第01讲 集合（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 元素与集合 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 知识点4 集合的运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 题型5 数集的运算 题型6 点集的运算 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数 题型9 容斥原理 题型10 集合的新定义问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— 集合的基本关系 —— 集合的基本运算 北京卷T1（5分） 北京卷T1（5分） 考情分析 北京卷中集合题固定为单选题（第1题），分值4分，难度极低，属 “基础送分题”。 核心考查 集合的交、并、补运算，紧密结合一元一次不等式，突出数形结合思想的应用。 聚焦区间端点的开闭性验证（如闭区间端点是否纳入结果，补集运算中边界的取舍），是易错点。 复习目标 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 自主检测（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，如果， 则或，即或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合. 综上所述，则a的取值集合为.故选：D 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合满足，则集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】依题意，集合中一定含有元素，及其它元素，则 或或，共3个，故选B 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 自主检测（2026·北京顺义·二模）已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，所以或 知识点4 集合的运算性质 ① ； ②； ③； ④ ； ⑤. 自主检测（25-26高三上·北京大兴·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解不等式得，因此集合；因为，所以； 已知，且，所以必须满足，即实数的取值范围是，故选D. 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 【例1】（23-24高三上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系， 而应该是包含关系，故选A 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】且，则；且，则，所以，故选A 【变式2】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，又且，则，故选D 【变式3】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，若，则，故选A 题型2 集合中元素的特征 【例2】（25-26高三上·北京怀柔期末）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【解析】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，，故选C 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【变式1】（2026·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【解析】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或，故选C 【变式2】若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为，故选D 【变式3】已知集合，且，则________． 【答案】 【解析】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去，∴. 题型3 集合间的基本关系 【例3】（1）（25-26高三上·北京门头沟·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合中的元素，满足，， 集合中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以，所以故选：C. （2）（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知，又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式1】（2026·广东汕头·模拟）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由于，故， 由知或，即或， 注意到，故由元素互异性知，故，故选C． 【变式2】已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集，故选C 【变式3】（25-26高三上·北京通州期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】即，解得， 当时，，不符合题意， 当时，， 要满足，则，解得，故选D. 【变式4】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 【答案】7 【解析】因为集合，， 若，可知集合必含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数， 且集合有3个元素，所以集合的个数为. 题型4 （真）子集的个数 【例4】（2025·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】不等式，可得.又，故，其子集的个数为个. 故选:B 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）已知集合，，，则的真子集共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解析】因为集合， 且，则，即集合有2个元素， 所以集合的真子集共有个，故选A. 【变式2】已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】解方程，得或或. 由于集合，而、是无理数，因此. 根据子集个数公式：若集合有n个元素，其子集个数为. 集合A有1个元素，故子集个数为，故选B. 【变式3】（25-26高三上·安徽·期中）集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】因为，若，则， ∴，，又∵，∴， 所以该集合的子集的个数为，故选B. 题型5 数集的运算 【例5】（1）（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. （2）（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则. （3）（2026·北京·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，， 根据集合补集的定义与运算，可得或. 【变式1】（2026·北京房山·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据补集的计算法则可知：. 【变式2】（2026·北京·三模）已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得. 【变式3】（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为，所以或， 结合，所以或. 【变式4】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 题型6 点集的运算 【例6】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程组，解得，则.故选：C． 【变式1】已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【解析】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素.故选：. 【变式2】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，故，故选：C 【变式3】已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】由，得或或或. 题型7 Venn图的运算 【例7】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，， 图中阴影部分表示的集合为，因为，全集，所以或， 则或或，故B正确. 【变式1】（25-26高三上·北京海淀·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以阴影部分表示的集合为，故选A 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据韦恩图可知，图中阴影部分表示的元素满足且， 所以图中阴影部分表示的集合为；故选：D. 【变式3】（25-26高二下·北京东城·期末）全集，集合，阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解不等式，得，则， 由函数，得，则，， 由韦恩图得阴影部分表示的集合为，故选A 题型8 利用集合的运算结果求参数 【例8】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，则，故，即的取值范围为. 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，，则，故选A. 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 若有4个子集，可知有2个元素， 则，即，，可得，且， 所以实数的取值范围是，故选B. 【变式3】（25-26高一上·北京·阶段检测）设集合，且，则的值为__________. 【答案】或 【解析】因为，所以， 由可得， 当时，解得：或， 若时，，满足， 若时，，满足， 当时，解得：，不满足集合的互异性； 所以的值为或； 【变式4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】集合，所以有， 即实数的取值范围为. 【变式5】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）集合，集合，且，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由，，得， 当时，，即，解得，满足，则， 当时，，解得， 所以实数m的取值范围为. 题型9 容斥原理 【例9】（25-26高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】B 【解析】如图所示，因为阅读过《红楼梦》的人数为80， 阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60， 所以只阅读过红楼梦的人数为20， 又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90， 故只阅读过西游记的人数为10， 所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为. 故选B 【变式1】（25-26高二下·北京·阶段检测）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（    ）． A．25种 B．27种 C．29种 D．31种 【答案】C 【解析】因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种； 同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出； 所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的， 此时商品总数是（种； 分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时， 如图所示． 故选：C． 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【解析】由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，所以这个班同学人数是.故选：B. 【变式3】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【解析】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ，解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 题型10 集合的新定义问题 【例10】（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【解析】对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②，对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③，设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④，已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 【变式1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【解析】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 【变式2】（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【解析】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27，故选：C 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故选：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得.故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 由集合的包含关系可得. 故选：B. 2．已知集合，全集，求. 【答案】或，或 【解析】由， 得， 所以或， 又或， 所以或. 3．已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在, 【解析】， 或， ， ∴存在实数，使得. 4．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【答案】3人,9人 【解析】如图. 设同时参加田径和球类比赛的有x人,则,, 即同时参加田径和球类比赛的有3人, 而只参加游泳一项比赛的有(人). 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 2．（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 3．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 【答案】C 【解析】因为， ， 对于集合，当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 故. 故选：C. 4．（2026·北京昌平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】集合，集合. 在中满足的元素只有，所以 5．（2026·北京·模拟预测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 故. 6．（2026·北京海淀·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】首先求解集合中的不等式： 由分式分母不为0，得； 故，等价于且，即且； 得或，结合的限制，可得或, 根据补集的定义，是实数集中不属于的所有元素构成的集合，因此. 7．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 而全集，所以. 8．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为，且， 所以，解得，故选：D 9．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【解析】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 10．（23-24高三上·北京·阶段检测）对于数集，，它们的Descartes积，则错误的有（    ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【答案】A 【解析】由题知，表示数集中的数表示横坐标， 数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错； 若，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示轴所在直线，D正确，故选A 11．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 【答案】2 【解析】若同时去过的有人，则，可得. 12．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 【答案】（均可） 【解析】命题“，使得”为假命题，则其否定“，使得”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为，所以由，使得， 得对于任意恒成立，又，所以. 综上，实数的取值范围为. 重难·创新演练 1．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确.故选：D 2．（25-26高三上·山东济宁·期中）设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【解析】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为.故选：C 3．（2021高一·上海·专题练习）已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【解析】由得, 又， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得或， 所以a的值是或， 故选：D 4．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为表示所有奇数，表示部分奇数， 所以. 故选：. 6．（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即集合，所以； 由，整理得，等价为，解得， 所以集合， 所以. 7．（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：根据对数函数真数大于零可得，集合， 集合或， 根据并集的定义可得或，即. 8．（25-26高三上·北京西城·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，集合， 则集合. 故选：D. 9．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合， ， 则. 故选：D. 10．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D 11．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集________；设，若，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】，解得或， 所以． 因为，所以 若，，符合题意； 若，，则，，所以； 若，，则，，所以； 综上，． 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 13．（25-26高二上·北京·开学考试）设A、B是非空集合，定义：{且}.已知，，则等于____________. 【答案】 【解析】由有意义可得，故， 所以， 所以， 因为时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，，， 则 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 元素与集合 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 知识点4 集合的运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 题型5 数集的运算 题型6 点集的运算 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数 题型9 容斥原理 题型10 集合的新定义问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— 集合的基本关系 —— 集合的基本运算 北京卷T1（5分） 北京卷T1（5分） 考情分析 北京卷中集合题固定为单选题（第1题），分值4分，难度极低，属 “基础送分题”。 核心考查 集合的交、并、补运算，紧密结合一元一次不等式，突出数形结合思想的应用。 聚焦区间端点的开闭性验证（如闭区间端点是否纳入结果，补集运算中边界的取舍），是易错点。 复习目标 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 【自主检测】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合满足，则集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 自主检测（2026·北京顺义·二模）已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 知识点4 集合的运算性质 ① ； ②； ③； ④ ； ⑤. 自主检测（25-26高三上·北京大兴·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 【例1】（23-24高三上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D． 题型2 集合中元素的特征 【例2】（25-26高三上·北京怀柔期末）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【变式1】（2026·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【变式2】若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，且，则________． 题型3 集合间的基本关系 【例3】（1）（25-26高三上·北京门头沟·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． （2）（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式1】（2026·广东汕头·模拟）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·北京通州期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 题型4 （真）子集的个数 【例4】（2025·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）已知集合，，，则的真子集共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】（25-26高三上·安徽·期中）集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型5 数集的运算 【例5】（1）（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． （3）（2026·北京·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·北京房山·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京·三模）已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式4】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 题型6 点集的运算 【例6】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式2】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则 ． 题型7 Venn图的运算 【例7】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【变式1】（25-26高三上·北京海淀·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·北京东城·期末）全集，集合，阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 题型8 利用集合的运算结果求参数 【例8】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·北京·阶段检测）设集合，且，则的值为__________. 【变式4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【变式5】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）集合，集合，且，则实数m的取值范围为___________. 题型9 容斥原理 【例9】（25-26高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 【变式1】（25-26高二下·北京·阶段检测）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（    ）． A．25种 B．27种 C．29种 D．31种 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【变式3】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 题型10 集合的新定义问题 【例10】（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【变式2】（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，全集，求. 3．已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 4．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 4．（2026·北京昌平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 5．（2026·北京·模拟预测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·北京海淀·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 7．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 10．（23-24高三上·北京·阶段检测）对于数集，，它们的Descartes积，则错误的有（    ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 11．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 12．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 重难·创新演练 1．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高三上·山东济宁·期中）设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 3．（2021高一·上海·专题练习）已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 4．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京西城·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集________；设，若，则实数a的取值范围为________． 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 13．（25-26高二上·北京·开学考试）设A、B是非空集合，定义：{且}.已知，，则等于____________. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $