第三章 图形的相似 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第三章“图形的相似”培优单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查相似三角形判定与性质、动态几何等核心知识，适配新授课后培优训练，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|比例线段、相似判定（如第3题网格三角形相似）、性质应用|基础概念与图形直观结合，第9题动点问题初步考查分类讨论| |填空题|6题/18分|黄金分割（12题）、动态几何（13题正方形中BE最大值）|融入函数思想，16题以正方形序列考查规律探究| |解答题|7题/72分|相似证明（18题）、综合应用（22题动点与相似）、拓展延伸（23题类比探究）|突出推理能力，23题从等边到等腰三角形的变式培养创新意识|

第三章 图形的相似 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（30分） 1．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（　　） A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9 2．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（　　） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE和△ACB的相似比为（　　） A． B． C． D． 5．下列说法中：①任意两个等腰三角形是相似图形；②任意两个矩形是相似图形；③任意两个等边三角形是相似图形；④任意两个等腰直角三角形不一定是相似图形；⑤任意两个正方形是相似图形；⑥任意两个圆是相似图形．正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　） A． B． C． D． 7.如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（　　） A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 10．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BNPC．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（18分） 11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为　　 ． 12．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则　　 ，　　 ． 13．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 　　 cm． 14．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为　　 cm． 15．四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若2，则　　 ． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段Bn∁n的长用含n的代数式表示为　．（n为正整数） 三、解答题：（72分） 17．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5acm，EC＝3acm，BC＝bcm，∠A＝45o，∠C＝40o． （1）求∠AED和∠ADE的大小． （2）求DE的长． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BDC＝90°． （1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由． （2）如果AD＝4，BC＝9，求BD的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF∽△ECF； （2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长． 20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． （1）求证：△ADE≌△BGF； （2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长． 22．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC． （1）求证：AC＝AD+CE； （2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； 当点P与A、B两点不重合时，求的值； 23．【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 参考答案 第三章 图形的相似 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（30分） 1．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（　　） A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9 【解答】解：A、2×8≠5×6，故错误； B、3×18＝6×9，故正确． C、1×4≠2×3，故错误； D、3×9≠6×7，故错误． 故选：B． 2．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（　　） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 【解答】根据题意解：， 即， ∴旗杆的高18米．故选：B． 3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分别为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE和△ACB的相似比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∵AE＝4，AB＝12， ∴AE：AB＝1：3， ∴△ADE和△ACB的相似比为1：3． 故选：B． 5．下列说法中：①任意两个等腰三角形是相似图形；②任意两个矩形是相似图形；③任意两个等边三角形是相似图形；④任意两个等腰直角三角形不一定是相似图形；⑤任意两个正方形是相似图形；⑥任意两个圆是相似图形．正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①任意两个等腰三角形不一定是相似图形，错误，不符合题意； ②任意两个矩形对应角相等，但对应边不成比例，不一定相似，不符合题意； ③任意两个等边三角形是相似图形，正确，符合题意； ④任意两个等腰直角三角形一定是相似图形，故原命题错误，不符合题意； ⑤任意两个正方形是相似图形，正确，符合题意； ⑥任意两个圆是相似图形，正确，符合题意， 正确的有3个， 故选：B． 6．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E， ∴△ADC∽△BDE， ∴， ∵AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3， ∴BD＝5，DC＝3， ∴DE． 故选：B． 7.如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴AE＝CE． 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴S△ADE＝S△CFE． ∵DE为△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2， ∴S△ADE：S△ABC＝1：4， ∵S△ADE+S四边形BCED＝S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3， ∴S△CEF：S四边形BCED＝1：3． 故选：A． 8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（　　） A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴， ∵O为对角线的交点， ∴DO＝BO， 又∵E为OD的中点， ∴DEDB， 则DE：EB＝1：3， ∴DF：AB＝1：3， ∵DC＝AB， ∴DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2． 故选：D． 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm， ∴AB＝2BC＝4（cm）， ∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， ∴BDBC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm）， 若∠BED＝90°， 当A→B时，∵∠ABC＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BEBD（cm）， ∴t＝3.5， 当B→A时，t＝4+0.5＝4.5． 若∠BDE＝90°时， 当A→B时，∵∠ABC＝60°， ∴∠BED＝30°， ∴BE＝2BD＝2（cm）， ∴t＝4﹣2＝2， 当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）． 综上可得：t的值为2或3.5或4.5． 故选：D． 10．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BNPC．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PMBC，PNBC， ∴PM＝PN，正确； ②在△ABM与△ACN中， ∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴，正确； ③∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM＝∠ACN＝30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM＝PN＝PB＝PC， ∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°， ∴∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形，正确； ④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N， ∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°， ∴BN＝CN， ∵P为BC边的中点， ∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形 ∴BNPBPC，正确． 故选：D． 二、填空题：（18分） 11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为　　 ． 【解答】解：∵在△ABC与△ACD中，∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AB＝5，AC＝4， ∴， 解得AD． 故答案为：． 12．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则　　 ，　　 ． 【解答】解：由题意得：， ∴，． 故本题答案为：，． 13．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 　　 cm． 【解答】解：设AP＝x，BE＝y． 如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90° ∵PE⊥DP， ∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠2＝90° ∴∠1＝∠3， ∴△ADP∽△BPE， ∴，即， ∴yx2+x（x﹣5）2（0＜x＜10）； ∴当x＝5时，y有最大值． 故答案为：． 14．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为　5　 cm． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE， ∴AB＝BE＝6cm， ∴EC＝9﹣6＝3（cm）， ∵BG⊥AE，垂足为G， ∴AE＝2AG． 在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6cm，BG＝4cm， ∴AG2（cm）， ∴AE＝2AG＝4cm； ∵EC∥AD， ∴， ∴，， 解得：EF＝2（cm），FC＝3（cm）， ∴EF+CF的长为5cm． 故答案为：5． 15．四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若2，则　或　 ． 【解答】解：如图1： ∵AB＝3，2， ∴AF＝2，BF＝1， ∵AB∥CD， ∴△AEF∽△CED， ∴， ∴； 如图2： ∵AB＝3，2， ∴AF＝6，BF＝3， ∵AB∥CD， ∴△AEF∽△CED， ∴， ∴． 故答案为：或． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段Bn∁n的长用含n的代数式表示为　（）n ．（n为正整数） 【解答】解：由题意可得：B1C1∥AC， ∴△BB1C1∽△BAC， ∴， ∵CC1＝B1C1， ∴， 解得：B1C1， 故A1B1，AA1， 同理可得出：B2C2＝（）2，B3C3＝（）3… ∴线段Bn∁n的长用含n的代数式表示为：（）n． 故答案为：（）n． 三、解答题：（72分） 17．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5acm，EC＝3acm，BC＝bcm，∠A＝45o，∠C＝40o． （1）求∠AED和∠ADE的大小． （2）求DE的长． 【解答】解：（1）∵∠A＝45°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝95°， ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AEC＝∠C＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°． （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AE＝5acm，EC＝3acm， ∴AC＝8a（cm）， ∴， ∴DEb（cm）． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BDC＝90°． （1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由． （2）如果AD＝4，BC＝9，求BD的长． 【解答】解：（1）△ABD与△DCB相似，理由如下： ∵AB⊥BC， ∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°， 又∠CBD+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠C， ∵AD∥BC ∴∠A＝∠ABC＝∠BDC＝90°， ∴△ABD∽△DCB； （2）由（1）可知△ABD∽△DCB， ∴，即， 解得DB＝6． 19．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF∽△ECF； （2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵DC∥AB， ∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E， ∴△ABF∽△ECF． （2）解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC，AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm， ∴BF＝3cm． ∵由（1）知，△ABF∽△ECF， ∴，即． ∴CE（cm）． 20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C． 在△ADF与△DEC中， ∴△ADF∽△DEC． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴， ∴DE12． ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE6． 21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． （1）求证：△ADE≌△BGF； （2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°， ∴∠B＝∠A＝45°， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠BFG＝∠AED＝90°， 故可得出∠BGF＝∠ADE＝45°，GF＝ED， ∵在△ADE与△BGF中， ， ∴△ADE≌△BGF（ASA）； （2）解：过点C作CH⊥AB于点H， ∵正方形DEFG的面积为16cm2， ∴DE＝AE＝4cm， ∴AB＝3DE＝12cm， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴AHAB12＝6cm， 在Rt△ADE中， ∵DE＝AE＝4cm， ∴AD4cm， ∵CH⊥AB，DE⊥AB， ∴CH∥DE， ∴△ADE∽△ACH， ∴，， 解得AC＝6cm． 22．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC． （1）求证：AC＝AD+CE； （2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； 当点P与A、B两点不重合时，求的值； 【解答】（1）证明：∵BD⊥BE， ∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°， ∴∠1＝∠E， ∵在△ABD和△CEB中， ， ∴△ABD≌△CEB（AAS）， ∴AB＝CE， ∴AC＝AB+BC＝AD+CE； （2）如图，过点Q作QF⊥BC于F， 则△BFQ∽△BCE， ∴， 即， ∴QFBF， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°， ∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ADP＝∠FPQ， 又∵∠A＝∠PFQ＝90°， ∴△ADP∽△FPQ， ∴， 即， ∴5AP﹣AP2+AP•BF＝3•BF， 整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0， ∵点P与A，B两点不重合， ∴AP≠5， ∴AP＝BF， 由△ADP∽△FPQ得，， ∴； 23．【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACN． （2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立； 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACN． （3）解：∠ABC＝∠ACN； 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN， ∴底角∠BAC＝∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴， 又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC＝∠ACN． 学科网（北京）股份有限公司 $