2.4 函数的周期性与对称性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.4函数的周期性与对称性 ★[考试要求] 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推 论.3.会依据函数的性质进行简单的应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.函数图象的对称关系 1.函数的周期性 (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b一x), (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每 则f)的图象关于直线上-“士对称 一个x∈D都有x+T∈D,且 (2)若函数f(x)满足关系f(a十x)=-f(b-x), ,那么函数y=f(x)就叫做周期函 则f(x)的图象关于点 a+b 数，非零常数T叫做这个函数的周期： 20对称 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有 自主诊断查验 周期中存在一个 的正数， 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 那么这个 就叫做 或“×”) f(x)的最小正周期： (1)若T是函数f(x)的一个周期，则T(k∈N*) 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x), 也是函数f(x)的一个周期 则函数的图象关于直线x=a对称； (2)函数y=f(x十1)是偶函数，则函数y= (2)若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a十x), f(x)关于直线x=1对称， ( 则函数的图象关于点 对称 (3)函数y=f(x一1)是奇函数，则函数y= (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的 f(x)关于点(1,0)对称， () 对称轴为 ;若f(x十a)是奇函数 (4)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0, 则函数f(x)图象的对称中心为 则f(x)关于y轴对称 () 3.两个函数图象的对称 2.函数y=f(x)与函数y=f(一x)的图象关 (1)函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于 于 对称 () 对称； A.x轴 B.y轴 (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 对称； C.坐标原点 D.不能确定 (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于 3.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足 对称 f(2+x)=f(-x),且当x≥1时，f(x)= 知识拓展用活 lnx,则 () 1.函数的周期性 A.f(-1)<f(0) B.f(-1)>f(0) 对f(x)定义域内任一自变量x的值： C.f(0)=f(2) D.f(0)<f(2) (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意 (2)若f(x十a)= f,则T=2a(a>0). 实数x,恒有f(x+4)=f(x).当x∈[0,2] 时，f(x)=2x一x2,则f(2026)= (3)若f(x十a)=- fx),则T=2a(a>0). 1 ·25· 高考总复习数学 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 函数的周期性 (2)已知定义在R上的函数f(x),对Hx∈R, 例1] 都有f(x十2)=一f(x)十2，若函数f(x一1) (1)定义在R上的函数f(x)满足 f(x十1)=f(x)一2，则下列是周期函数 的图象关于直线x=1对称，则f(2027)= 的是 ( A.-2 B.-1 C.2 D.1 A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x P[角度2]中心对称 [例2-2] (1)已知函数f(x)的定义域为R, (2)已知f(x)是定义域为（一∞，十∞）的奇 函数，满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则 且f(2x+1)为奇函数，f(2x+4)=f(2x), 则一定正确的是 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+.+f(2026) A.f(x)的周期为2 A.1 B.0 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.1013 C.f(x十1)为偶函数 D.2026 D.f(x+3)为奇函数 规律方法 (2)[多选]函数y=f(x)的图象关于点P(a,b) 函数周期性的判定与应用 成中心对称图形的充要条件是y=f(x十a) (1)判断函数的周期性只需证明f(x十T) b为奇函数，下列结论正确的 () =f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函 A.函数f(x)=ax十b没有对称中心 数，且周期为T,函数的周期性常与函数 的其他性质综合命题. 我面数)-岩的对称中心为（一12》 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的 C.函数f(x)=x3一2x2的对称中心的横坐 性质得到函数的整体性质，在解决具体 问题时，要注意结论：若T是函数的周 标为酷 期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的 D.定义在[一3,3]的函数f(x)的图象关于点 周期 (0,一1)成中心对称.当0≤x≤3时，f(x) 日跟踪训练 =x2-2x一3，则f(x)的值域为[一4,2] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)f(x) 规律方法 =1,若f(1)∈(1,2)，则f(2027)的取值范 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 围为 ( ) 台f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a十x): A.(-2,-1) B.[1,4] 若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x), c . 则y=f(x)的图象关于直线x=十b 对称. 题型2 函数的对称性 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 卜[角度 轴对称 曰f(a十x)+f(a-x)=2b台2b-f(x) [例2一1](1)下列函数与y=e的图象关于 =f(2a一x);若函数y=f(x)满足f(a十x) 直线x=1对称的是 ( ) 十f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于 A.y=e B.y=el 点 (a+b. C.y=e2- D.y=In x 22 成中心对称. ·26 第二章函数 跟踪训练 A.直线x=一1对称 1.[多选]定义在R上的函数f(x)满足f(0) B.直线x=一2对称 =f(x)+f(-x),f(.x+2)=-f(x),且 C.直线x=2对称 f(x)在[一1,0]上是增函数，则下列结论正 D.直线x=1对称 确的是 ) 规律方法 A.f(2)=f(0) 函数y=f(a十x)与函数y=f(b一x)图象 B.f(x)在[1,2]上单调递减 C.f(x)的图象关于点（一2,0）对称 关于直线x=28 b二a对称。 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 2.已知函数y=f(x十1)与y=g(x)的定义域 日跟踪训练 均为R,且它们的图象关于x=1对称，若奇 已知y=f(x十4)是定义域为R的奇函数， 函数g(x)满足g(x)=g(2一x),下列关于 y=g(x一2)是定义域为R的偶函数，且 函数f(x)的性质说法不正确的有( y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称， A.f(x)关于x=2对称 则 () B.f(x)关于点(4,0)对称 A.y=f(x)是奇函数 C.f(x)的周期T=4 B.y=g(x)是偶函数 D.f(2027)=0 C.y=f(x)关于点(2,0)对称 题型3 两个函数图象对称 D.y=g(x)关于直线x=4对称 例3] 设函数y=f(x)的定义域为R,则函 数y=f(x-3)与函数y=f(1-x)的图象 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关9 关于 ( ) [热点强化课2]捕象函数性质的综合应用 抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起 到事半功倍的效果. 名师点拨 [典例][多选]已知函数f(x),g(x)的定 义域均为R,且g(x)+f(-x+2)=1, 对含有f(x),g(x)混合关系的抽象函 数，要探求f(x),g(x)性质首先要消去一个 f(x)一g(x十1)=1，若y=f(x)的图象 函数只剩下另一个函数，消去其中一个函数 关于直线x=1对称，则以下说法正确 的方法就是对x进行合理的赋值，组成方程 的是 组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. A.g(x)为奇函数 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及 B(引=0 图象的对称性的综合应用，解决该问题应该 注意的事项： C.Hx∈R,f(x)=f(x+4) (1)赋值法使用，注意和题目条件作联系； D.若f(x)的值域为[m,M],则f(x)+ (2)转化过程要以相关定义为目的，不断 g(x)=m+M-1 转变 ·27 高考总复习数学 日跟踪训练 C.若函数F(x)=f(x)十g(x)在x∈[1一m, [多选]已知函数f(x)=1g(√x-2x+2- 1+m]上的最大值、最小值分别为M、N, 十1Dg)-8则下列说法正确的是 则M+N=4 2+2 D.令F(x)=f(x)+g(x),若F(a)+ F(一2a+1)>4,则实数a的取值范围 A.f(x)是奇函数 B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 是(-1，+∞) 培优拓展3 新定义中的特殊函数 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定 义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但 是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三 基，以不变应万变才是制胜法宝. 工典例][多选]高斯是德国著名的数学家，近 代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称 2.狄利克雷函数D(x) 的性质 0,x庄Q 号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 (1)定义域R;值域{0,1} x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则 (2)奇偶性：偶函数， y=[x]称为高斯函数，例如：[一3.5]= (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最 小正周期. -4,[2.1]=2.已知函数f(x)= e 1+e (4)无法画出函数的图象，但其图象客观 存在， 一2，函数g(x)=[f(x)门，则下列命题中为 3.最值函数的概念 真命题的是 设min{a,b} (a,a≤b, b;a-b, max ta,b) A.g(x)图象关于x=0对称 B.f(x)是奇函数 a,a≥b, C.f(x)在R上是增函数 b;a<b D.g(x)的值域是{-1,0,1} 直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b 的最小值，我们将其称为最小值函数，同 名师点拨 样的，max{a,b}用来表示a,b的最大值， 1.高斯函数y=[x] 称作最大值函数， (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x 日跟踪训练 的整数部分，记作[x],例如，[3.4]=3， [多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成 [一2.1]=一3，这一规定最早为数学家 就显著，以其名字命名的函数f(x)= 高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函 1,x∈Q, 数，又称取整函数 l0,x∈C.Q, 称为狄利克雷函数，则关于函 (2)性质 数f(x)的叙述，正确的是 ( ①定义域：R;值域：Z 2 A.函数y=f(x)的图象是两条直线 ②不具有单调性、奇偶性、 1 -2-10234 B.f(f(x))=1 周期性， -2 C.f(W3)>f(1) (3)图象（如右图） D.Hx∈R,都有f(1一x)=f(2+x) ·28·当t=0时，令t=x2=0,因为f(x2)=一f(-x2), 所以f(0)=-f(一0)，即f(0)=0: 当t<0时，令t=一x2,因为f(x)=一f(-x2), 所以f(一t)=一f(t), 综上，Ht∈R,f(-t)=一f(t),所以f(x)是奇函数， 所以A正确； 对于B,在2f(x十y)f(x-y)=f(x)十f(y)中，令x=y=0, 得2(0)=2f(0),因为f(0)≠0，所以f(0)=1,显然不 符合f(一x)=一f(x),故B错误； 对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0), .f(0)=0, 令y=-x,则f(x)十f(-x)=f(0)=0, .f(-x)=-f(x), 即f(x)为奇函，数，C错误： 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)十xf(y), 令x=y=0得f(0)=0:令x=y=1得f(1)=f(1)十 f(1),所以f(1)=0: 令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1), 所以f-1)=0； 令y=-1得f(-x)=-f(x)十xf(-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数，故D正确. [答案]AD 跟踪训练 1B[解法一：因为)=号1中品光图象关 于点（一1，一1）中心对称，将其图象向右平移1个单位长 度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对 称，所以f(x-1)十1为奇函数. 解法二：因为)=号片以-1)= -2学，)-号-壳对于A) x f(x-1)-1=2工-1=22，定义城关于原点对称， 但不满足F(x)=一F(一x),故F(x)不是奇函数；对于 B,G()=f(x-1)+1=2工+1=2，定义城关于原点 对称，且满足G(x)=一G(一x),故G(x)为奇函数；对于 Cx1》-1壳1=一号定又线不美于原 点时称，不是寺函教：对于D(x十1)十1=异十1= 千2，定义城不关于原点对称，不是奇画数] 2 2.C[因为f(x十y)-[f(x)十f(y]=2024, 所以令x=y=0,可得∫(0)=一2024， 令y=-x,则f(0)-f(x)-f(-x)=2024, 所以f(-x)=-f(x)-4048, 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 且f(-x)+2024=-[f(x)+2024], 所以f(x)十2024是奇函数.] 题型2 [例2-山[解析]f(-子)-f(子)f(+子) 5-2(2+)-2故选A [答案]A [例2一2][解析]因为f(x)为R上的奇函数， 当x>0时，f(x)=x十2x十1， 设x<0,则一x>0,所以f(一x)=(一x)十2（一x)十1 =-f(x)→f(x)=x3十2x-1(x<0). [答案]C ·31 参考答案 [例2一3][解析]由函数f(x)是定义在R上的奇函 数，得f(0)=0, 而当x≤0时，f(x)=2x2-3x十m,则m=f(0)=0, 所以当x≤0时，f(x)=2x2-3.x, 所以f(1)=-f(-1)=-[2(-1)”-3(-1)]=-5. 「答案1一5 跟踪训练 1.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确： 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)ex十2，又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x-3)e-2,所以B 正确； 当x>0时，f(x)=(x十3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,fW3=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 --y=√3 2% -2e+2 因为2e一22，所以C错误，由奇函数图象关于原点对 称可知D正确.门 2.B[令g(x)=ax3十bx,则f(x)=g(x)十1. 由g(x)定义域关于原点对称， 且g(一x)=一g(x)得g(x)为奇函数， f(2)=g(2)+1=4,∴.g(2)=3, ∴.f(-2)=g(-2)+1=-3+1=-2.] 3.解析：因为函数y=f(x)是奇函数， 所以f(-1)=-f(1)=-(e-3)=1,解得：a=ln2. 答案：ln2 §2.4函数的周期性与对称性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数2.(2)(a,0) (3)x=a(a,0)3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 自主诊断查验 1.(1)√(2)√(3)×(4)× 2.B[函数y=f(x)上的点(x,y)关于y轴对称点 为（一x,y), :点(-x,y)在函数y=f(-x)上，y=f(x)与 y=f(一x)图象关于y轴对称.] 3.BC[因为定义在R上的函数f(x)满足f2十x)=f(-x), 所以函数f(x)关于x=1对称， 所以f(0)=f(2)=ln2,故C正确，D错误； f(-1)=f(3)=ln3,所以f(-1)>f(0),故A错误， B正确.门 4.解析：因为f(x十4)=f(x),所以函数f(x)的周期T=4.又 f(2)=0,所以f2026)=f(2十4×506)=f(2)=0. 答案：0 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]依题意，定义在R上的函数f(x)满 足f(x十1)=f(x)-2,所以f(x十1)十2(x十1)= f(x)十2x,所以y=f(x)十2x是周期为1的周期函数. 「答案]D (2)[解析]由已知f(x)=f(2-x),且f(x)是定义域 为（一∞，十0∞）的奇函数， 可得f(x)=f(2-x)=-f(x-2), 高考总复习数学 即f(x十2)=-f(x), 所以f(x十2)=f(x-2), 即函数的最小正周期为4，即f(4k十x)=f(z),k∈Z, 又f(1)=1,f(0)=0, 所以f(2)=f(2-2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0, f(3)=f(2-(-1))=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f1)十f(2)十f(3)+f(4)=0, 所以f1)十f(2)十f(3)十f(4)十…+f(2026) =506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)+ f(2026)=f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)=1. [答案]A 跟踪训练 C[:f(x十2)f(x)=1, f(x+2)=f云' 1 即f代x+4)=f(x+2= 1 -=f(x), f(x) 即f(x十4)=f(x), 所以4是函数f(x)的一个周期， f(1)∈(1,2)， ∴.f(2027)=f(3)= (合)门 题型2 [例2-1](1)[解析]f(x)=e关于x=1对称的是 f(2-x)=e2,即y=e2 [答案]C (2)[解析]由函数(x一1)的图象关于直线x=1对 称，可得f(x-1十1)=f(1一x-1), 即f(.x)=f-x),fx)为偶函数， 由f(x十2)=-f(x)十2得f(x十2十2)=-f(x十2)+2= f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数， 所以f2027)=f3+4×506)=f3)=f(-1)=f1), 由f(x十2)=-f(x)十2，令x=-1可得f(1)= -f(-1)+2→f1)=1, 所以f(2027)=1. [答案]D [例2-2](1)[解析]f(2x十1)为奇函数，得f(2x十1) 十f(-2x十1)=0， 即f(x十1)十f(-x十1)=0，则f(x十1)为奇函数，故C 错误； 且f(x)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误： f(2x十4)=f(2x)可知，函数f(x)周期为4，故A错误： f(x)=f(x十4)，又f(x)图象关于点(1,0)中心对称，知 f(x)=-f(2-x), 所以f(x十4)=一f(2一x),得f(x)关于点(3,0)对称， 则f(x十3)关于点(0,0)对称，所以f(x十3)为奇函数， 故D正确. [答案]D (2)[解析]由于y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心 对称图形的充要条件是y=f(x十a)一b为奇函数， 所以g(x)= f(+）2b,满足g-)=,是守 函数 故f)关于点（合26）对称，故A错误： 对于B,因为g(x)=f(x-1)-2=2x1)+1 x-1+1 -2= 2红12=-上，定义战为{红x≠01，满足g(-)= x =一g(x),是奇函数， 所以点（一1,2）为f(x)的对称中心，故B正确； ·31 对于C,设f(x)=x一2x2的对称中心为(a,b), 设g(x)=f(x十a)-b,则g(x)=-g(-x), 即f(x十a)-b=-f(-x+a)十b, 即(x十a)3-2(x十a)'-b=-(-x+a)3+2(-x+a)2+b, 所以(3a-2).x2十a3-2a-b=0恒成立，即3a-2=0, =号，故画数f(x)=x一2x的对称中心的横坐 所以a=3 标为号，故C错误； 对于D,因为定义在[一3,3]上的函数f(x)的图象关于 点(0，一1)成中心对称. 所以可得y=f(x)十1为奇函数， 设g(x)=f(x)十1，即g(x)是奇函数， 当0≤x≤3时，f(x)=x2-2x-3=（x-1)2-4, 所以f(x)∈[-4,0]，g(x)=f(x)+1∈[-3,1] x∈[-3,0]时，g(x)∈[-1,3]， 所以f(x)=g(x)-1∈[-2,2]， 所以x∈[-3,3]时，f(x)∈[-4,2]，故D正确. [答案]BD 跟踪训练 1.ABC[对于A,由f(0)=f(0)十f(0),得f(0)=0, 又f(x十2)=-f(x),则f(2)=-f(0)=f(0),A正确， 对于B,由于f(0)=f(x)十f(-x)=0,故f(x)是奇 函数， 由f(x)在[-1,0]上单调递增可得f(x)在[0,1]上也单 调递增 由f(x十2)=-f(x)=f(-x), 因此f(x)关于x=1对称， 故f(x)在[1,2]上单调递减，B正确， 对于C,由f(x十2)=一f(x), 则f(x十4)=一f(x十2)=f(x)=一f(-x)→f(x十4) 十f(-x)=0, 故f(x)关于(2,0)对称， 结合f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于（一2,0）对称， 故C正确， 对于D,因为f(x十2)=一f(x), 所以f(3)=-f(1), 又f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(1)>f(2)=0, 故f(3)=-f(1)<f(1),即f(3)≠f(1),则x=2不是 f(x)的对称轴，故D错误.] 2.B[对于A,令(x,y)是函数y=g(x)的图象上任意一 点，则(2-x,y)在y=f(x十1)的图象上， *化阳” ,则g(x)=f(3-x),由g(x)为奇函数， 得g(-x)十g(x)=0, 则有f(3-x)十f(3十x)=0,函数f(x)的图象关于点 (3,0)对称， 又g(x)=g(2-x),则f(3-x)=f(1十x),函数f(x)的 图象关于x=2对称，A正确； 对于C,f3十x)=-f(1十x),即fx+2)=-f(x), 则f(x十4)=-f(x十2)=f(x),f(x)的周期T=4, C正确； 对于D,∫(3)=0，则f(2027)=f(506×4十3)=0， D正确； 对于B,由f(4-x)=f(x),得f(8-x)=f(x),函数 f(x)的图象关于x=4对称， 若f(x)图象关于点(4,0)对称，则f(8-x)十f(x)=0, 即f(x)=0, 而没有条件确保∫(x)=0恒成立，B错误.] 2 题型3 [例3][解析]y=f(1一x)是函数f(-x)的图象向右 平移1个单位，由于y=f(一x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称，所以y=f(1一x)与y=f(x一1)的图象关于x=1 对称，y=f(x-3)是函数y=f(x-1)向右平移2个单 位，所以函数y=f(x-3)与函数y=f(1一x)的图象关 于直线x=2对称. [答案]C 跟踪训练 A[由于y=f(x十4)是定义域为R的奇函数， 则y=f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， y=g(x一2)是定义域为R的偶函数， 则y=g(x)的图象关于x=一2对称， 因为y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称， 则y=f(x)的图象关于x=2对称， 又y=f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， 所以y=f(x)的图象关于(0,0)成中心对称， 故y=f(x)为奇函数，A正确； 因为y=f(x)为奇函数，故f(-x)=一f(x), 由y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称， 可得f(x)=g(一x),g(x)=f(-x), 故g(-x)=f(x)=-f(-x)=一g(x), 故y=g(x)为奇函数，B错误； 由A的分析可知y=f(x)的图象关于x=2对称，故C 错误； 由A的分析可知y=f(x)的图象关于(4,0)成中心对 称，y=f(x)为奇函数， 则y=f(x)的图象也关于（一4,0）成中心对称， 而y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称， 则y=g(x)的图象关于(4,0)成中心对称，故D错误.] 热点强化课2抽象函数性质的综合应用 [典例][解析]，g(x)十f(-x+2)=1, ·g(x+1)十f(1-x)=1, f(x)-g(x+1)=1,∴.f(x)+f(1-x)=2, f(x)关于x=1对称，.f1-x)=f(1十x), .f(x)十f(1十x)=2,.f(x+1)十f(2+x)=2, .f(x)=f(2+x), .T=2,.f(x)=f(x十4)，故C正确； f(x)关于x=1对称，f(x)=f(2-x), ·f(x)=f(-x),∴.f(x)为偶函数， g(x)十f(-x+2)=1,·g(x)+f(x)=1, ·g(-x)十f(-x)=1,·g(-x)十f(x)=1, ·g(x)=g(一x),g(x)为偶函数，故A错误； “)+0-)=2)图象关于点（分1）中心 对称， “存在一对最小值点与最大值点也关于(2,1）对称， .m+M=2 ∴·g(x)十f(x)=1=m十M-1,故D正确； 由)+f1-x)=2得f(2)=1,又T=2. 所以（是）=1， 由8x)+fx)=1得g(-2)十f(2)-1, 所以5（是）=0，故B正确 [答案]BCD ·37 参考答案 跟踪训练 BCD[由题意函数f(x)=lg(√-2x十2-x十1)= lg(√(x-1)+1-(x-1), 因为√/(x-1)+1-(x-1)>0恒成立， 即函数f(x)的定义域为R, 又因为f(0)=1g(√2十1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所 以A错误； 将g(x)= 的图象向下平移两个单位得到 y=2+2 2+20, 再向左平移一个单位得到h()=22=1一2 2+2币-1+2 1-2=2=1-h(x), 此时h(-0=1+22于1 所以h(x)图象关于点(0,0)对称， 所以g(x)的图象关于(1,2)对称，所以B正确； 将函数「(x)的图象向左平移一个单位得 m(x)=lg(√/x十1-x), 因为m(-x)十m(x)=lg(√+1十x)十lg(√T十1-x) =lg1=0, 即m(一x)=一m(x),所以函数m(x)为奇函数， 所以函数f(x)关于(1,0)，点对称， 所以F(x)若在1十a处取得最大值，则F(x)在1-a处 取得最小值， 则F(1十a)十F(1-a)=f(1十a)十f(1-a)十g(1十a) 十g(1一a)=0十4=4，所以C正确： 由F(a)十F(-2a+1)>4,可得f(a)十f(1-2a)+ g(a)+g(1-2a)>4, 由f(x)=1g(/(x-1)2十1-(x-1)), 设m(.x)=lg(√2十1-x),t=√x2十1-x, 可得t= -1<0， √x2+1 所以t=√x十1-x为减函数， 可得函数m(x)=lg(√x十1-x)为减函数， 所以函数f(x)=1g(√(x-1)+1-(x-1)为减函数， 又由g6)多月1叶产为戒函发， 所以F(x)为减函数， 因为F(x)关于点(1,2)对称， 所以F(a)十F(-2a+1)>4=F(a)+F(2-a), 即F(-2a十1)>F(2-a), 即-2a十1<2-a,解得a>-1,所以D正确.] 培优拓展3新定义中的特殊函数 [奥例][解析]教据题意，加)=一合 1 1+e 2=21e “g)=f]=[÷。2]=0, L1十e2 ∴.g(1)≠g(-1),g(1)≠-g(-1), ∴.函数y=g(x)既不是奇函数也不是偶函数， 不关于直线x=0对称，A错误； y=f(x)的定义域为R, 。e 1 11 “f-)=1十e-2=1+e2 =-f(x), ,f(x)是奇函数，B正确； 高考总复习数学 任取x1x2, fx)-f)=()（中） 1 1 1+e21十e1 e1-e2 (1十e'2)(1十e1)' :x1>x2,则e>e2,即e-e>0, 1>f,.)=日在R上是增画 数，C正确； e>0,.1十e>1, 0 。<1，则<中e< 1 11 1 1+e 即-<f)< g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0，D错误. [答案]BC 跟踪训练 BD[对于A,函数y=f(x)的图象是断续的点集，不是 两条直线，A错误； 对于B,当x为有理数时，f(x)=1, 所以f(f(x))=f(1)=1, 当x为无理数时，f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,B正确； 对于C,f(W3)=0,f(1)=1, 所以f(1)>f(W3),C错误； 对于D,由题意，函数定义域为R, 且f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x十T也是有理数： 若x是无理数，则x十T也是无理数； 所以根据函，数的表达式，任取一个不为零的有理数T, f(x十T)=f(x)对Hx∈R恒成立， 故f(x十2)=f(x)=f(一x)=f(1-x), 所以Hx∈R,都有f(1一x)=f(2十x),D正确.] §2.5二次函数与暴函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)y=x°(3)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 2.(1)a.zx2十bx十c(a≠0)(m,n)零点(2)减增增减 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)× k=1, 2.C[由暴函数的定义，知 =·() 所以k=1a=，所以k十=子] 3.D[f)=2x-x-1=2(-)广-8， 因为-1≤≤1，所以fx)在[-1，]上单调递减， 在（仔]上单调递增， 又f(1)=2-1-1=0,f(-1)=2+1-1=2, 故)=2x-x一1在-1长≤1上的值城为[一号，2小门 4.解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=一a, 所以要使f(x)在[一4,6]上是单调函数，应有-一a一4 或-a≥6，即a≤-6或a≥4. 答案：(-0∞，-6]U[4,十∞) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对A,当m=0时，函数y=x”的图象 是一条直线除去点(0,1)，所以A项不正确； 对B,幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以 B项不正确： ·31 对C,幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内，所以C 项正确； 对D,当m=一1时，幂函数y=zm为奇函数，但在定义 域内不是严格的增函数，所以D项不正确； [答案]C (2)[解析]由幂函数的图象可知在区间(0,1)上幂函 数的指数越大，函数图象越接近x轴，在区间(1，十∞) 上幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴，由题图 知a>b>c>d. [答案]B (3)[解析]幂函数f(x)=x°中，2f(2)=f(16), 所以2X2=16°，即2+1=21，所以a十1=4a,解得a= 号，所以)=，所以)是定义域为R的单调增函 数，又a=flog12),b=fn2),c=f(5立)， 且1og,2=2n2>lnvE=2 5专=2<号，所以5专三0g12<n2 即f(5立)<f(log12)<f(ln2),所以b>a>c. [答案]C 跟踪训练 1.C[设幂函数y=f(x)=x°，其图象过，点(2,32)， 所以2=32，解得a=5,所以f(x)=x. 因为f(一x)=(一x)=一f(x),所以f(x)=x为奇函 数，且在R上单调递增， 所以f(a十1)十f(-1)>0可化为 f(a+1)>-f(-1)=f(1), 可得a十1>1，解得a>0, 所以a的取值范围为(0，十∞).] 2.C[当a=-1时f)=子 此时f(x)的值域为{yy≠0，故A错误， 当a=3时，f(x)=x在R上单调递增， 所以f(π)>f(3),B正确， 当a=时，Hx∈R,f(r)=f(-x))=f(x2),所以 f(x)是偶函数，C正确， 当a=令时，f(x)=x,(x≥0)，则f(z)=x,(x≥0)， 定义域不关于原，点对称，故为非奇非偶函数，D错误.门 题型2 [例2][解]法一：（利用一般式） 设f(x)=a.x2十bz十c(a≠0). 4a十2b十c=-1, 1a=-4, 由题意得a-b+6=一1，解得=4， Aac-b2 =8, (c=7. L4a 所以所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二：（利用顶，点式） 设f(x)=a(x-m)2十n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以地物线的对称轴为工=2十（G一卫=1 2 21 所以m=之，又根据题意函数有最大值8， 所以n=8, 所以f)=a(-)）+8. 因为2)=-1，所以a(2-号）+8=-1， 4