暑假作业05 菱形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以菱形定义-性质-判定为逻辑主线，覆盖角度计算、线段长等6类核心题型，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点|定义-性质-判定递进呈现，含符号语言转化|从概念生成到性质推导，再到判定应用的完整链条| |角度计算|5题|结合对角线、折叠等考查内角关系|性质中对角、邻角关系的直接应用| |线段长|5题|涉及对角线、高、中点等计算|菱形四边相等及对角线垂直性质的综合运用| |面积|5题|含对角线、边长与高、重叠图形面积|面积公式（对角线乘积一半、底乘高）的灵活应用| |判定条件添加|5题|平行四边形、矩形背景下添加菱形条件|判定定理（定义法、四边相等、对角线垂直）的逆向运用| |性质判定综合|5题|含证明与计算，结合矩形、折叠等|性质与判定的综合推理，体现逻辑思维| |作图|5题|尺规作图构建菱形，结合折叠、网格|空间观念与几何作图技能的实际应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 菱形 【知识点1 菱形的定义与表示方法】 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 【知识点2 菱形的性质】 1.边的性质：对边平行，四边相等． 2.角的性质：对角相等，邻角互补． 3.对角线的性质：对角线互相垂直平分． 4.整体性质：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 【知识点3 菱形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ∵,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 判定1 四条边都相等的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 判定2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ∵, ∴四边形ABCD是菱形 【题型1 根据菱形的性质计算角度】 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 3．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 4．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 根据菱形的性质求线段长问题】 6．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 7．如图，菱形的两条对角线，相交于点O，点E在上，，，，则的长为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据等角对等边得出，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知是等边三角形，可得正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的对角线长． 【详解】解：如下图所示，连接， 菱形中，， 是等边三角形， ， ， 正方形的边长为， ． 10．如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点M．过点D作的平行线交的延长线于点N，连接．则的长为_______． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，利用勾股定理求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴． 【题型3菱形面积问题】 11．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点O，由菱形可得，由勾股定理可得，即可解得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【分析】首先根据长方形对边平行判定四边形为平行四边形，再利用两条纸条宽度相等证明该平行四边形邻边相等，从而判定为菱形，最后在直角三角形中利用三角函数求出边长，利用底乘高计算面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 【题型4添加条件使四边形称为菱形】 16．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 17．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 18．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 19．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 20．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 菱形的性质与判定综合问题】 21．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 22．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，可知，由翻折的性质可得，，根据等角对等边得到，可知； （2）证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （3）连接交于，根据菱形的性质得到，，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折的性质可得，， ， ， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，连接交于． 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， 根据勾股定理得． 23．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ． 24．如图，在中，，为的中线，，且，连接． (1)求证四边形为菱形． (2)连接，若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出的长___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其邻边相等即可； （2）过点O作于点G，先求，再求，最后根据勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：过点O作于点G， ∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6 与菱形有关的作图问题】 26．如图，点是矩形的边上一点，且． (1)尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）在的延长线上截取线段，使得，连接即可．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接，证明是等边三角形，得出，根据可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求， 理由：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，周长为32， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在中，．是边上的高． (1)实践与操作：用尺规作图法在和边上分别作，，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，．分别求菱形两条对角线的长、 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）作，连接，则四边形即为所求； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而勾股定理求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 根据作图可得 ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∵是边上的高，， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴中，． 28．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． (1)请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 【答案】(1)图见解析，证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交边于点F，交边于点G，交于点，直线即为折痕，在射线上取点，使得，先根据对角线互相平分，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据菱形的性质，求出，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作； 证明如下：由题意可知，点、关于直线对称， 垂直平分， ，， 在射线上取点，使得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ， 点为的中点，， ， 四边形是菱形，， ，，，， ， 29．已知：点在的平分线上． (1)尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)已知，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧，交于点C，作线段的垂直平分线，交、于点D、B，连接、即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，得出，最后根据菱形的面积公式求出． 【详解】（1）解：如图，菱形为所作． 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：四边形是菱形，，， ，， ，， 在中， ， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， 即：菱形的面积为． 30．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B两点是格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图1，以线段为边长作菱形； (2)如图2，点C为格点，D为线段上一点，在线段上作一点P，使的周长最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查无刻度尺作图，菱形的判定，勾股定理与网格问题，利用轴对称解决周长最短问题： （1）根据四边相等的四边形是菱形，进行作图即可； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，作关于的对称点，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； 或 由图和勾股定理知：， ∴四边形为菱形； （2）如图，点即为所求； ∵， ∴当三点共线时，的周长最小， 故点即为所求； 1．如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：和，根据菱形的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，若， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为 若时， ∵， ∴， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为， 综上所述，剪口与第二次折痕所成角的度数应为或． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．中国结寓意团圆、美满，在我们贵州，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小阳家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了贵州少数民族传统图案．如图为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（  ） A．16 B．18 C．19.2 D．20 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，先求得菱形的边长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 4．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】∵四边形是平行四边形. 对于选项A. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意. 对于选项B. 无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意. 对于选项C. ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，C符合题意. 对于选项D. ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意. 综上，答案选C. 5．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 7．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 8．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，所以，可推出，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 9．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用矩形性质和线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件，证明其为菱形． （2）设菱形边长为，在中利用勾股定理求出边长，再用底×高计算菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设菱形的边长为，则， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 在中，由勾股定理得： ，即， 解得． ∴， ∴菱形的面积：． 10．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 1．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可知，由菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ，为对角线， ∴ 平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 2．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意可知，可得，再根据平行线的性质得，然后根据平行线的性质得，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 5．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 6．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 7．如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再利用垂直平分线的判定与性质可得，即可得证； （2）勾股定理求得，得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， 四边形是平行四边形， 在上，，， ， 四边形是菱形； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 8．请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； (2)如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、于点，作射线交于点，则； （2）连接、交于点，作射线交于点，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点为所求； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴； （2）解：如图，为所求； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴（）， ∴． 9．综合与实践 如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且． 特例研究 (1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“>”“<”或“=”） 类比探究 (2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 (3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)= (2)，见解析 (3)15或9 【分析】（1）利用菱形性质、 推出是等边三角形；结合P与O重合、，得到等腰，算出底角；再由菱形对角线平分内角，得，等角对等边证； （2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用SAS证三角形全等，推出； （3）先由菱形边长8、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果． 【详解】（1）解： 四边形是菱形，， ，菱形对角线互相垂直平分， 是等边三角形， ，， 是中点， ， ，点与点重合， ， ， 是等腰三角形， ， 是的外角， ， ， 菱形对角线平分一组内角， ， ， ； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解： 四边形是菱形，边长为，， 是等边三角形， ， 是中点， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ①如图，点在线段的延长线上． ，点在延长线上， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 如图，点在线段上． 菱形边长为，是等边三角形， ， ，点在线段上， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 10．菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质易得到是等边三角形，进而得到，从而证明； （2）连接，根据等边三角形和全等三角形的性质易证明、，进而得到，证得，则，进而证得点在的角平分线上，根据菱形的性质得到平分，从而得出结论； （3）连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G，根据三角形中位线的性质求出、，进而求出，在中，根据含角的直角三角形的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：连接， 是等边三角形，E是的中点， ， 由（1）可知，， 、， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 、， 点在的角平分线上， 四边形是菱形， 平分， 点在上； （3）解：连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G， ， ， ， 由（2）知，， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 菱形 【知识点1 菱形的定义与表示方法】 1. 菱形的定义：有一组 的 叫作菱形. 【知识点2 菱形的性质】 1.边的性质：对边 ，四边 ． 2.角的性质：对角 ，邻角 ． 3.对角线的性质：对角线 ． 4.整体性质：菱形既是 对称图形，也是 对称图形． 【知识点3 菱形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 有一组邻边 的平行四边形是菱形。 ∵,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 判定1 四条边都 的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 判定2 对角线 的 是菱形。 ∵, ∴四边形ABCD是菱形 【题型1 根据菱形的性质计算角度】 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 5．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【题型2 根据菱形的性质求线段长问题】 6．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 7．如图，菱形的两条对角线，相交于点O，点E在上，，，，则的长为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为___________． 10．如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点M．过点D作的平行线交的延长线于点N，连接．则的长为_______． 【题型3菱形面积问题】 11．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 12．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 15．如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【题型4添加条件使四边形称为菱形】 16．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 17．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 18．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 19．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 20．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 【题型5 菱形的性质与判定综合问题】 21．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 22．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 23．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 24．如图，在中，，为的中线，，且，连接． (1)求证四边形为菱形． (2)连接，若求的长． 25．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出的长___________ 【题型6 与菱形有关的作图问题】 26．如图，点是矩形的边上一点，且． (1)尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 27．如图，在中，．是边上的高． (1)实践与操作：用尺规作图法在和边上分别作，，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，．分别求菱形两条对角线的长、 28．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． (1)请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 29．已知：点在的平分线上． (1)尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)已知，，求菱形的面积． 30．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B两点是格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图1，以线段为边长作菱形； (2)如图2，点C为格点，D为线段上一点，在线段上作一点P，使的周长最小． 1．如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．中国结寓意团圆、美满，在我们贵州，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小阳家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了贵州少数民族传统图案．如图为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（  ） A．16 B．18 C．19.2 D．20 4．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 8．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 9．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 10．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 1．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 4．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 5．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 6．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 7．如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 8．请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； (2)如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 9．综合与实践 如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且． 特例研究 (1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“>”“<”或“=”） 类比探究 (2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 (3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 10．菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $