专题02 比较二次根式的大小（举一反三专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式大小比较，系统整合作差、作商等8类方法，通过“题型+例题+变式”构建方法-应用逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作差法等8类题型|每题型含1例题+3变式|提炼作差、平方、分子有理化等具体操作步骤|基于二次根式性质，形成“原理-技巧-应用”递进链条，典例覆盖期中/模拟考情境|

专题02 比较二次根式的大小（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 作差法】 1 【题型2 作商法】 1 【题型3 平方法】 1 【题型4 移动因式法)】 2 【题型5 分母有理化】 2 【题型6 分子有理化】 2 【题型7 倒数法】 3 【题型8 中间值比较法】 4 【题型1 作差法】 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【变式1-1】比较大小  ______（填“”“”或者“”） 【变式1-2】（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【题型2 作商法】 【例2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【变式2-1】（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 【变式2-3】（2025八年级上·全国·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【题型3 平方法】 【例3】若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________． 【变式3-1】比较大小： ________． 【变式3-2】（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【变式3-3】将从小到大排列_______________________． 【题型4 移动因式法)】 【例4】比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【变式4-1】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小：______． 【变式4-2】比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【题型5 分母有理化】 【例5】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【变式5-2】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：_______； 【变式5-3】比较大小：_________（用或填空） 【题型6 分子有理化】 【例6】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【变式6-1】（26-27八年级上·北京·课后作业）比较大小：_______． 【变式6-2】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料： 二次根式中有一种方法叫做“分子有理化”，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如： 分子有理化通常有以下两个用途： 一、比较某些二次根式的大小 例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下： 因为，所以． 二、处理一些二次根式的最值问题 例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知， 而． 当时，分母有最小值，所以的最大值是2． 请解决下述问题： (1)由材料可知，，则______； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值为______． 【题型7 倒数法】 【例7】比较大小：______． 【变式7-1】（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【变式7-2】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【题型8 中间值比较法】 【例8】（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【变式8-1】比较大小：________. 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【变式8-3】如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？___________．(填“行”或“不行”)    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 比较二次根式的大小（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 作差法】 1 【题型2 作商法】 2 【题型3 平方法】 4 【题型4 移动因式法)】 5 【题型5 分母有理化】 7 【题型6 分子有理化】 8 【题型7 倒数法】 12 【题型8 中间值比较法】 16 【题型1 作差法】 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-1】比较大小  ______（填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【变式1-2】（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 【题型2 作商法】 【例2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式2-1】（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 【变式2-3】（2025八年级上·全国·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】解：，证明如下： ， ∵， ∴， ∴． 【题型3 平方法】 【例3】若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 【变式3-1】比较大小： ________． 【答案】 【分析】算术平方根的大小比较可以通过比较它们的平方的大小来判断． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了平方根的意义和数的大小比较，关键是通过平方根的意义转化为有理数的大小比较． 【变式3-2】（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用平方法以及作差法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3-3】将从小到大排列_______________________． 【答案】 【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可． 【详解】，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法． 【题型4 移动因式法)】 【例4】比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小：______． 【答案】 【分析】根据得到，继而得到，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数大小比较，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式4-2】比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． 【题型5 分母有理化】 【例5】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 【变式5-2】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：_______； 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．做题关键是要掌握分母有理化，负数比较大小的方法． 分母有理化后，根据两个负数绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【变式5-3】比较大小：_________（用或填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法． 【题型6 分子有理化】 【例6】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】（26-27八年级上·北京·课后作业）比较大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算、实数的大小比较，利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】 < 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料： 二次根式中有一种方法叫做“分子有理化”，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如： 分子有理化通常有以下两个用途： 一、比较某些二次根式的大小 例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下： 因为，所以． 二、处理一些二次根式的最值问题 例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知， 而． 当时，分母有最小值，所以的最大值是2． 请解决下述问题： (1)由材料可知，，则______； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对做分子有理化即可得到的值． （2）将两个待比较的式子分别分子有理化，得到分子相同的正分数，通过比较分母大小，得到原式的大小关系． （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再对分子有理化变形，可知取最大值时分母最小，代入的最小值计算得到的最大值． 【详解】（1）解： （2） （3）解：依题意， 解得 当时，分母取得最小值 代入得， 分母最小值为 的最大值为 【题型7 倒数法】 【例7】比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 又∵，， ∴，则． ∵；，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型8 中间值比较法】 【例8】（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 【变式8-1】比较大小：________. 【答案】＞ 【分析】把两个根变形为两个根式相加的形式，再进行比较即可得答案. 【详解】 ∵＞0，＜0， ∴：＞. 故答案为＞ 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【变式8-3】如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？___________．(填“行”或“不行”)    【答案】行 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2和3，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小及3与5的大小即可． 【详解】解：∵， 又∵＜1.5， ∴5＜5×1.5＝7.5，3＜3×1.5＝4.5＜5． 故答案为：行． 【点睛】此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $