD=CQ.:AD=BC, 2.4. ∴.BQ=AP,即3t-12=t,解得t=6.当四边形CQPD 三、15.如图，过点D作DF∥AB,交BC于点F.:AD∥ 是以CD,PQ为腰的等腰梯形时，同①可得，t十3十(24 BC,DF∥AB,∴四边形ABFD为平行四边形.∴.BF= 3t)十3=12，解得t=9(舍去)..当t=6时，PQ CD.③当8t12时，CQ=(3t-24)cm,PD=(12 AD,AB-DF.BE-(AD+BC),BE-BF+EF, 2 ·BF+EF=号(BF+BF+EF+EC.&EF=BC. 腰直角三角形，∴.∠AED+∠BEH=∠AED十 ∠MDE=90°，DE=EH.∴.∠BEH=∠MDE.在 ·DE⊥BC,.DF=DC..AB=CD DM=EB, △DME和△EBH中 ∠MDE=∠BEH,.∴.△DME≌ DE-EH, F △EBH.∴.ME=BH.在Rt△AEM中，∠A=90°， E (第15题) AM=AE,∴.易得ME=√2AE.∴.BH=√2AE 16.(1):四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD, AB∥CD,OB=OD,OA=OC.∴.∠ABE=∠CDF. :E,F分别为OB,0D的中点，BE=2OB,DF= B ,OD.·BE=DE,在△ABE和△CDF (第17题) 18.(1)'D,E,M,N分别为AC,AB,OB,OC的中点， (AB-CD. ∠ABE=∠CDF,∴.△ABE≌△CDF(2)当AC= ·.DE∥BC,DE=BC,MN∥BC,MN=2BC BE=DF, ∴.DEMN,DE=MN.∴.四边形DEMN为平行四边 2AB时，四边形EGCF是矩形理由：：AC=2OA, 形.∴.OM=OD.M为OB的中点，即OM=BM, AC=2AB,∴.AB=OA.:E是OB的中点，.AG⊥ OB.同理可得，CF⊥OD,∴.AGCF,即EGCF.由(1)， 0B=20M=20.88-2(②当AB=AC时，▣ 知△ABE≌△CDF,.AE=CF.EG=AE,∴.EG= 边形DEMN是矩形：D,E分别为AC,AB的中点， CF.∴.四边形EGCF是平行四边形.AG⊥OB, &AD=号AC,AE=号AB.:AB=AC.AD= .∠OEG=90°..四边形EGCF是矩形 AD=AE, 17.(1)△DEH为等腰直角三角形理由：如图，连接 AE.在△ADB和△AEC中，∠A=∠A,.△ADB≌ DF.点A,F关于直线DE对称，∴.AD=FD,AE= AB-AC. (AD-FD, △AEC..BD=CE.OD=OM=BM,∴.MD= FE.在△ADE和△FDE中，AE=FE,.△ADE≌ DE=DE. 号D.月超可得，NE-号CEMD-NE.由，得四 △FDE.∴.∠A=∠DFE,∠ADE=∠FDE.:四边形 边形DEMN为平行四边形，∴.四边形DEMN为矩形 ABCD是正方形，.∠A=∠C=∠ADC=90°，AD= (3)四边形DEMN是正方形，∴.OE=OD=OM= CD..∠DFE=∠A=90°.∴.∠DFG=180°- ON,OE⊥OD.∴.∠EOD=∠EOB=90°.设OE=OD= ∠DFE=90°.∴.∠DFG=∠C.AD=FD,AD=CD, OM=ON=x,则OB=2x,ED=√OE+OD= DG-DG, ∴.FD=CD.在Rt△DCG和Rt△DFG中， √2x.在Rt△BOE中，由勾股定理，得BE= CD-FD. ∴.Rt△DCG≌Rt△DFG..∠CDG=∠FDG. √OE+OB=√5x,.易得AB=25x.BC= ∠ADC=90°，∴.2∠FDE+2∠FDG=90°. m-…授层要 ∴，∠FDE+∠FDG=45,即∠EDG=45°EH⊥DE, ∴.易得∠EDG=∠DHE=45°.∴.△DEH为等腰直角 第4天因式分解 三角形.(2)BH=√2AE如图，在线段AD上截取 -、1.C2.B3.B4B5.B6.C7.B8.C AM,使AM=AE,连接ME.,'四边形ABCD是正方形， 二、9.ab(a+b)10.7(m+2)(m-2)11.2(x- .AD=AB.∴.易得DM=EB.由(1)，得△DEH是等3y)212.1013.4 3期升级训练数学（苏科版）八年级·A 第3天 一、选择题 1.在□ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D可 以是 A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.1:1:2:2 D.2:1:2:1 2.[泸州中考]矩形具有而菱形不具有的性 质是 () A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直D.对角相等 3.[湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角 线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边 形ABCD的周长为 ) (第3题) A.6 B.9 C.12 D.18 4.[广安中考]如图，在△ABC中，D,E分别是 AC,BC的中点.若∠A=45°，∠CED=70°， 则∠C的度数为 (第4题)》 A.45 B.50° C.60° D.65 5.转化与化归思想如图，四边形ABED是梯形， DA⊥AB,EB⊥AB,AD=AC,BE=BC, 连接CD,CE.若AC·BC=15,则图中涂色 部分的面积为 (第5题) A.14B.15 C.28 D.30 四边形 6.如图，在矩形OAB 2),则AC的长为 ( (第6题) A.5 B.33C.√29D.6 7.★转化与化归思想如图，正方形ABCD的边 长为4，点E在AB上，BE=1,F为对角线 AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 () (第7题) A.5 B.6 C.7 D.8 8.分类讨论思想[自贡中考]如图，在□ABCD 中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运 动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度 沿C→B→C→…来回运动，当点P到达端 点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程 中，线段PQ=CD出现的次数是() AP- +0C (第8题) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 9.[新疆中考]如图，在□ABCD中，∠BCD的 平分线交AB于点E.若AD=2,则BE= AE (第9题) 10.转化与化归思想如图，梯形ABCD沿AB方 向平移2个单位长度得到梯形A1B1C1D1, 连接A1B.若AB=1,CD=5,AD=BC= 3,则图中涂色部分的周长为 A B AB (第10题) (第11题) 11.[扬州中考]如图，在△ABC中，D,E分别 是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延 长线上，且∠BFC=90°.若AC=4,BC= 8,则DF的长是 12.★分类讨论思想口ABCD一内角的平分线 与边相交并把这条边分成长为5,7的两条 线段，则☐ABCD的周长是 13.如图，以△ABC的三边为边在BC上方分 别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、 等边三角形BCF,且点A在△BCF内部. 给出下列结论：①四边形ADFE是平行四 边形；②当∠BAC=150°时，四边形 ADFE是矩形；③当AB=AC时，四边形 ADFE是菱形；④当AB=AC,且 ∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形. 其中，正确的为 (填序号). (第13题) 14.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,H是线段BC上的动点，连接OH. 若OB=4,S菱形ABm=24,则OH长的最小 值是 (第14题) 复习·整合提优 三、解答题 15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DE⊥ BC,垂足为E,BE= AD+BC,求证： AB=CD. E (第15题) 16.如图，在☐ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O,E,F分别为OB,OD的中点，连 接AE并延长至点G,使EG=AE,连接 CG,CF. (1)求证：△ABE≌△CDF (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四 边形EGCF是矩形？请说明理由. (第16题) 毫期升级训练数学（苏科版）八年级·A 17.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的 一动点（不与点A,B重合），连接DE,点A 关于直线DE的对称点为F,连接EF并延 长，交BC于点G,连接DG,∠CGD ∠DGE,过点E作EH⊥DE,交DG的延 长线于点H,连接BH (1)猜想△DEH的形状，并说明理由； (2)猜想BH与AE的数量关系，并证明， (第17题) 18.如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AC, AB上的中线，BD与CE相交于点O,M, N分别为OB,OC的中点，连接ED,EM, MN,ND. (0)求9奶的值 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形 DEMN是矩形？给出你的结论并证明. (3)若四边形DEMN是正方形，求织 C 的值 M (第18题)