2.2 基本不等式 题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，系统梳理“当且仅当a=b时等号成立”的原理及“一正、二定、三相等”的使用条件，通过十大题型训练构建从直接运用到配凑法、乘“1”法等递进式学习支架。 该资料以题型分类为特色，详解过程注重推理逻辑，如“三相等”验证题型培养学生严谨思维，体现数学眼光与数学思维。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过典型例题巩固，有效查漏补缺。

2.2基本不等式 ●知识梳理 x+y≥2Vx·yx>0,y>0, Xy≤1x>0.y>0 当且仅当x=y时，等号成立： ▲利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等. 即：(1)x,y都是正数； (2)积y(或和x+y)为定值〔有时需要通过“配凑、拆分”找出定值)： (3)x与y必须能够相等（等号才能够取到）： ● 题型训练 题型一（直接运用基本不等式） 1.已知正数a、b满足ab=10,则a+b的最小值是？ 2.已知正实数x、y满足x+y=4,则y的最大值为？ 3.函数f(x)=x+4-1(x>0)的最小值为？ 4.设0<x<2,求函数y=x(2-x)的最大值为？ 题型二负数（变正数再用基本不等式） 1.若x<0,则函数y=x+4-1的最大值为？ X 2若x<1,则函数y=X-1+x1的最大值为？ 唐型三y=x+。型（配凑法） 1.若x>2,则函数y=x+2最小值为？ 题型四y=x(a-bx型（配凑法） 1.设0<x<2,求函数y=Vx(4-2x)的最大值为？ 2.当0<x<4时，求函数y=x(8-2x)的最大值为？ 3.当0<x<)时，求函数y=4x(3-2x)的最大值为？ 题型五 X+bx+C型（分高常数法、换元法） x+a 1.当X>0时，函数y=X+3x+5 x+1 的最小值为？ 2.已知a<6,则b。。'+b-a的最小值为 3.函数y=+7x+10x>-1)的最小值为？ x+1 y=1—(x>0) 4.求函数x+4+1心 的最大值为？ X x+2 5.求函数y=2X+5的最大值为？ 6.函数y=-1 x+3+x-的最大值为？ 题型六乘“1”法 1+1 1.若a>0、b>0,且a+4b=1,则后+方的最小值为？ 2.已知正实数x、y满足x+y=3,则4+的最小值为？ 3。若正数x、y清足+山，则3x+4y的最小值为？ 3+2 4设x、y均为正数，且x十2y+2,则x+2y的最小值为？ 1+1 5.若正数a、b满足a+b=1,则3a+2+3b+2的最小值为？ 题型七代入法 1正实数、y满足+y1,则女的最小值为 2.已知x>0、y>0,3x+2y=5,则5x+2y的最小值为？ y 题型八“三相等”验证 1.(1)已知x>3,求y=x+x43的最小值及取最小值时x的值： (2)已知x0、y>0,多+苦=2，求y的最大值及取最大值时x、y的值。 2.下列命题正确的是() A.函数y=x+文的最小值为2 8.若b>0,则后+82 C.函数y=x2+2+1 +2的最小值为2 D.函数y=x+x3x3的最小值为-】 3.下列说法正确的为() A.若X、y≥0，X+y=2,则+的最小值为号 Xy B.若x<号则函数y=2x+2的最大值为1 1 c.若b0,则号+82 D.当>2时，×+的最小值是2 题型九求x+y的最值 1.已知正实数m、n满足m+n-1=0,则m2+n的最小值为？ 2.设正实数a、b满足a+b=1,则() A.日名有最大值4 B.ab有最小值2 c.Vā+Vb有最大值V2 D.a2+b有最小值2 题型十已知x+y+y的值，求x+y或y的最值 1.若x、y>0,x+y+y=3,则x+y的最小值为？ 2.若x、y>0,x+y+y=3,则y的最大值为？ 答案 ●题型训练 题型一（直接运用基本不等式） 1.已知正数a、b满足ab=10,则a+b的最小值是？ 详解：由基本不等式，a+b≥2Vab(a,b>0) 代入ab=10,得a+b≥2V10. 当且仅当a=b时取等号，解得a=b=V10。 答案：2V10 2.已知正实数x、y满足x+y=4,则y的最大值为？ 详解：由基本不等式，x+y≥2Vxy 4≥2xy ys=4, 故y≤4 当且仅当x=y时取等，联立x+y=4,解得x=2、y=2。 答案：4 3.函数f(x)=x+4-1(x>0)的最小值为？ X 详解：x>0,则4>0， 4二4 x+4≥2x.4 X X 当且仅当×是即x=2时取等，故×刘24-1=3。 答案：3 4.设0<x<2,求函数y=x(2-x)的最大值为？ 详解：0<x<2,则2-x>0。 由基本不等式，x2-x)sX+?-xP=1。 当且仅当x=2-x,即x=1时取等。 答案：1 题型二负数（变正数再用基本不等式） 1. 若x<0,则函数y=x+是一1的最大值为？ 详解：因为x<0,则-X20,y=-(-X+4》-1 因为-x+422-x刘-(4女)=4， 当且仅当(-x)=(头文)=2即x=-2时取等。 (-x+4)≥4 -x -x*s-4 y=-(-x+4)-1≤-4-1=-5 -X 故y≤-4-1=-5。 答案：-5 2. 若x<1,则函数y=X-1+的最大值为？ 详解：x<1,x-1<0,则-(x-1)>0, y-x1t） --工2-4 当月仅当x1之，影x=1时取等。 -x-1+-是产4，x-1+号-4 4 答案：-4 愿型三y-X+型（配凑法） 1. 若x>2,则函数y=X+2最小值为？ 详解：x>2,则x-2>0,配凑为y=(x-2+1)+2。 x-2 x-2+x22x-2小2=2 当且仅当x-2=2即x=3时收等。 此时y=2+2=4。 答案：4 题型四y=x(a-bx型（配凑法） 1.设0<x<2,求函数y=x(4-2x)的最大值为？ 详解：变形为y=V2x(4-2x÷2, 0<x<2则4-2x>0, 2x4-2X≤2x+4-2x=4,故y542=2, 2 当且仅当2x=(4-2x),即x=1时取等。 答案：2 2.当0<x<4时，求函数y=x(8-2x)的最大值为？ 详解：变形为y=2x(8-2x)÷2, 0<x<4则8-2x>0, 2x8-2x)≤2x+(8-2x?=16, 2 当且仅当2x=(8-2x)，即x=2时取等 故y≤16÷2=8 答案：8 3.当0<x<时，求函数y=4x(3-2x)的最大值为？ 详解：变形为y=22x(3-2x), 0<x则3-2x0, 2x13-2xs2320P-是 2 当且仅当2x=3-2xx子时取等。 故ys2×99 42 答条昌 题型五 型《分离帝数法、换元法) 1. 当X>0时，函数y=X+3x+5的最小值为？ X+1 详解：换元令t=x+1(t>1),x=t-1, 代入得y=化-1+3t-1+5=f++3=+3+1. t 1附，1+23， 当且仅当=3-3即x=3-1)时取等，故y223+1。 答案：23+1 mb-a+1+b-a)的最小值为？ 己知a<b,则b-a 详解：a<b则b-a>0,令t=b-a>0, 则原式=+t=1+上+t。 t 则1+片+29+1=3，当仅当=时取等。 答案：3 3. 函数y=+7x+10(x心-1)的最小值为2 x+1 详解：换元令t=x+1(t>0),x=t-1, 代入得y=t-1P+7t-1+10-+5t+4-t+4+5 t t t t+4≥4，当且仅当t=2(x=1)时取等，故y之4+5=9。 t 答案：9 4. 求西数 1(x>0 x+4+1 的最大值为？ X 0听，4食*1号当当对散 X X 等。 1-5 答案： x+2 5. 求函数y 2x+5的最大值为？ 详解：令t=x+2(≥0)，则x=t-2,代入得y2t-2)+52+1' t 分母同时除以t得y2,2+22当且 t t X=- 则y=1 <_1 5V2 2) 时取等。 122-4 2t+ t 答案：4 x-1 6. 函数y= x+3+x-的最大值为？ 详解：令t=Vx-1(t≥0)，则x=t+1, t t=11= 代入得yF+1+3+1+t+4t+4+124+15,当且仅当1=2(（X=5)时 t 取等。 1-5 答案： 题型六乘“1”法 1+1 1.若a>0、b>0,且a+4b=1,则后+6的最小值为？ 详解日+-合片ia+461=1白号45+的+号 a b a b 00、60,9g2a=4 出号即0=2时以等，联立a+4b=1,解得a-京、b君 当且仅当ab 6’ 1+1≥5+4=9。 故最小值为。方 答案：9 2. 已知正实数x、y满足+y=3,则+的最小佰为？ 详解.是+}x+y小+-4+子+1-5++ 4y+≥24y.X=4,当且仅当x=2y时取等，联立x+y=3,解得x=2、y=1 x y 做号*5+4=3. 答案：3 3。若正数x、y清足子+山，则3x+4y的最小值为？ 详解：3x+4y=(3x+4y)2+)=6+3x+8y+4=10+3x+8y 3x+8y≥2R24=46, 当且仅当yx 3x=-8y 时取等， 故最小值为10+4V6。 答案：10+4V6 4设x,y均为正数，月21，则x+2y的录小信为： 详解：x+2y=x+2+2y+4-6 *2*2y4*2+22y*2) x+2y+2 =3+2(x+2)+6(y+2)+4 y+2 X+2 =7+2(x+2)+6(y+2)≥7+212=7+43 y+2 X+2 故x+2y≥7+43-6=1+43。 答案：1+4V3 1+1 5.若正数a、b满足a+b=L,则3a+2+3b+2的最小值为？ 详解：3a+3b=3 3a+2+3b+2=3+4=7, 302*3b23a+21-36*+2302*302与i2+6号3号e12+2到-号 ，当且仅当a=b=时取等。 答案：月 题型七代入法 1. 正实数x、y满足x+y=1,则女的最小值为？ 螺y则号21学宁1兰 2y+≥22，故+y+1最小值为22+2。 X V 答案：2V2+2 2. 已知x≥0、y>0,3x+2y=5,则5x+2Y的最小值为？ y 详解：化简原式5+2y y x 将3x+2y=5代入得=32+2-3y+2+2兴(0y克》， X 3x+2+2y≥26+2。 y 答案：2V6+2 题型八“三相等”验证 1.(1)已知x>3,求y=x+ +x-3的最小值及取最小值时x的值： (2)已知x0、y0,兰+皆=2，求心的最大值及取最大值时x、y的值。 详解(1Dx3则x-3>0,y=(x-3+x43+3≥24+3=7，当且仅当 X-3 (x-3)=4 x-3’即x=5时取等： x+y (2) y=6·X义≤62232=6？当且仅当23 X=兰=1即x=2、y=3时取等。 231 答案：(1)最小值7，x=5:(2)最大值6，x=2、y=3 2. 下列命题正确的是() A. 函数y=x+X的最小值为2 若ab>0,奥后+82 B. C图数y深2+2的最小值为2 1 D.函数y=x+x3x<3的最小值为包 详解：A没有“一正”： 及00则公名同正，可以用整本不学式号吕2号吕2，正前 b C.Vx2+2+- 1 ≥2 x2+2 当且仅当Vx2+2= 1 X2+2 =1时取等。 但收+22天解，不清足“三相等”，所以取不到辰小白： 1 D.X<3时，x-3<0, -3x-3+4 y=米+4 x3+3=《.（x-3)+X43)+3 3)+3724 ·(.(x-3)+4 (x-3))≤4 -3米-3+4 少=+4 X3+3(《x=3)+义-3)>+3≤-4+3=-1 最大值为-1，无最小值。 答案：B 3.下列说法正确的为() A.若X、y>0,X+y=2,则+的最小值为 9 B.若x<分则函数y=2x+2x-一的最大值为1 c.若b0,则哈+名22 D.当×2时，X+的最小值是2 详解：A乘“1”法得5++立号，正确： X y B.y=2x-1+ +1≤-2+1=-1，正确： 2X-1 c60则号名司上，可以用基本不等式号+名2得名2，正确， 6 D,X>2时，由基本不等式得x+之2，当且仅当X=是=1时取等，但x>2所以取不 到等号，无最小值，错误。 答案：ABC 题型九求x+y的最值 1.已知正实数m、n满足m+n-1=0,则m+n的最小值为？ 详解：由m+n=1,m2+n2=(m+n2-2mn=1-2mn。 有茶本不等式得mns四”旷=， 4 故m+n-1-2mn≥1-2×}2当且仅当m=n=时取等。 答案号 2.设正实数a、b满足a+b=1,则() 后有最大值4 A. B.ab有最小值2 C.Vā+Vb有最大值V2 2 D.a2+b有最小值 详解：入后片4，无龄大位： 民0≤9生地-无根小价： C(a+b}=a+b+2/ab≤1+2×号=2，a+bs2,正确： D.(a+b)2=a2+b2+2ab a2+b2=(a+b2-2ab≥1-2×1 *4错误。 答案：C 题型十已知x+y+y的值，求x+y或y的最值 1.若x、y>0,x+y+y=3,则x+y的最小值为？ 详解：y=3-(x+y)。 由装本不等式得ws,得3-(x+y)s义 令x+y=t 婚3-ts写 解得t≥2(t≤-6舍去)，当且仅当x=y=1时取等。 故x+y的最小值为2 答案：2 2.若x、y>0,x+y+y=3,则xy的最大值为？ 详解：x+y=3-y 由基本不等式得x+y≥2xy 则x+y=3-y≥2xy 令t=x炒，则3-t≥2t,解得-3≤t≤1，当且仅当x=y=1时取等。 故y的最大值为12=1 答案：1