专题02 二次根式混合运算的5类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统整合二次根式混合运算的核心解法与5类综合题型，突出方法迁移与逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心框架|五大核心解法+两条底线原则|从概念（双重非负性）到运算规则（最简根式）构建基础| |5类题型|每类1典例+3-5变式|复合化简逆用完全平方公式、分母有理化分类处理、新定义分步运算、规律探究归纳通项、基本不等式凑定值|从基础运算到综合应用，形成“概念-方法-变式”递进链| |压轴挑战|10道综合题|多模块知识融合（如配方+几何）|对接中考命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题02 二次根式混合运算的5类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复合二次根式化简 1 类型二、分母有理化 2 类型三、与二次根式运算有关的新定义问题 10 类型四、与二次根式有关的规律探究问题 14 类型五、利用基本不等式求最值拓展应用 19 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式混合运算属于初中代数核心重难点，所有题型均围绕复合二次根式化简、分母有理化、四则运算法则、二次根式双重非负性、最简二次根式判定标准五大核心展开，解题全程必须坚守两条不可逾越的底线原则：一是所有二次根式的被开方数必须≥0，保证根式本身具备实数意义，参数取值类题目要优先限定自变量范围；二是整道算式最终运算结果必须严格化为最简二次根式，分母不能留存根号、被开方数不含可开方因式与分母。 在新定义运算、规律探究、代数式最值推导、几何列式计算等延伸综合题型中，完成根式混合运算后，所有参数解、最终答案都要回代入原式做合规检验，舍去不符合隐含约束条件的无效解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复合二次根式化简 典例精讲1（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为______． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 题型归纳 1.特征：嵌套型根式嵌入加减乘除混合算式中，需要先配方化简复合根式，再参与整体四则运算，是混合运算拔高考点。 2.方法：逆用完全平方公式，把，满足m+n=a、mn=b；开方后根据正负去绝对值，再代入原式完成根式加减、乘除、乘方混合计算。 3.易错提醒: 配方拆分出错；开方遗漏绝对值符号；化简后与其他根式合并同类二次根式时计算失误 变式训练1（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 变式训练2（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·重庆·自主招生）_____． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 变式训练4（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 类型二、分母有理化 典例精讲2（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 题型归纳 1.特征：混合运算中出现分母带根号的分式，分母为单一根式或根式加减多项式，有理化是整个混合运算的前置必要步骤。 2.方法： ① 分母为：分子分母同乘； ② 分母为：同乘共轭因式，平方差去分母根号； ③ 有理化后再依次完成乘除、加减，合并同类二次根式。 3.易错提醒: 分子不同步乘以有理化因式；共轭根式符号颠倒；有理化后未约分、未化成最简根式。 变式训练1（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 变式训练2（24-25九年级上·四川眉山·阶段检测）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 变式训练3（25-26九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键． （1）分子分母同乘即可求解； （2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解； （3）把a化简为，进而可得，原式变形为，再代入即可求值． 【详解】（1）解：； （2）解： … ； （3）解：， ∴, ∴， 即， ． 变式训练4（25-26九年级上·河南周口·期中）【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______，______； (2)计算：： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）仿照题干的解题过程进行分母有理化即可． （2）先将第一个括号里的各项进行分母有理化，再进行二次根式的加减，最后按照平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解： ． 类型三、与二次根式运算有关的新定义问题 典例精讲3（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以①正确； 所以②正确； 当时，， 当时，， 所以③正确； 故正确的为①②③，有3个， 故选D． 【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 题型归纳 1.特征：题干自定义新运算符号与运算法则，运算内部嵌套二次根式加、减、乘、除、平方混合运算，侧重规则理解与运算综合能力。 2.方法：吃透新定义代数式结构，严格遵循先括号、再乘方、后乘除、最后加减的运算顺序；分步代入根式计算，每一步及时化简，结尾统一整理为最简二次根式。 3.易错提醒: 误解新定义运算优先级；负数代入根式时符号混乱；运算中途不化简导致后续累加错误。 变式训练1（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新运算：，则的值为__________． 【答案】6 【分析】考查新定义运算、完全平方公式与平方差公式．解题关键是根据新运算规则，将a、b代入公式，结合乘法公式简化计算；易错点是展开完全平方时遗漏中间项，或计算平方差时符号出错． 首先设，，根据新运算，分别计算、、；其次用完全平方公式算、，用平方差公式算；最后代入新运算公式，计算得结果． 【详解】设 ，，则 ， ， ． 代入得 ． 故答案为：6． 变式训练2（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式训练3（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 变式训练4（25-26八年级上·北京·课后作业）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 类型四、与二次根式有关的规律探究问题 典例精讲4（23-24八年级下·安徽合肥·阶段检测）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 题型归纳 1.特征：给出一系列根式混合运算等式结果，观察运算过程与结果的数字规律，归纳通项后再进行代数式混合运算求值。 2.方法：拆解每组式子的运算结构、系数、被开方数变化规律，推导第n项通用表达式；对通项式展开根式混合运算、化简，验证前几项成立即可。 3.易错提醒 项数n对应关系错位；通项展开混合运算时公式用错；忽略被开方数非负约束。 变式训练1（22-23八年级上·北京海淀·期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________； （2）应用运算规律化简：___________． 【答案】 【分析】（1）分析所给的等式的形式进行总结即可； （2）利用（1）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）特例 特例 特例 用含的式子表示为：， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律． 变式训练2（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察等式可得第个等式为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1个等式，即； 第2个等式，即； 第3个等式，即； …… 观察发现，第个等式为， 则第9个等式为， 故答案为：． 变式训练3（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来___________ 【答案】 【分析】本题考查的是规律探索，解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 变式训练4（22-23八年级下·广东江门·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． (3)应用运算规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的式子的特点进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：特例5为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 变式训练5（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， ，， ． 类型五、利用基本不等式求最值拓展应用 典例精讲5（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：先对含二次根式的分式进行整式拆分、根式化简等混合运算变形，再套用求最值，还可延伸几何面积列式后根式运算求极值。 2.方法： 第一步：对复杂分式做拆分、通分、根式化简等混合运算，凑出两个正数相加且乘积为定值的形式； 第二步：利用基本不等式求最大/最小值，验证a=b取等条件； 第三步：几何题型先列面积关系式，再通过根式代数变形结合不等式求解。 3.易错提醒 忽视a>0,b>0使用前提；前期根式混合运算化简出错；几何列式变量设定错误；不检验取等条件是否可行。 变式训练1（25-26八年级上·重庆·阶段检测）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 变式训练2（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 变式训练3（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 变式训练4（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（河南省鹤壁市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 2．（福建省泉州市泉港区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)46或14. 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 均为正整数， 或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的值为46或14． 3．（江西省吉安市井冈山市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 4．（湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（江苏省连云港实验学校东河校区2025-2026学年上学期九年级数学周测试卷）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：_____； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了黄金分割，平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，矩形的判定与性质，正方形的性质，准确熟练地进行计算是解题关键． （1）利用平方差公式，分母有理化进行计算，即可解答； （2）①根据黄金矩形的定义可得，然后进行计算即可解答； ②根据正方形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵四边形是黄金矩形，， ∴， 解得：， ∴的长为； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 6．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)64或16 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出和的结果； （2）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出，，再结合m，n均为正整数得出或，分两种情况代入计算即可得出结果； （3）根据二次根式的性质并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴（a，b，m，n均为正整数）， ∴，； （2）解：， ， ，， ， ，n为正整数， 或， 当，时，； 当，时，， 的值为64或16； （3）解：∵，， ∴． 7．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（四川省隆昌市第一中学2025—2026学年上学期期中调研九年级数学试题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 9．（四川省南充高级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且x，y均为正整数，求的值； (3)当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）依据题意，由，且是完全平方式，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由，且x，y均为正整数，可得，故，求出x，y的值后即可代入计算得解； （3）依据题意，由，则当时，有最大值为25，从而当时，有最大值为5，进而得解． 【详解】（1）解：∵，且是完全平方式 ∴ ∴； （2）解：∵，且x，y均为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵ ∵ ∴ ∴ ∴当时，有最大值为25． ∴当时，有最大值为5． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方式，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 10．（福建省泉州第五中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式混合运算的5类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复合二次根式化简 1 类型二、分母有理化 2 类型三、与二次根式运算有关的新定义问题 4 类型四、与二次根式有关的规律探究问题 5 类型五、利用基本不等式求最值拓展应用 7 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式混合运算属于初中代数核心重难点，所有题型均围绕复合二次根式化简、分母有理化、四则运算法则、二次根式双重非负性、最简二次根式判定标准五大核心展开，解题全程必须坚守两条不可逾越的底线原则：一是所有二次根式的被开方数必须≥0，保证根式本身具备实数意义，参数取值类题目要优先限定自变量范围；二是整道算式最终运算结果必须严格化为最简二次根式，分母不能留存根号、被开方数不含可开方因式与分母。 在新定义运算、规律探究、代数式最值推导、几何列式计算等延伸综合题型中，完成根式混合运算后，所有参数解、最终答案都要回代入原式做合规检验，舍去不符合隐含约束条件的无效解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复合二次根式化简 典例精讲1（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为______． 题型归纳 1.特征：嵌套型根式嵌入加减乘除混合算式中，需要先配方化简复合根式，再参与整体四则运算，是混合运算拔高考点。 2.方法：逆用完全平方公式，把，满足m+n=a、mn=b；开方后根据正负去绝对值，再代入原式完成根式加减、乘除、乘方混合计算。 3.易错提醒: 配方拆分出错；开方遗漏绝对值符号；化简后与其他根式合并同类二次根式时计算失误 变式训练1（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 变式训练2（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________． 变式训练3（25-26八年级上·重庆·自主招生）_____． 变式训练4（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 类型二、分母有理化 典例精讲2（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：混合运算中出现分母带根号的分式，分母为单一根式或根式加减多项式，有理化是整个混合运算的前置必要步骤。 2.方法： ① 分母为：分子分母同乘； ② 分母为：同乘共轭因式，平方差去分母根号； ③ 有理化后再依次完成乘除、加减，合并同类二次根式。 3.易错提醒: 分子不同步乘以有理化因式；共轭根式符号颠倒；有理化后未约分、未化成最简根式。 变式训练1（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25九年级上·四川眉山·阶段检测）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 变式训练3（25-26九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 变式训练4（25-26九年级上·河南周口·期中）【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______，______； (2)计算：： 类型三、与二次根式运算有关的新定义问题 典例精讲3（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型归纳 1.特征：题干自定义新运算符号与运算法则，运算内部嵌套二次根式加、减、乘、除、平方混合运算，侧重规则理解与运算综合能力。 2.方法：吃透新定义代数式结构，严格遵循先括号、再乘方、后乘除、最后加减的运算顺序；分步代入根式计算，每一步及时化简，结尾统一整理为最简二次根式。 3.易错提醒: 误解新定义运算优先级；负数代入根式时符号混乱；运算中途不化简导致后续累加错误。 变式训练1（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新运算：，则的值为__________． 变式训练2（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 变式训练3（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 变式训练4（25-26八年级上·北京·课后作业）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 类型四、与二次根式有关的规律探究问题 典例精讲4（23-24八年级下·安徽合肥·阶段检测）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出一系列根式混合运算等式结果，观察运算过程与结果的数字规律，归纳通项后再进行代数式混合运算求值。 2.方法：拆解每组式子的运算结构、系数、被开方数变化规律，推导第n项通用表达式；对通项式展开根式混合运算、化简，验证前几项成立即可。 3.易错提醒 项数n对应关系错位；通项展开混合运算时公式用错；忽略被开方数非负约束。 变式训练1（22-23八年级上·北京海淀·期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________； （2）应用运算规律化简：___________． 变式训练2（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式______． 变式训练3（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来___________ 变式训练4（22-23八年级下·广东江门·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． (3)应用运算规律，求的值． 变式训练5（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 类型五、利用基本不等式求最值拓展应用 典例精讲5（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 题型归纳 1.特征：先对含二次根式的分式进行整式拆分、根式化简等混合运算变形，再套用求最值，还可延伸几何面积列式后根式运算求极值。 2.方法： 第一步：对复杂分式做拆分、通分、根式化简等混合运算，凑出两个正数相加且乘积为定值的形式； 第二步：利用基本不等式求最大/最小值，验证a=b取等条件； 第三步：几何题型先列面积关系式，再通过根式代数变形结合不等式求解。 3.易错提醒 忽视a>0,b>0使用前提；前期根式混合运算化简出错；几何列式变量设定错误；不检验取等条件是否可行。 变式训练1（25-26八年级上·重庆·阶段检测）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 变式训练2（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 变式训练3（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 变式训练4（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（河南省鹤壁市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 2．（福建省泉州市泉港区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 3．（江西省吉安市井冈山市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 4．（湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 5．（江苏省连云港实验学校东河校区2025-2026学年上学期九年级数学周测试卷）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：_____； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 6．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 7．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 8．（四川省隆昌市第一中学2025—2026学年上学期期中调研九年级数学试题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 9．（四川省南充高级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且x，y均为正整数，求的值； (3)当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 10．（福建省泉州第五中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $