安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期数学开学考自测题（二）

**基本信息** 高三开学数学自测卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，检测开学学情，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、函数定义域等基础概念|注重概念辨析，夯实基础| |多选题|3题|立体几何、概率、三角函数性质|考查知识综合应用，培养逻辑推理| |填空题|3题|圆的切线、三角形最值、圆锥与球|结合空间想象，提升数学眼光| |解答题|5题|独立性检验、立体几何综合、数列、函数导数、抛物线|以体育锻炼调查（15题）、立体几何证明（16题）等情境，考查数据意识与应用能力，适配高考命题趋势|

安徽省蚌埠市2026－2027学年高三第一学期开学自测题（二） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题 1．已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 5．数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（    ） A．144 B．192 C．360 D．480 7．已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 10．盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（    ） A．第一次取到黑球的概率为 B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”既互斥又对立 C．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为 D．第二次取到黑球的概率为 11．已知函数，下列命题正确的有（    ） A．由可得是的整数倍 B．的表达式可改写成 C．的图象不关于点对称 D．的图象关于直线对称 三、填空题 12．已知圆与直线相切，则__________． 13．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 四、解答题 15．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ (2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 16．如图，在多面体中，平面，平面.，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求该多面体的体积； （3）求平面与平面所成的锐二面角的大小. 17．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 18．已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 19．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. (1)求抛物线C的方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设O为原点，，求证：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A D C A D B D A AD ABC BCD 1.A 【详解】集合M=-1<x≤1，B={x0<x<2,则AnB=x0<x≤1) 2.D 【详解】因为的=i=(-(-)=-1,代入原式得：z=3i+2i=-2+3i, 所以复数z=-2+31标准形式中，虚部为3. 3.C 3-x≥0 【详解】由题意 x+1>0,解得-1<x≤3即函数)=V3-x+log,(+)的定文战为 (-1,3] 4.A 【详解】因为随机变量5~N(,o2), 所以正态分布的曲线的对称轴为5=1. 又因为PG≤2=PE2a.所以210，解得a4 5.D 【详解】令0。=2”-11<0，因为n∈N,所以解得n=1,2,3, 所以数列a}的前3项为负，从第4项起为正， 所以5的最小值为S,=2'-11+2-11+2-11=14-33=-19 6.B 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有CA=8种情况： ②将3人看成一个整体，与其余3人企排列，有A=4x3×2x1=24种排法： 则有8×24=192种不同的站法. 7.D 【详解】a<-10≤x≤-(a+1),f)=r+a=(x+_ 1 21 一4的最小值是4， 老a+0<-2,博-2<a<-1时 则f(-a-)=1+9y_a 4a+1=- J 4,解得a= 4,符合题意： 若(a+1)≥-a 2,即a≤-2时， f八3=4-1 44,a=±1，不合题意舍去 4 8.A 【详解]由题了)=++(x>, 因为函数f)=血x+ +a心有两个极值点，， 所以方程x+x+1=0有两个不同的正根，， 所以d-4>0,x+名=-a>0,3=1,所以a<-20, 1 期所以nt++n3+)罗+低，=hx西+x+x}-x+a(x+ =hl+a-1-a=-a-1 2 2 又f(x)+f(x2)≤-9，所以2 a-1≤-9即得a2-1620, 所以a≤-4或a≥4（舍去）②， 所以由①②得a≤-4. 9.AD 【详解】对于A,因为多面体MBC-4BG为正三棱柱，则CG1平面ABC, 因ADC平面ABC,故CC⊥AD 又因正三棱柱MBC-AB,C的各棱长均为1，D为BC的中点，则AD⊥BC, 因CC nBC=C,CG,BCc平面BCCB,放AD⊥平面 B BCC B 又CDC平面BCCB,故4AD1CD,故A正确： 对于B,假设BC1平面AB,C,ACC平面MBC,则 BC⊥AC 又AC LCG,CG∩BC=C,CC,BCc平面BCCB, 所以4CL平面BCCB,又BCC平面BCCB,所以AC⊥BC, 这与△ABC为等边三角形矛盾，故B错误： 对于C,因为△1B4的面积与△MBB的面积相等，且两三角形铜在平 ABBA中， 故三棱锥D-1B4的体积等于三棱锥D-ABB的体积， 1 o-ms.0x 24 x13 =8,BB=1,n43×8 一X 1 24，C错误： 对于D,设0为△4BG的外心，0为△ABC的外心，0为O0的中点， 则00与两底面垂直，因04=0B=0G,0,M=0,B=0,C, 故OA=OB=OC=OM=OB=OC,即0为三棱杜ABC-4BG外接球的球心， 即外接球的半径R=V② 217π ，放1BC-ABC外接球表面积S=4R=4频×363，D正 确 10.ABC 42 【详解】对于A,第一次取到黑球的概率为63，故A正确： 对于B,事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球， 或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况； “第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球， 或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况， 所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B正确： 对于C,设第一次取到白球为事件A,第二次取到黑球为事件B, 则第一次取到白球第次取到装球的偶率为P(48)-后×号行。P4)。 244 所以在第一次取到白球的条件下， 4 第二次取到黑球的概率为P(B)）= P(AB)15_4 P(A)15,故C正确： 3 对于D,第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球， 或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况， 43242 一X一十 一X 所以第二次取到黑球的概率为65653，故D错误. 11.BCD 【详解】因为f)=3 sin xcos+3V3sim'x-3v5+ 2+1 所以f(x9=im2x-)cos2x+1=3sin◆ A顶，由f6)=)=1,即m2n26}-0, T元 函数f(x)的最小正周期T=π，则x一七2是22的整数倍， X-x不一定是兀的整数倍，故A错误： -sin-3c0) =3r2x-}1,放B输 3π 62 ≠0 即函数y=f(x)的图象关于点( 4 不对称，故C正确： 项=m2哥}引君引如到引- 即当X=一12时，取到最小值-1， 则y=fx)的图象关于直线x=一12对称，故D正确 12.+25 【详解】由C:+y=25,可得：圆心C(0,0),半径r=5, 设圆心C到直线I的距离为d, 田C与直线相，则Q9十6，得：m25,即m 13.-9 【详解】取D=3AC,连接BD,如图所示， D B 则1AB+(3-3)AC=元AB+(1-2)3AC=元AB+(1-2)AD. 设AE=元AB+(-)AD,则B,D,E三点共线， 由AB=AD=6,可知当AB1BD时，A正有最小值3V2, 故BD=6N2,即。4BD为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则B(6,0),C(0,2),设P(a,0),0≤a≤6， 则PB=(6-a,0）,PC=(-a,2), 故PB-PC=-a(6-a=a2-6a=(a-32-9, 故当a=3时，可得PB·PC的最小值是9， 14.15π 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为4V3 小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 2π×2√5 可知扇环的半径为3√5，V3,扇环所在扇形的圆心角为45 所以环英面软为23、-人]=12， 在圆维底面，小球接触到的区域是-个园，其半径为25-V5=5其面积为(x=3沉 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为15π. 15。【详解】()零假设为：性别因素与锻炼的经常性无关， n(ad-be)2 因为X-a+bc+da+e0o+dn=a+b+c+d, 所以n=80,a=10,b=30,c=20,d=20, 则ad-bc=10×20-30×20=-400,则(ad-bc)=160000 a+b=40c+d=40a+c=30b+d=50 所以(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)）=40×40x30x50=2400000 n(ad-be)2 80×160000≈5.333， (a+b)(cd)(ae)(+d)2400000 根据小概率值=0.01的独立性检验为6.635，由X≈5.333<6.635 因此可以认为几成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 (2)经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3 人，女生抽取2人。 则X的可能取值为：0,1,2，则： P(X=0)= 10.P(x=1)=g3 10, 所以X的分布列为： X 0 1 2 1 3 P 3-5 10 80-00+1+2x-号12 3 16.【详解】(I)因为BA1平面ACD,ED⊥平面ACD,ED=2V3,AB=3, 取CD的中点H,连接AH,FH,因为F为CE的中点， 所以FH2DE,所ABFH, 所以四边形ABFH为平行四边形，所以BF∥AH 因为AC=AD=CD=2,H为CD的中点，所以AH⊥CD, 因为ED⊥平面ACD,AHC平面ACD,所以AH⊥ED, 因为CD∩ED=D,所以AH⊥平面CDE, 因为BF∥AH,所以BF⊥平面CDE, (mx8w*a1-写52x5=1. 一X 34 由(I)知BF=A=V5,BF⊥平面CDE, S.cmxBF-xix2x23x5=2 1 VR-CDE 3 32 所以'BCE=V-Am+VCe=1+2=3 (3)如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)B2,0,V3),C1,5,0),E(0,0,2V5), 设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,2), BC=(-1,V5,-V3),BE=（-2,0,3), n.BC=-x+3y-√3z=0 由BE=-2x+V3z=0，令x=5,则2=2'y=3, 所以n=(V5,32 因为ED1平面4ACD,所以平面ACD的法向量DE=(O,02V3), 所sD nDE 2×2W31 ×DE4x2V32, 因为0≤(，DE)≤元， aD)-骨 π 所以平面BCE与平面ACD所成的锐二面角为3· 17.【详解】()已知2S,+a,=3”,则当n=1时，有2S+4=3 8=4,24+a=3,即3a=3,解得4=1 (2)由25，+a=3” ①可得，当n≥2时，21+a1=3 ② ①-②得2(Sn-S)+a。-a1=3”-31 S。-S1=0,2a,+a-01=3”-3,即3a。-0=2×3,进一步变形可得 12 ,=30+3×3 3 当n之2时， 又4a-3'=4×1-3=1 :数列4。-3”}是以1为首项，3为公比的等比数列 出可a,-9=1固'.则a,-+传，a=+4x 3”1 3+,1=3 3”、1 25+a=3,28=3”=4.=344x33 4×3-1, 3 则Sn= ×3-131 8 8x3-=88x3· 由手成5=321 3+l 1 2×3H,3-13H,1 88×3” 8 8×3n1 8+8×3=4+4x3>0, 32191 所以{S,}是速增数列，S,的最小值为一88×88，无最大值 18、【详解1：f)=r-1r,Af()=a(x>0), xx 当a≤0时，'()<0恒成立，f(x)在(0，+o)上递减， 当a0时◆0%，0x<。因在a)上这玩 令r>0限网g+)上送 (2)由(1)可知a≤0时，不合题意： a0时，f在0日上诚布+ 上递增， 若f()在0c]有两个零点，则定有f日=1+ha<0,解行0<a<日 时日名+0，所以了因在日日上一定有-个点 当e）ae2-20a≥径时，f在口e]上-定有-个零点 2 综上：e三sa< 1 e (3)由2sinx-xCOSx--lhx≥f(x), 得2sinx-xcosx-ar≥0， 故2n-or-amr之0花*（0到 上恒成立， 段4（刻=2sinx-or-acxe(Q. )=2cosx-cosx+xsinx-a=cosx+xsinx-a 设m(x)=cosr+sinr-a,则m(x)=osx, 当*0引.m>0m闪年。 在0引上E精 所以在e0引上，受a,且Y0=1-a 当2-a≤0，即a≥7时，hs0,h(在02 上单调递减， 则h(x)<h(0)=0,不符合题意，舍去， 当2-a>0 2时， 0若1-a<0,即1<a< 2, 使得h'(x)=0,当0<x<x,时，h(x)<0,h(x)在(0，x)内单调递减， h(x)<h(O)=0,不符合题意，舍去， (i)若1-a≥0，即a≤1，h(x)>0恒成立， A时在e0引上单调送照，则h》>0)=0,行合燃意， 综上，实数a的取值范围为（-o,刂. 19.【详解】（少因点P1,2)在抛物线C:y=2px上，则2=2p1,解得D=2, 所以抛物线C的方程为y=4x (2)令直线I的斜率为飞，则直线I方程为：y=x+1, y=+1 由y2=4x消去y并整理得：k2x2+2k-2)x+1=0 k2≠0 因直线，与抛物线C有两个不同的交点4、B,则△=4k-2}-4k2>0,解得k<1且 k≠0 1 又直线A,PB与y轴相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线1不能过点(1，-2)， 否则A或PB之一平行于y轴，矛盾，因此k≠-3， 综上得：k<1,k≠0且k≠-3， 所以直线'的斜率的取值范围（←0，-3U(-3,0U(0,) (3)设点M0,yuN0,yw),M=(0,yw-),0=(0,-),而M=00,则 =l-yw,同理4=l-w, 设4以BC,由2知+=-245 1 2, y-2=2-4x- 直线方程：y-2=2仁1-)，即1-，则y-2= 1-x1 4(x-0, PA 4 2+y1 2y 2y2 令x=0得w2十为，同理2+片， 1+1=,1+,1=2+1+2+2=8-2y-8-2c+1,+0 于是得元41-yw1-yw2-片2-y2(2-y)2-)（1-c1-) -8-25+6+5+8-24264 k2 2 08k-2x4=2 1-k(x+x2)+k2x2 k2+2.1 1+k 2k-4 4k-42, k2 1,1 所以元μ为定值2.