精品解析：重庆市西藏中学校2023-2024学年高二上学期半期考试数学试题

重庆西藏中学2023-2024学年度上期半期考试 高二数学试题卷 命题人：蒙琳 审题人：曾刚 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，集合，，若有三个元素，则 A B. C. D. 2. 若为纯虚数，则a的值为（ ） A. －2 B. 2 C. D. 3. 过点和的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 4. 设为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，则( ) A. B. C. D. 5. 已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 20 6. 已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆心在轴上的圆过点和，已知点是直线上一动点，过点作圆的两条切线分别与圆相切于，两点，若四边形的面积的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得（O为坐标原点），则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 直线与圆相交 D. 点圆内 10. 已知点，直线与线段PQ相交，则实数a可能取值是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 12. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 C. 在C上存在K使得 D. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 椭圆的焦距为，则的值为______ 14. 已知在直线上，则的最小值为_______． 15. 已知动直线：若直线与直线平行，则的值为_____；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为_______． 16. 直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是______ 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知内角对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 18. 已知关于方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 19. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 20. 已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 21. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 22. 已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． （1）圆与圆的方程； （2）设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学2023-2024学年度上期半期考试 高二数学试题卷 命题人：蒙琳 审题人：曾刚 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，集合，，若有三个元素，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由有三个元素可判断，结合集合的互异性排除不合理数值，再求即可 【详解】因为集合，，若有三个元素，则且，解得.此时，故选C. 【点睛】本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合的互异性 2. 若为纯虚数，则a的值为（ ） A. －2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，根据纯虚数的概念得出方程，得出答案. 【详解】 为纯虚数， 则 ，所以 故选：B 3. 过点和的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量为，求得斜率为，结合斜率公式列出方程，即可求解. 【详解】由题意，直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又由点和，可得，解得． 故选：A. 4. 设为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求出的值，再联立方程组分别解出、即可. 【详解】因为，，所以， 故． 故选：B. 5. 已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，将代入求出，进而得到. 【详解】因为：与：互相垂直，所以，，：，即，将代入得，即，将代入得，所以. 故选：C 6. 已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可以确定圆和圆的圆心与半径，然后求出圆和圆的公共弦方程，最后通过公共弦长为得出，通过计算即可得出结果. 【详解】圆的圆心，半径， 圆即，圆心，半径， 圆和圆的公共弦方程为，即， 圆心到的距离为， 因为公共弦长为，所以，解得或（舍去）， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及圆心到公共弦的距离，利用两个圆的公共弦长以及勾股定理即可求出的值. 7. 已知圆心在轴上的圆过点和，已知点是直线上一动点，过点作圆的两条切线分别与圆相切于，两点，若四边形的面积的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组解出未知数可得圆的方程，由切线的性质可得，转化为圆心到直线的距离问题即可. 【详解】设圆的方程为， 代入点和的坐标有，解得， 则圆标准方程为， 由切线的性质有. 由四边形的面积的最小值为可得的最小值为，即， 解得， 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，圆的切线问题，考查了转化与化归思想，属于中档题. 8. 设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得（O为坐标原点），则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值．如果变长，那么可以获得的最大值将变小．因为，为定值，即半径，变大，则变小，由于，所以也随之变小．可以得知，当，且与圆相切时，，而当时，在圆上任意移动，恒成立．因此，的取值范围就是，即满足，就能保证一定存在点，使得，否则，这样的点是不存在的． 【详解】由分析可得： 又因为在直线上，所以 要使得圆C上存在点Q，使得，则 故 解得， 即的取值范围是， 故选：B． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出，从而得到不等式求出参数的取值范围． 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 直线与圆相交 D. 点在圆内 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆的方程标准化后可判断A、B项，运用圆心到直线的距离与半径比较可判断C项，点与圆心的距离与半径比较可判断D项. 【详解】由圆C：得圆C的标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为， 对于A项，圆C的圆心，故A项错误； 对于B项，圆C的面积为，故B项正确； 对于C项，圆心到直线的距离为， 故直线与圆C相交，故C项正确； 对于D项，点与圆心的距离， 故点在圆C外，故D项错误. 故选：BC. 10. 已知点，直线与线段PQ相交，则实数a可能取值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直线过定点，利用斜率计算公式可得和，由直线与线段PQ相交，利用斜率关系即可求出的范围，进而结合选项即可求出结果. 【详解】直线过定点，斜率为， ，，直线与线段PQ相交，由图象可知，， 则，符合条件的为选项AC． 故选：AC． 11. 若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 【答案】AD 【解析】 【分析】先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为，求得该直线与直线所成角，然后结合直线的倾斜角为求解即可. 【详解】由两平行直线的距离公式可得： 直线与的距离为， 又直线被两平行线与所截得的线段的长为， 即该直线与直线所成角， 又直线的倾斜角为， 则该直线的倾斜角大小为和， 故答案为：和. 【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题. 12. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 C. 在C上存在K使得 D. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点K的轨迹方程与的方程联立可判断C，设.的坐标结合的方程可判断D. 【详解】设点，则由可得， 化简可得，故A错误； 当，，三点不共线时，因为，， 所以，所以，射线是的平分线，故B正确； 设存在，则，即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，又因为不满足， 所以不存在满足条件，故C错误； 假设轴上存在异于的两定点，使得， 可设，可得， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 椭圆的焦距为，则的值为______ 【答案】23 【解析】 【分析】利用椭圆标准方程和焦距的定义即可列式求解. 【详解】因为，椭圆的焦距为， 所以，解得. 故答案为：23. 14. 已知在直线上，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 15. 已知动直线：若直线与直线平行，则的值为_____；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线平行分，时，计算求解参数，再应用几何法计算弦长即可求解. 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 16. 直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】作直线与曲线的图象如下, ， 直线m的斜率,直线n的斜率k=0, 结合图象可以知道,k的取值范围是.故答案是:. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知内角的对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值； （2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得或不合题意，舍去， （2）由（1）知，所以， 所以面积为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 19. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 【答案】（Ⅰ），，． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ） ． 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 因为为锐角，所以，， 又因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题． 20. 已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）选择见解析， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可； （2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 选择①：联立，解得，所以， 设圆的方程为， 因为，，三点均在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； 选择②：直线的方程可化为， 因为上式恒成立，所以，解得， 所以直线恒过定点，且为圆心， 所以， 所以圆的方程为； 选择③：设圆的方程为， 由题可得，解得， 故圆的方程为； 小问2详解】 因为，所以点P在圆E外， ①若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为5，满足题意； ②当直线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，所以直线方程为， 综上可得：过点的圆的切线方程为或. 21. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2）最小值为4，. 【解析】 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 小问1详解】 当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 22. 已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． （1）圆与圆的方程； （2）设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）圆，圆． （2）是定值． 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【小问1详解】 设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． 【小问2详解】 ，，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $