第二章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，适配单元复习，强化数学建模与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|一元二次方程定义、配方法、根与系数关系|结合巴黎奥运握手情境（第7题），体现数学眼光观察现实世界| |填空题|5题15分|根的判别式、几何问题建模|小区通道问题（第11题），培养空间观念与抽象能力| |解答题|7题61分|解法应用、增长率、利润问题、综合探究|建党100周年游客增长（第17题）、长征文创利润（第18题），突出数学思维与模型意识，强化应用能力|

【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】 第二章：一元二次方程 一.选择题：（每小题3分共24分) 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 4．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 5．（本题3分）某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 10．（本题3分）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 11．（本题3分）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 12．（本题3分）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 13．（本题3分）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)． 15．（本题8分）关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 16．（本题8分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 17．（本题8分）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 18．（本题9分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 19．（本题10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 20．（本题12分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． ( 第 2 页 共 16 页 ) ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 第二章：一元二次方程（解析） 一.选择题：（每小题3分共24分) 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．（本题3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 3．（本题3分）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 4．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 5．（本题3分）某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（     ） A． B． C． D． 解：由题意可得，. 6．（本题3分）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 解:设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 7．（本题3分）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 8．（本题3分）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 解单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 10．（本题3分）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 11．（本题3分）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 解：由题意，可列方程为. 12．（本题3分）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 解：这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 13．（本题3分）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)． （1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 15．（本题8分）关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． （1）解：当时，变形为， ∴， 解得，． （2）解：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有实数根． 16．（本题8分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． (1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 17．（本题8分）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． （1）解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）． 答：平均增长率为． (2)依题意：． ∵， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 18．（本题9分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ （1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 19．（本题10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． （1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根，， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 20．（本题12分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． （1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． $