安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期开学自测数学试题（一）

**基本信息** 高三开学自测题覆盖集合、函数、几何、概率等核心模块，以盲盒概率、共享单车情境等生活化素材考查数据意识，通过导数综合题、椭圆证明题体现推理能力与创新应用，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、向量数量积、函数奇偶性|基础题占比60%，如第3题函数奇偶性判断，强化抽象能力| |多选|3/18|复数几何意义、解三角形、三角函数性质|第11题结合周期与单调性，考查逻辑推理| |填空|3/15|基本不等式、数列递推、圆的切线|第12题用正数条件求最值，体现数学眼光| |解答|5/77|等比数列、立体几何二面角、概率统计、椭圆、导数|第17题以共享单车情境考条件概率与分布列，第19题导数证明题发展理性思维，贴合高考命题趋势|

参考答案 题号 y 3 6 7 8 9 10 11 答案 A B B A B A BC ABD AC 1.A 【详解】因为CuA=2,3,5,CuB={1,4,所以CuA U Cu B=1,2,4,5. 2.B 【详解】平行四边形BCD中，由4B=4,AD=3,∠B1D=60°，得 AB·AD=4×3×二=6 由DP=1DC(2>O),得AP=AD+DP=九AB+AD,BP=BC+CP=(亿-)AB+AD 因此AP.BP=(AB+AD)-[(亿-1)AB+AD1=16(-1)+62元-1)+9=9 理得822-22-3=0，即(2元+1042-3)=0，所以1= D B 3.B 1 【详解】因为f似为偶函数，则f⑩=f-:+a)n3(-1+a)1h3,解符a=0, 3 当a=0时，f(y=xn2r-l 2-lKax+>0,5欢< 1 2, 则定义为引， 关于原点对称 0-n-(加2司 =xl 2x-1-f(x), 2x+1 故此时f(x)为偶函数 4.C 【详解1n2m=m行-小1-2m(任-a小1-2× 5.A 【详解1抛物线C:y=2p≥0的焦点坐标为F?0 当袋1：y-2注点F,将F号0代入宜骏方程得0-号-2， 解得P=4,抛物线方程化为y=8x y=x-2 联立 y2=8x，消去y得(x-2}=8x, 展开整理X-4x+4=8x,x2-12x+4=0 设4(，），B(,）,由一元二次方程根与系数关系得+3=12 抛物线焦点弦长公式AB上，+，+p, 代入数值AB到=12+4=16 6.B 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为3√2，故 上底面对角线长为3V2×V2=6,下底面边长为4V2,故下底面对角线长为4W2×V2=8 上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为 2x(8-6=1 已知侧棱长为5V2,由勾股定理得棱台的高h=5V2)-1P=V50-1=7； 引年体积：上底面面积5=(6=18，下底面面我3=(42矿=2 代入棱台体积公式"=S+8,+S网，)h=3×8+32+V18x32)x7 下3x(50+24)×7=38 3. 7.C 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为3，即81种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶， 即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次 选择出现2次的种类：C=3种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类， 剩余2个位置分别给另外两种：C×A号=12种， 总符合条件的情况数：3×12=36种， 364 因此，总概率为819· 8.A 【详解】令f(x)=lny+x+m=0得lnd=-x-m, y=x y=-x-m y=lnx 则f()的零点即为y=血d与y=-x-m交点的横坐标， 令8()=x+x+m=0得x=-x-m 2 x06N /X2 X 则8()的零点即为y=x与y=-x-m交点的横坐标， 画出y=,y=心，y=-x-m的图象， 由图可知：从上到下的三条直线分别说明<。<x,x=<,<<x成立， 可得选项D、B、C可能成立， 9.BC 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为乙，乙，乙，0为坐标原点， 则复数，，在复平面内对应的向量为0Z,0元，0Z,且0Z=0Z=0Z=2, 0z+0Z,=0Z,0Z=(5,1, 所以四边形022乙，为菱形，H∠20☑，-子， 又∠Z,02,=3,0Z,与x轴正半轴所成的角为6， 所以OZ与x轴正半轴所成的角为6，所以Z,与Z3关于x轴对称， 所以名=V5-i,则三=2i,所以2名+？=25∈R,故B正确； 因为-=5-i-2i=3-31,所以-到=矿+(3=25，故A错深 z=2i(V3-i)=2+2W3i,故C正确： a=3-i（s-ii15 z,2i 2i222,故D错误， 10.ABD 【详解】由c=2 bcos A及正弦定理得，sinC=2 sin B cos A, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 代入得sin Acos B+cos Asin B=2 sin Bcos A,得sin Acos B=sin Bcos A, 即amA=anB,在BC中，有4=Bc0, 故A项正确： =m4+引.得csa-20=sm4母到 (cos 4-sin)sind 2-C0sA 因s4o0.则4-co4-0,香nes,数家1输： 国为m4+os4=sm4-cas4=克，及40.】 4,cos4=1+ 联立解得sinA=1+V万 4, 由A=B得a=b,则c=2 bcosA=2 acosA, g=2cosA=2xV万-1V5-1 42，故D项正确： R=- 0=2c0s4- 2c 4c 外接圆半径为R=2sin42sin44sin4cosA V7+1√7-133，故C项错 4× 一X △ABC 44 误 11.AC ar+oamr 1 2 cosox-2 1 =3sinoxcosox+cos0x-2=2 sin 2@x+cos2@x=sin(2@x+) 61 π 对于A,因为f(:)=-1,f()=1,且x-的最小值为2， 即两数f()的最小正周期T满足22，所以T=2x号 T 2X2元，所以A正确： 2π 对于B,出上分折可得=知，解得0=1，则(=如2x+爱， 当合3时.2x+君e写 .π5π、 63’6, <2x+ 元<x≤0 当3 62时，即126时，函数f(x)单调递增： ≤2x+ 5π ISX< 当2 66时，即6 时，函数∫(x)单调递减， 即了()在B吾上华递装，在爱孕 上单调递减，所以B错误： 对于C,令2x+ -+kmk∈Z,可得x-言2 62 元+C,keZ 5 一十 由-3622 3,又k∈Z, 枚当k=-1时，x一62：当k=0时，X=石 兀兀_元 6, 2π兀 π元 即函数f(x)在区间←32有两个极值点3和石，所以C正确： 对于D,电质数(+)m2x+2m+君 因为函数f(x+m)为偶函数，可得2m+。 一十 62 ,k∈乙，解得m 元+k,keZ 62 当k=0时，m 6,所以最小正实数m为6，所以D不正确 12.8 【详解】由xy均为正数，且+2y=1 -+24+24-8 则xyxy 1 X=- 当且仅当 xy，解得 时等号成立 x+2y=1 y= 13.2n2 【详解】0因为mS1-(n+1)S,=2(m2+n)→S-=2 n+l n S. 是以S-品-2为首项，2为公差的等差数列， 所以数列n了是以1=1 =2+2n-1）=2n→S。=2m 所以n 14.2V万 【详]园M国心M(-L0y半径R=2+042码 圆w的国心N0,2八半径，=2+(4到-4 L-2 2 B MN=V1+1)2+(2-0)2=2V2, 直线与圆N相切，即定点N到直线'的距离恒等于V5, 设圆心M到直线l的距离为d, 由定点N到定距离的直线I,M到I的距离d, 则MN-r≤d≤MN+r,即22-V2≤d≤2W2+V2, 解得V2≤ds3V2 所以AB=2VR2-d=2V25-d2 d越大，AB越小，即d取最大值3V2时，AB最小， 1AB=2V25-(32=2万 15.【详解】(1)由{an}为等比数列，9a,+a=54,可得 9a2+a,9=54, +9g=54,g-69+9=0,解得g=3 即q 所以4= g=3,4=3x3=3,5= 31-3）31-3 1-3 2 2)b照a=g3-”,bbsn+na+可)4nn+i， g动女时4， +1++<4 1≥0所以二n十1<1，从而b,b2b,bb,b 因为n+1 16.【详解】(1)连接AC交BD于O,连接OE, 因为E为PC的中点，四边形ABCD为矩形，可得O为AC的中点， 所以PAIIOE,因为OEC平面EDB,PAC平面EDB, 所以PAII平面EDB: (2)由题意，以D为坐标原点，以D4,DC,DP所在的直线分别为少2轴建立空间直角坐 标系， 因为AD=2,PD=AB=4 则D(0,00),A(20,0),B(2,40),P(0,04),C(0,4,0,E(0,2,2) 可得DB=(2,4,0),DE=(0,2,2),AB=(0,4,0),AP=(-2,0,4), 设平面BDE的法向量i=(化，，z), i.DB=0 [2x+4y=0 则元.DE=0,即2y+2z=0,令y=-1,可得i=(2,-1,1), 设平面ABP的法向量m=(t,八，2)， m·AB=0 4y'=0 则m.AP=0,即-2x+4z=0,令=1'可得m=(2,0,1) 可得i:m=2×2+(-1)×0+1×1=5,同=V4+1+1=V6,m=V4+0+15 n.m 530 所以cos元，m=同：园6x店6， 设平面BDE与平面ABP所成角为8， 所以6=1-cos元m=-0-6 1366 √6 即平面BDE与平面ABP所成角的正弦值为6· 17.【详解】(1)设“小明上学出发时下雨”为事件A,“小明选择骑共享单车去学校”为 事件B. 由题意可知：P(BA=0.8,P(BA)=0.4,P(4)=0.25,P(4)=0.75, 由全概率公式可得P(B)=P(4)P(B4A)+P(A)P(B4=0.7, 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7. P()= (A)P(BA_0.75x0.8_6 (2)由题意可知： P(B) 0.7 7, 6 所以小明出发时不下雨的概率为7. (3)由题意可知： X~B(3,0.7) 则P(X=0)=(1-0.7)=0.027,P(X=1)=C×0.7×(1-0.7)}=0.189, P(X=2)=C×0.72×(1-0.7)=0.441,P(X=3)=0.73=0.343 (0123) 可知X的分布列为0.0270.1890.4410.343 所以X的数学期望[X]=3×0.7=2.1,方差D[X]=3×0.7×(1-0.7）=0.63 18.【详解】(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b, 又焦距为2V3,所以a2-b2=3, 解得a2=4:2=1)所以C的标准方程为4+y=1 (2)()证明：由椭园的对称性，不妨设4(o,%）,B(-o,),0≤，<1， 股P,≠，则线p方程为名-开力 令x=0得，w= 6，同理可得，人w6+出 X1+x0 因为片=1-年，公=1年 4 X-6=1 x1-x0x1+x0 x1-x x-x。 所以OMON=yww=1为定值. (i)法1：因为M上AW,所以PAAN=0, 又因为PA=(x。-,%-片），A=(-xw-%), 所以(-，%-乃)(-，w-%)=-x(-x)+(%-片)w-%)=0」 a为经为对小-以0-6 x +xo 因为0≠0，所以（以-%）尸=-x,所以（以-广=4(-），显然片≠， 3 所以人-片=4(0，+y,所以书=亏， ua-k-=s到年+方 6 5, (当且仅当2 2时，李成立）应P4极时面积的 法2：设AW与C交于点O,由椭圆的对称性知(-x,乃)， M 因为AM⊥AN,所以BP·QB=0, 又因为BP=(+x,片-%)，Q8=(-x+x0片-%)， 所以(x+,片-%)小(-x+x,片-%)=x号-x2+(y-%)=0 所以（以-）》=x-x后，所以(4-%》=4（坊-），显然y≠， 3 所以-y=4(0+y,所以片=5， 所以e以-=--到至+8 5 (当且仅当2 =%,即%=2时，等号成立)， 8 所以△PAB的面积的最大值为5. 19.【详解】(1)f)=ln(x+)+ x+l,所以点(e-l,f(e-l)处的切线斜率为 f"(e-1)=2- e, 又-)=e-1,所以初线方程%-(e--（2-x-(e-川 (2)8')=e*1-1 t,因为y=e*w=-I x在(0，+o∞)上均为增函数， 所以8'（在0，+o)上单调递增，又80=e-1=0, 故当t∈0，时，g田)<0，当re0,+o)时，g>0 故8(0在0，)上单调递减，在山，+0)上单调递增。 所以g(x)m=e1-nl-a=l-a 若对任意x∈(0，+w),都有8)≥1，则l-a≥1， 所以a≤0，a的取值范围为←0,0] (3)由(2)知，当x>1时，e-lhx>1,故e-lnx-1>0, 所以x-I[e-2nx-1+fx)-fx-1)] =(x-1)e*--2lnx-1+xIn(x+1)-(x-1)Inx =(x-1)ex--lnx-1+xln(x+l)-xlnx >(x-1)[xIn(x+1)-xInx]=x(x-1)[In(x+1)-Inx] ln(x+l)-lnx、l 所以只需证x(x-1)ln(x+1)-lnx]>lnx.ln(x+1),只需证Inx.In(x+)x(x-), 11、11 11、11 只需证Inx In(x+l)x-1x,只需证lnxx-1ln(x+1)x, 因= c>),则只需证h(>hx+1)）(c>). h)=-1t11 Gi r xIn2x'(x-1)2 (x-1)2In2x (x-1)2ln2x 因为n安-2n-+石，前以令以0-2加x-+ 到为p02生-尘大0防0o上避 x2 所以当x>1时，p)<o0=0,所以)<0，所以()在，+切)上单调递诚， 又1<r<x+1,所以h()>hx+), 故当x>1时，(x-[e-2r-1+f)-f(x-1]>mxln(x+1). 安徽省蚌埠市高三第一学期开学自测题（一） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 7．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 8．函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 11．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知均为正数，且，则的最小值为______. 13．已知数列的前项和为，若，且，则__________. 14．已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答卷上写出必要的解题步骤。 15．(13分）设等比数列的前 项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 16．(15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 17．(15分）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 18．(17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设，是上关于轴对称的两点，是上一点，直线，与轴分别交于，两点． （i）设为坐标原点，证明：为定值； （ii）若，求的面积的最大值． 19．(17分）已知，，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求a的取值范围； (3)若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $