第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖命题概念、充分必要条件、全称与存在量词，按“概念-题型-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法归纳、真题训练等环节，帮助学生系统突破不同背景下的条件判断难点。 资料以跨知识背景题型训练为特色，如结合三角函数、立体几何等设计条件判断题，培养学生逻辑推理能力。采用“分步推导、双向验证”策略，配合分层练习，确保高效突破易错点，为教师提供精准复习节奏把控依据，助力学生提升高考应考能力。

第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 命题的概念 知识点2 充分条件与必要条件 知识点3 全称量词与存在量词 题型破译 (含超链接） 题型1含量词的命题的真假判断 题型2含量词的命题的应用 【方法技巧】含量词命题的解题策略 题型3 以不等式为命题背景的条件判断 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 题型4 以平面向量为命题背景的条件判断 题型5 以三角函数为命题背景的条件判断 题型6 以立体几何为命题背景的条件判断 题型7 以解析几何为命题背景的条件判断 题型8 以数列为命题背景的条件判断 题型9 以函数为命题背景的条件判断 题型10 以统计概率为命题背景的条件判断 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 以各知识点为背景命题下对充分条件、必要条件的相关判断 北京卷T7（4分） 北京卷T5（4分） 全称量词与存在量词的应用 考情分析 北京卷中常用逻辑用语考题为单选题，分值 4 分，难度中等，聚焦基础逻辑推理。 1.核心考点：围绕充分、必要条件判断，融合平面向量、代数式、数列、函数、三角函数等知识，综合考逻辑推理。 2.思想方法：突出逻辑推理、分类讨论（如三角函数 k 奇偶性、数列首项符号），隐含数形结合（函数性质）。 3.易错点：充分与必要条件的逻辑方向易混；复杂背景下（向量、数列等），条件推导易漏特殊情况。 复习目标 1.精准理解充分、必要、充要条件的定义，明确时 ，p 是 q 充分条件，q 是 p 必要条件. 2.该考点常结合不等式、平面向量、数列、函数、三角函数、立体几何、解析几何等知识点为背景命题，以上知识点需重点掌握. 3.针对易错点专项突破，重点训练；强化 “特殊情况验证”（如向量为零向量、数列空集 / 首项为负、三角函数边界值 ），补全推导漏洞，确保逻辑严谨. 4.熟练掌握全称量词与存在量词及其命题的否定及应用. 5.养成 “分步推导、双向验证”的习惯：对比双向推导结果，判断充分、必要关系. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 命题的概念 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． 2.分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． 3.结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 【自主检测】下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解析】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 【自主检测】（2026·湖南·三模）“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若t不是整数，则一定t不是奇数； 若t不是奇数，则t可能是整数” 所以“t不是整数”是“t不是奇数”的充分不必要条件. 知识点3 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 【自主检测】（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】全称量词命题 “” 的否定是存在量词命题 “”． 因为命题“，”是全称量词命题， 所以该命题的否定为存在量词命题，即否定为：，． 题●型●破●译 题型1含量词的命题的真假判断 【例1】（2026·北京怀柔·模拟）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，解不等式，得，所以为真命题． 【变式2】（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【解析】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 题型2含量词的命题的应用 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由命题“”为真命题， ，解得：， 【方法技巧】含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【变式1】（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合.综上，． 【变式3】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 题型3 以不等式为命题背景的条件判断 【例1】（25-26高三下·北京西城·期中）设，是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得， 反之，当时，，而不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【变式1】（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 【变式2】（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 【变式3】（2026·福建宁德·二模）设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】对于甲：因为，所以， 对于乙：，则， 因为是的真子集， 所以甲是乙的必要不充分条件. 题型4 以平面向量为命题背景的条件判断 【例1】（2025·北京东城·一模）在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 【变式1】（25-26高一下·北京海淀·期中）已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】已知是不共线的单位向量，故，设两向量夹角为， 则，即. 因为，所以不等式等价于. 充分性：若，无法推出且，例如满足， 但不满足且，充分性不成立； 必要性：若且，必有，即，必要性成立. 所以是且的必要不充分条件. 【变式2】（25-26高三下·广东·期中）设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】验证充分性： 已知非零向量两两不垂直，故，， 若，则左边为与共线的非零向量，右边为与共线的非零向量， 两非零向量相等则方向一致，因此，充分性成立； 验证必要性： 若，由为非零向量，可知存在实数，使得， 代入左边得： ， 代入右边得： ， 左边等于右边，故必要性成立； 因此“”是“”的充要条件. 【变式3】（25-26高三下·北京·期中）设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若，则， 又，故充分性成立； 必要性：若， 两边平方得：， 化简得：，即. 令(满足)，但，故必要性不成立. 综上：是的充分而不必要条件. 题型5 以三角函数为命题背景的条件判断 【例5】（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵ 函数的对称轴满足，即. 充分性：若，则，满足对称轴条件，充分性成立. 必要性：取，是函数对称轴，但，必要性不成立. 故为充分不必要条件，A正确. 【变式1】（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式2】（25-26高一下·北京·期中）已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】存在使得， 则， 则，充分性成立， 取，满足， 此时无论取何值，，，必要性不成立. 【变式3】（25-26高三下·北京顺义·期中）在中，“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，且在内单调递减， 则等价于， 在中，等价于， 由正弦定理可知：等价于， 综上所述：等价于. 所以“”是“”成立的充分必要条件. 题型6 以立体几何为命题背景的条件判断 【例6】（25-26高三上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知，是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若与平行，由平面，，得与平面平行，所以与无公共点. 所以与平行，或与异面. 若与平行，则由平行公理得与平行，与“已知，是平面内的两条相交直线”矛盾，所以与不平行，所以与异面. 当与异面时，并不能说明与的关系，所以不能推出与平行. 如下图所示，当与异面时，与异面. 所以“与平行”是“与异面”的充分不必要条件，故选A. 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期末）设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，，可以得到，， 若，，，不能得到，缺条件相交， 所以“”是“，”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 题型7 以解析几何为命题背景的条件判断 【例7】（25-26高二上·北京·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，即， 但是倾斜角，仅由不能直接得出， 也就是不能得出，所以“”不能推出“”，充分性不成立； 若，则， 那么，即， 因为，，所以， 所以“”可以推出“”，必要性成立. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆O圆心为，半径， 直线l到圆心距离， 若，则，直线与圆相交； 但直线与圆相交时，可得，不一定能推得， 故“”是“直线l与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·河北雄安·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线和抛物线.则“”是“直线与只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由直线与只有一个公共点， 当时，直线，与抛物线只有一个交点，符合， 当时，直线方程抛物线方程联立消去，可得， 即， 由题意：，解得， 综上直线与只有一个公共点则或， 所以“”是“直线与只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 题型8 以数列为命题背景的条件判断 【例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】正项等比数列，，则公比, 充分性：若公差，等差数列递减，显然存在正整数，当时，； 若公差，等差数列递增，等比呈指数增长，等差呈线性增长， 则时，，所以存在正整数，当时，， 若，则为常数列，显然成立. 所以充分性成立； 必要性：取，，显然存在正整数，当时，， 但，必要性不成立，故选A 【变式1】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）在等比数列中，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为q，因为， 若，则，即，即， 解得或，则，故充分； 若，则，即，解得，且， 当时，， 则，故不必要；故选A 【变式2】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】是递增数列的充要条件是对任意恒成立. 已知，所以. 令，则. 因为，所以恒成立， 故只需对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，该函数是关于的增函数， 因此在时取得最小值，. 故是递增数列的充要条件是，故选C. 【变式3】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型9 以函数为命题背景的条件判断 【例9】（25-26高二下·北京·期中）“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意得， 由函数存在单调递减区间，得在上有解， 只需，即在上有解， 整理得在上有解， 令，则， 所以当时，y有最小值，则， 所以， 当时，， 则单调递增，无单调减区间，故， 所以函数存在单调递减区间时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“函数存在单调递减区间”的必要不充分条件. 【变式1】（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 【变式2】（25-26高二下·北京·期中）“函数在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得： ， 因为恒成立，因此在上单调递减等价于对成立， 即在上恒成立. 令，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在区间上单调递增， 因此最大值为，所以. 命题：在单调递减 ；命题：. 若，必有，即，充分性成立； 若，推不出（例如满足不满足），即，必要性不成立. 因此“在单调递减”是“”的充分不必要条件. 【变式3】（25-26高二下·北京·期中）已知函数,则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】. 当在上单调递增时，则有在上恒成立， 于是有，解得， 显然当时，不一定能推出， 同样当时，也不一定能推出， 所以“”是“在上单调递增”的既不充分也不必要条件. 题型10 以统计概率为命题背景的条件判断 【例10】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 【变式】（22-23高三上·湖北·阶段检测）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【解析】对于（1），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的充分条件，故命题（1）是假命题； 对于（2），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的必要条件，故命题（2）是假命题； 对于（3），不妨设，但此时，所以“”不是“”的充要条件，故命题（3）是假命题； 对于（4），由于是无限不循环小数当且仅当是无限不循环小数，由无理数的定义可知“是无理数”是“是无理数”的充分必要条件，故命题（4）是假命题； 对于（5），当时，有，所以“”是“”的充分条件，故命题（5）是真命题； 综上所述：真命题的个数一共有1个. 故选：B. 2．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空： (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ； (2)是的 ； (3)是的 ； (4)x,y为无理数是为无理数的 . 【答案】 充分不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 【解析】(1)如图： 由，得，所以，则为等腰三角形，满足充分性， 但是如果为等腰三角形，边上的高不一定等于边上的高，不满足必要性， 故三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充分不必要条件； (2)当时，有；反之当时，不一定有，故是的充分不必要条件； (3) 当时，不一定有，因为有可能；反之当时，必有，故是的必要不充分条件； (4)当时，为有理数，当时，，故x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件. 故答案为：充分不必要条件；充分不必要条件；必要不充分条件；既不充分也不必要条件. 3．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题. 【解析】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件. 故(1)为真命题. (2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件. 故(2)为假命题. (3)是的充要条件. 故(3)为假命题. (4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立. 当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立. 故(4)为真命题. 4．设证明:的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】证明:(1)充分性:如果, 那么, . (2)必要性:如果, 那么, ,. 由(1)(2)知,的充要条件是. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三下·北京平谷·期中）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题， 命题的否定命题． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【解析】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出； 当，，此时不一定为0，所以不能推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 5．（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 6．（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 7.（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 8．（2026·天津滨海新区·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由可得，解得或， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 9．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此，成立， 即能推出，必要性成立； 综上，是的必要不充分条件. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 11．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 12．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件； 若，由函数的定义知，若，则必有，而时，能推出， 故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 重难·创新演练 1．（11-12高三上·云南玉溪·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 2.（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026·北京房山·一模）设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】如图，在正方体中，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取底面，即平面为，侧面，即平面为， 则，即轴. 因为，， 所以可设的方向向量为（不同时为0），的方向向量为（不同时为0）， 则或， 而的方向向量为轴或与轴重合； 的方向向量为轴或与轴重合. 所以或或，所以或. 综上，“”是“或”的充要条件. 5．（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 6．（25-26高二上·四川德阳·期末）函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点．      当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 结合选项只有是的真子集， 故是函数有且只有一个零点的充分不必要条件. 故选：D． 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）设三维空间中全体的点构成集合的非空真子集V满足：对任意P、和任意，存在，使得．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意，是线性子空间， 因为， 若，则可能是一维子空间或二维子空间， 当是x轴时，则是x轴上的点， 设， 由， 得， 所以，满足题意，此时， 所以“”不能推出“” 若时，必须包含由和所在平面， 又是的非空真子集，所以， 所以能推出， “”是“”的必要非充分条件， 故选：B 8．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意； 当时，， 所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或， 所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线只有一个公共点不能推出， “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件， 故选：A 9．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 10．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则， 因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 12.已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】若为真命题，等价于， ，当且仅当时，等号成立， ，即， 可得，故实数的取值范围是． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 命题的概念 知识点2 充分条件与必要条件 知识点3 全称量词与存在量词 题型破译 (含超链接） 题型1含量词的命题的真假判断 题型2含量词的命题的应用 【方法技巧】含量词命题的解题策略 题型3 以不等式为命题背景的条件判断 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 题型4 以平面向量为命题背景的条件判断 题型5 以三角函数为命题背景的条件判断 题型6 以立体几何为命题背景的条件判断 题型7 以解析几何为命题背景的条件判断 题型8 以数列为命题背景的条件判断 题型9 以函数为命题背景的条件判断 题型10 以统计概率为命题背景的条件判断 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 以各知识点为背景命题下对充分条件、必要条件的相关判断 北京卷T7（4分） 北京卷T5（4分） 全称量词与存在量词的应用 考情分析 北京卷中常用逻辑用语考题为单选题，分值 4 分，难度中等，聚焦基础逻辑推理。 1.核心考点：围绕充分、必要条件判断，融合平面向量、代数式、数列、函数、三角函数等知识，综合考逻辑推理。 2.思想方法：突出逻辑推理、分类讨论（如三角函数 k 奇偶性、数列首项符号），隐含数形结合（函数性质）。 3.易错点：充分与必要条件的逻辑方向易混；复杂背景下（向量、数列等），条件推导易漏特殊情况。 复习目标 1.精准理解充分、必要、充要条件的定义，明确时 ，p 是 q 充分条件，q 是 p 必要条件. 2.该考点常结合不等式、平面向量、数列、函数、三角函数、立体几何、解析几何等知识点为背景命题，以上知识点需重点掌握. 3.针对易错点专项突破，重点训练；强化 “特殊情况验证”（如向量为零向量、数列空集 / 首项为负、三角函数边界值 ），补全推导漏洞，确保逻辑严谨. 4.熟练掌握全称量词与存在量词及其命题的否定及应用. 5.养成 “分步推导、双向验证”的习惯：对比双向推导结果，判断充分、必要关系. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 命题的概念 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． 2.分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． 3.结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 【自主检测】下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 【自主检测】（2026·湖南·三模）“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 【自主检测】（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题●型●破●译 题型1含量词的命题的真假判断 【例1】（2026·北京怀柔·模拟）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【变式1】（2026·陕西西安·模拟）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【变式2】（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 题型2含量词的命题的应用 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【变式1】（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 以不等式为命题背景的条件判断 【例1】（25-26高三下·北京西城·期中）设，是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【变式1】（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2026·福建宁德·二模）设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 以平面向量为命题背景的条件判断 【例1】（2025·北京东城·一模）在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高一下·北京海淀·期中）已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高三下·广东·期中）设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高三下·北京·期中）设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 以三角函数为命题背景的条件判断 【例5】（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高一下·北京·期中）已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高三下·北京顺义·期中）在中，“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 以立体几何为命题背景的条件判断 【例6】（25-26高三上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知，是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期末）设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7 以解析几何为命题背景的条件判断 【例7】（25-26高二上·北京·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二上·河北雄安·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线和抛物线.则“”是“直线与只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 以数列为命题背景的条件判断 【例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）在等比数列中，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9 以函数为命题背景的条件判断 【例9】（25-26高二下·北京·期中）“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二下·北京·期中）“函数在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高二下·北京·期中）已知函数,则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型10 以统计概率为命题背景的条件判断 【例10】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】（22-23高三上·湖北·阶段检测）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空： (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ； (2)是的 ； (3)是的 ； (4)x,y为无理数是为无理数的 . 3．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 4．设证明:的充要条件是. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三下·北京平谷·期中）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7.（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（2026·天津滨海新区·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（26-27高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难·创新演练 1．（11-12高三上·云南玉溪·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·北京房山·一模）设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·四川德阳·期末）函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）设三维空间中全体的点构成集合的非空真子集V满足：对任意P、和任意，存在，使得．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 8．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12.已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $