专题01 二次根式化简与混合运算的10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“定义-性质-运算-应用”为逻辑主线，通过10类热考题型系统构建二次根式化简与运算的通法体系，突出核心解法迁移与易错点规避，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|核心方法总结|四大核心（定义/性质/化简/运算）+两条底线原则（被开方数非负/结果最简）|概念生成→原理推导，奠定基础逻辑| |题型精讲（10类）|每题型含典例+3-7变式|分题型方法（平方法/公式法/整体代换等）+易错提醒（符号判断/结果化简等）|从基础（有意义条件）到综合（混合运算/化简求值），形成能力进阶链| |压轴挑战|17道综合题|跨知识点综合应用+创新题型突破|实际问题（几何/生活情境）→数学建模，强化应用意识|

专题01二次根式化简与混合运算的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式有意义的条件 1 类型二、利用二次根式的性质化简 2 题型三、已知最简二次根式（或同类二次根式）求参数 6 题型四、比较二次根式的大小 8 题型五、二次根式的乘除混合运算 11 题型六、二次根式的加减混合运算 17 题型七、二次根式的混合运算 21 题型八、已知字母的值，化简求值 24 题型九、已知条件式，化简求值 28 题型十、二次根式的应用 30 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式化简与混合运算是初中代数基础重难点，所有题型围绕二次根式定义、双重非负性、根式化简规则、四则混合运算四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是被开方数a≥0（根式有意义前提），二是化简结果必须化为最简二次根式，所有字母取值、最终计算结果均需合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式有意义的条件 典例精讲1（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）已知x，y为实数，且，则的值是______； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而确定的值，进而求出的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 所以， 代入原式，得， 则． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出含二次根式、分式、零次幂的代数式，求解自变量的取值范围，是根式类基础必考题型。 2.方法：1)单独二次根式：被开方数≥0； 2)根式在分母中：被开方数≥0； 3)多重限制组合：联立多个不等式，取公共解集。 3.易错提醒： 1）分母位置的根式只写≥0，忽略分母不能为 0； 2）多个限制条件只满足其一，未取不等式组交集； 3）最终解集书写不规范，遗漏等号或不等号方向出错。 变式训练1（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴ 的取值范围是 ； 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知，则的值为__________________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·四川内江·期中）若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：成立的条件是． 根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，且， ． 故答案为：． 类型二、利用二次根式的性质化简 典例精讲2（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 题型归纳 1.特征：给出带字母参数的二次根式形式，结合数轴、字母正负性判断被开方底数符号，去掉根号进行化简。 2.方法：核心公式：，先判断a的正负： ① 若； ② 若； 多个绝对值加减依次判定符号，再合并同类项。 3.易错提醒：直接默认，忽略字母为负数的情况；数轴判断数的大小关系出错；去绝对值后符号变号失误。 变式训练1（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式训练2（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 题型三、已知最简二次根式（或同类二次根式）求参数 典例精讲3（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题干给出两个根式，告知二者为最简二次根式或者同类二次根式，根据定义列方程求解字母参数的值，常附带检验最简根式的约束条件。 2.方法：① 同类二次根式：化为最简形式后被开方数相等，建立等式求解参数； ② 最简二次根式判定：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，求出参数后代入回代检验，舍去不符合最简要求的解。 3.易错提醒：只列方程求解参数，忘记代入检验是否满足 “最简二次根式” 条件；混淆同类二次根式与最简二次根式的定义；解方程后出现增根未剔除。 变式训练1（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 变式训练2（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 变式训练3（22-23八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 题型四、比较二次根式的大小 典例精讲4（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）比较大小：______，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，利用二次根式的性质化简，再进行比较即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：，． 题型归纳 1.特征：给出两个或多个二次根式，不计算近似小数，运用代数方法判定根式数值大小，常含带系数的复合根式。 2.方法：① 平方法：两个正数分别平方，比较平方后结果，平方值大的原根式更大； ② 移因式入根号法：将根号外系数平方后移入根号内部，比较被开方数大小； ③ 作差 / 作商法：作差判断正负，或作商与 1 比较大小； ④ 分母有理化法：根式为分式形式时先有理化再比较。 3.易错提醒：平方时忽略根式自带负号，符号判断错误；系数移入根号忘记先平方；两个负数比较大小逻辑颠倒；多种方法混用计算出错。 变式训练1（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小__________． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 【答案】 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1），且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3）， ，即， 故答案为：． （4）， ，即， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 变式训练4（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 题型五、二次根式的乘除混合运算 典例精讲5（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：多个二次根式连续相乘、相除，部分带有系数、括号，需要按照运算顺序化简计算，最终结果要求化为最简二次根式。 2.套用公式： 3.易错提醒：乘除运算顺序混乱，跳步计算出错；忽略被开方数非负的取值限制；结果未化简、仍含有能开方的因式或分母带根号；符号处理失误。 变式训练1（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 变式训练2（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 变式训练3（25-26九年级上·全国·单元复习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 变式训练4（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练5（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 题型六、二次根式的加减混合运算 典例精讲6（2025九年级上·全国·专题练习）矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据矩形周长公式，周长等于两倍的长加宽，先化简为，再计算周长，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形相邻两边长分别为，，且， ∴它的周长是， 故选：D． 题型归纳 1.特征：多个二次根式进行加、减运算，常搭配括号、去括号法则，核心是合并同类二次根式，最终结果必须化为最简形式。 2.方法：① 第一步：先将所有二次根式全部化成最简二次根式； ② 第二步：找出同类二次根式，类比合并同类项，只合并根号外的系数，被开方数保持不变； ③ 第三步：有括号先去括号，注意括号前是负号时内部各项要变号； ④ 最后整理成最简代数式。 3.易错提醒：未化为最简根式就直接合并；非同类二次根式错误进行加减合并；去括号时符号变换出错；最终结果没有彻底化简。 变式训练1（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， 即， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 变式训练2（2025·上海·模拟预测）记，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加法运算，根据新定义运算分别求出和，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 变式训练4（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 变式训练5（25-26九年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简和合并计算即可求解． 【详解】解：原式 变式训练6（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用立方根、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再进行加减法即可． 【详解】解： ． 变式训练7（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，分母有理化等： （1）先去括号，利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式性质化简，计算零次幂，分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ; （2）解：原式 ． 题型七、二次根式的混合运算 典例精讲7（25-26九年级上·福建泉州·期末）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算． 先进行二次根式的混合运算，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 即在和之间， 的值在和之间． 故选：． 题型归纳 1.特征：同时包含二次根式加、减、乘、除、乘方及括号的综合计算，常结合平方差、完全平方公式，最后结果需化为最简二次根式。 2.方法：① 遵循整式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； ② 符合乘法公式结构优先套用公式简化计算； ③ 每一步运算后及时化简根式，除法或分式形式做好分母有理化； ④ 最终只保留最简二次根式，合并同类二次根式。 3.易错提醒：运算顺序颠倒，先加减后乘除；套用完全平方公式遗漏中间交叉项；分母有理化计算错误；同类二次根式合并系数出错；结果未化简彻底。 变式训练1（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键． 根据新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． 变式训练2（25-26九年级上·四川内江·期中）若，，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用． 将代数式 展开，利用已知条件和直接代入计算． 【详解】解：∵ ， ∵ ，， ∴ ． 故选：C． 变式训练3（25-26八年级上·四川达州·期中）设，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 变式训练4（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练5（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法、绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ． 变式训练6（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)6 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知各运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则和运算顺序依次进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八、已知字母的值，化简求值 典例精讲8（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知，则代数式的值是______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式，再代入a的值进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出含字母的根式代数式，附带字母取值（或取值范围、数轴条件），先化简整式与根式，再代入数值计算最终结果。 2.方法：① 先对原式去括号、展开乘法公式、分母有理化、化简二次根式； ② 利用结合字母正负去掉绝对值符号； ③ 合并同类二次根式与同类项，得到最简化简式； ④ 把已知字母数值代入最简式子算出结果。 3.易错提醒：不先化简直接代入，计算量过大易算错；化简时不判断符号，直接等于a；代入负数时漏加括号导致乘方符号错误；分母有理化不彻底。 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则的值为________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 变式训练2（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 变式训练3（25-26九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化计算即可求解； （2）①先求得，得出，再整体代入代数式，即可求解； ②根据，将整体代入代数式，即可求解； 【详解】（1）， ， 故答案为：， （2）解：①∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵， ∴ 题型九、已知条件式，化简求值 典例精讲9（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知，求代数式的值是_____． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 题型归纳 1.特征：不直接给出字母具体数值，给出等式、和差积关系式、整体代换条件，对含有二次根式的代数式先化简，再整体代入求值。 2.方法：① 先化简所求代数式：去括号、乘法公式展开、根式化简、分母有理化、去绝对值； ② 对已知条件变形，构造整体（如等）； ③ 将整体式子代入最简求值式，避免单独解未知数； ④ 最后计算并整理为最简二次根式。 3.易错提醒： 直接强行求解单个未知数，计算繁琐出错；忽略符号讨论；条件变形不等价、漏隐含限制；整体代换时代入系数或符号出错。 变式训练1（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)14 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 变式训练3（23-24八年级下·福建厦门·阶段检测）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 题型十、二次根式的应用 典例精讲10（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键． 首先由正方形的面积是50，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出长，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： ． 所以这个小正方形的周长为：． 故选：A． 题型归纳 1.特征：结合几何图形（直角三角形、正方形、长方形）、实际测量、路程、面积、体积等实际背景，利用勾股定理或公式列二次根式表达式求解长度、距离、边长等问题。 2.方法：① 根据题意画出几何图形，找准直角边、斜边、边长等量关系； ② 借助勾股定理、面积公式列出含二次根式的算式； ③ 按照二次根式运算法则进行化简、计算，结果化为最简二次根式； ④ 结合实际意义取舍答案（长度为正，舍去负值）。 3.易错提醒：勾股定理直角边与斜边对应关系搞反；根式运算过程化简不彻底；计算完毕未检验结果是否符合实际物理意义；单位遗漏或换算错误。 变式训练1（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 变式训练2（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是______． 【答案】 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 变式训练3（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)四个隔板的总长度为： 【分析】本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． （2）解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2024-2025学年人教版八年级数学下册第一次月考试卷）小明的作业本上有以下四题：；；；做错的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键． 根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④． 【详解】解：，所以①正确； ，所以②正确； ，所以③正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确． 故选：D． 2．（北京市顺义区第九中学2025－2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．先化简代数式，再代入的值计算． 【详解】解： ， 代入，原式， 故选：D． 3．（上海市普陀区2025-2026学年八年级上学期数学期中考试试卷）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 8．（25-26八年级上·四川眉山·阶段检测）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期末）计算：___________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如果，，那么_______ ． 【答案】7 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，通过已知条件求出，利用完全平方公式将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，利用完全平方公式正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 15．（第04讲二次根式的除法（3个知识点 5类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版））计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 16．（25-26九年级上·四川攀枝花·阶段检测）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，观察式子找到规律是解题的关键． （1）仔细阅读，发现规律，然后仿照规律计算即可求解； （2）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算和二次根式的混合运算法则．先根据分式的四则混合运算法则化简，再将分母有理化，然后代入，进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式化简与混合运算的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式有意义的条件 1 类型二、利用二次根式的性质化简 2 题型三、已知最简二次根式（或同类二次根式）求参数 3 题型四、比较二次根式的大小 3 题型五、二次根式的乘除混合运算 4 题型六、二次根式的加减混合运算 5 题型七、二次根式的混合运算 6 题型八、已知字母的值，化简求值 8 题型九、已知条件式，化简求值 9 题型十、二次根式的应用 9 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式化简与混合运算是初中代数基础重难点，所有题型围绕二次根式定义、双重非负性、根式化简规则、四则混合运算四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是被开方数a≥0（根式有意义前提），二是化简结果必须化为最简二次根式，所有字母取值、最终计算结果均需合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式有意义的条件 典例精讲1（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）已知x，y为实数，且，则的值是______； 题型归纳 1.特征：给出含二次根式、分式、零次幂的代数式，求解自变量的取值范围，是根式类基础必考题型。 2.方法：1)单独二次根式：被开方数≥0； 2)根式在分母中：被开方数≥0； 3)多重限制组合：联立多个不等式，取公共解集。 3.易错提醒： 1）分母位置的根式只写≥0，忽略分母不能为 0； 2）多个限制条件只满足其一，未取不等式组交集； 3）最终解集书写不规范，遗漏等号或不等号方向出错。 变式训练1（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________． 变式训练2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知，则的值为__________________ 变式训练3（25-26九年级上·四川内江·期中）若，则的取值范围是_____． 类型二、利用二次根式的性质化简 典例精讲2（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出带字母参数的二次根式形式，结合数轴、字母正负性判断被开方底数符号，去掉根号进行化简。 2.方法：核心公式：，先判断a的正负： ① 若； ② 若； 多个绝对值加减依次判定符号，再合并同类项。 3.易错提醒：直接默认，忽略字母为负数的情况；数轴判断数的大小关系出错；去绝对值后符号变号失误。 变式训练1（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 变式训练2（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 变式训练3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 题型三、已知最简二次根式（或同类二次根式）求参数 典例精讲3（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 题型归纳 1.特征：题干给出两个根式，告知二者为最简二次根式或者同类二次根式，根据定义列方程求解字母参数的值，常附带检验最简根式的约束条件。 2.方法：① 同类二次根式：化为最简形式后被开方数相等，建立等式求解参数； ② 最简二次根式判定：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，求出参数后代入回代检验，舍去不符合最简要求的解。 3.易错提醒：只列方程求解参数，忘记代入检验是否满足 “最简二次根式” 条件；混淆同类二次根式与最简二次根式的定义；解方程后出现增根未剔除。 变式训练1（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 变式训练2（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 变式训练3（22-23八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 题型四、比较二次根式的大小 典例精讲4（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）比较大小：______，______． 题型归纳 1.特征：给出两个或多个二次根式，不计算近似小数，运用代数方法判定根式数值大小，常含带系数的复合根式。 2.方法：① 平方法：两个正数分别平方，比较平方后结果，平方值大的原根式更大； ② 移因式入根号法：将根号外系数平方后移入根号内部，比较被开方数大小； ③ 作差 / 作商法：作差判断正负，或作商与 1 比较大小； ④ 分母有理化法：根式为分式形式时先有理化再比较。 3.易错提醒：平方时忽略根式自带负号，符号判断错误；系数移入根号忘记先平方；两个负数比较大小逻辑颠倒；多种方法混用计算出错。 变式训练1（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小__________． 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 变式训练3（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 变式训练4（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 题型五、二次根式的乘除混合运算 典例精讲5（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）计算：____________． 题型归纳 1.特征：多个二次根式连续相乘、相除，部分带有系数、括号，需要按照运算顺序化简计算，最终结果要求化为最简二次根式。 2.套用公式： 3.易错提醒：乘除运算顺序混乱，跳步计算出错；忽略被开方数非负的取值限制；结果未化简、仍含有能开方的因式或分母带根号；符号处理失误。 变式训练1（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 变式训练2（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26九年级上·全国·单元复习）计算： (1) (2)． 变式训练4（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练5（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六、二次根式的加减混合运算 典例精讲6（2025九年级上·全国·专题练习）矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是（   ） A． B． C．4 D． 题型归纳 1.特征：多个二次根式进行加、减运算，常搭配括号、去括号法则，核心是合并同类二次根式，最终结果必须化为最简形式。 2.方法：① 第一步：先将所有二次根式全部化成最简二次根式； ② 第二步：找出同类二次根式，类比合并同类项，只合并根号外的系数，被开方数保持不变； ③ 第三步：有括号先去括号，注意括号前是负号时内部各项要变号； ④ 最后整理成最简代数式。 3.易错提醒：未化为最简根式就直接合并；非同类二次根式错误进行加减合并；去括号时符号变换出错；最终结果没有彻底化简。 变式训练1（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 变式训练2（2025·上海·模拟预测）记，则______． 变式训练3（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是_____． 变式训练4（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是________． 变式训练5（25-26九年级上·陕西西安·期中）计算：． 变式训练6（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： 变式训练7（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）计算 (1)； (2)． 题型七、二次根式的混合运算 典例精讲7（25-26九年级上·福建泉州·期末）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 题型归纳 1.特征：同时包含二次根式加、减、乘、除、乘方及括号的综合计算，常结合平方差、完全平方公式，最后结果需化为最简二次根式。 2.方法：① 遵循整式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； ② 符合乘法公式结构优先套用公式简化计算； ③ 每一步运算后及时化简根式，除法或分式形式做好分母有理化； ④ 最终只保留最简二次根式，合并同类二次根式。 3.易错提醒：运算顺序颠倒，先加减后乘除；套用完全平方公式遗漏中间交叉项；分母有理化计算错误；同类二次根式合并系数出错；结果未化简彻底。 变式训练1（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 变式训练2（25-26九年级上·四川内江·期中）若，，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D．2 变式训练3（25-26八年级上·四川达州·期中）设，，则的值是__________． 变式训练4（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）计算： (1) (2)． 变式训练5（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：． 变式训练6（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八、已知字母的值，化简求值 典例精讲8（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知，则代数式的值是______． 题型归纳 1.特征：给出含字母的根式代数式，附带字母取值（或取值范围、数轴条件），先化简整式与根式，再代入数值计算最终结果。 2.方法：① 先对原式去括号、展开乘法公式、分母有理化、化简二次根式； ② 利用结合字母正负去掉绝对值符号； ③ 合并同类二次根式与同类项，得到最简化简式； ④ 把已知字母数值代入最简式子算出结果。 3.易错提醒：不先化简直接代入，计算量过大易算错；化简时不判断符号，直接等于a；代入负数时漏加括号导致乘方符号错误；分母有理化不彻底。 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则的值为________． 变式训练2（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 变式训练3（25-26九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 题型九、已知条件式，化简求值 典例精讲9（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知，求代数式的值是_____． 题型归纳 1.特征：不直接给出字母具体数值，给出等式、和差积关系式、整体代换条件，对含有二次根式的代数式先化简，再整体代入求值。 2.方法：① 先化简所求代数式：去括号、乘法公式展开、根式化简、分母有理化、去绝对值； ② 对已知条件变形，构造整体（如等）； ③ 将整体式子代入最简求值式，避免单独解未知数； ④ 最后计算并整理为最简二次根式。 3.易错提醒： 直接强行求解单个未知数，计算繁琐出错；忽略符号讨论；条件变形不等价、漏隐含限制；整体代换时代入系数或符号出错。 变式训练1（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为_____． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 变式训练3（23-24八年级下·福建厦门·阶段检测）若x，y为实数，且，求的值． 题型十、二次根式的应用 典例精讲10（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．2 D．8 题型归纳 1.特征：结合几何图形（直角三角形、正方形、长方形）、实际测量、路程、面积、体积等实际背景，利用勾股定理或公式列二次根式表达式求解长度、距离、边长等问题。 2.方法：① 根据题意画出几何图形，找准直角边、斜边、边长等量关系； ② 借助勾股定理、面积公式列出含二次根式的算式； ③ 按照二次根式运算法则进行化简、计算，结果化为最简二次根式； ④ 结合实际意义取舍答案（长度为正，舍去负值）。 3.易错提醒：勾股定理直角边与斜边对应关系搞反；根式运算过程化简不彻底；计算完毕未检验结果是否符合实际物理意义；单位遗漏或换算错误。 变式训练1（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 变式训练2（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是______． 变式训练3（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2024-2025学年人教版八年级数学下册第一次月考试卷）小明的作业本上有以下四题：；；；做错的题是（    ） A． B． C． D． 2．（北京市顺义区第九中学2025－2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（上海市普陀区2025-2026学年八年级上学期数学期中考试试卷）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川眉山·阶段检测）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期末）计算：___________________ ． 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如果，，那么_______ ． 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 14．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 15．（第04讲二次根式的除法（3个知识点 5类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版））计算： (1)． (2)． 16．（25-26九年级上·四川攀枝花·阶段检测）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 17．（2025九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $