专题2.6 函数的周期性与对称性讲义-2027年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的周期性与对称性专题，覆盖周期性定义与求解、由周期性求解析式、抽象函数周期性判断、对称性证明与应用等8个核心考点，按知识逻辑递进组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识体系，突破高频难点。 资料采用分层练习设计，从基础题到综合题梯度提升，融入数学思维与数学眼光培养，如在抽象函数周期性判断中引导学生通过条件推导周期培养推理能力，在对称性与单调性结合中提升分析能力。助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

专题2.6 函数的周期性与对称性 【考点1：函数的周期性的定义与求解】 1 【考点2：由周期性求函数的解析式】 4 【考点3：判断证明抽象函数的周期性】 6 【考点4：由函数的周期性求函数值】 8 【考点5：判断或证明函数的对称性】 10 【考点6：由对称性求函数的解析式】 14 【考点7：由对称性研究单调性】 17 【考点8：由函数对称性求函数值或参数】 21 【考点1：函数的周期性的定义与求解】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）下列变化中，不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针的运行 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间 【答案】D 【分析】由周期的性质逐项判断即可. 【详解】由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是（    ） A．5.5天 B．7天 C．14天 D．20天 【答案】B 【分析】由函数图象的周期性进行求解． 【详解】由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同， 所以此造父变星亮度变化的周期是7天． 故选：B 3．（2026届高三基础夯实卷（四）【复盘卷】第一层基础夯实卷--高三四层晋级卷6月）现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用周期函数的定义，结合正余弦函数的周期公式可求得答案. 【详解】对于③，函数为偶函数，其图象关于轴对称， 而函数是周期为的奇函数，因此函数不是周期函数； 对于④，是周期为的函数； 对于①，是周期为的函数； 对于②，由，得是周期为的函数. 所以所有周期函数的序号是①②④. 故选：C 4．（2026·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】B 【分析】利用周期的定义即可得充分性，当时，即可验证必要性. 【详解】由的最小周期为1可得，即， 所以“的最小周期为1” ， 当时，，但的最小正周期是2， 所以推不出“的最小周期为1”，所以“的最小周期为1”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 5．（25-26高一上·上海·期中）两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（   ） ①；②；③；④；⑤ A．②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】取特殊函数可判断①③⑤能出现，利用周期的定义推理可判断②④不能出现. 【详解】令，其最小正周期， 验证①，取，则， 所以，，此时①成立， 验证⑤，取，则， 此时，满足⑤， 验证③，取，则， ，满足③； 令，若②，则， 可得， 得到，与题意不符，故②不可能出现； 因为， 即为的一个周期，所以，所以④不可能出现. 【考点2：由周期性求函数的解析式】 1．（25-26高一下·北京·期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数__________. ①； ②恒成立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件①可推理得到函数为周期函数；对于②可得为函数的最小值点. 【详解】由条件①可得，，即函数为周期是的周期函数； 由条件②恒成立，可知只需使，即 为最小值点. 故可取. 故答案为：.(答案不唯一) 2．（第七章三角函数（压轴题专练）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝________． 【答案】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案. 【详解】当时，，则， 因为当时，，所以． 因为是周期为2的奇函数， 所以， 故答案为： 3．（25-26高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数满足：①，；②的值域为，则______．（写出满足要求的一个函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知的周期为2，值域为，从而可得函数的解析式 【详解】因为，， 所以的周期为2， 因为的值域为， 所以函数（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 4．（22-23高三·全国·中职高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为__________． 【答案】/ 【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式. 【详解】因为函数的周期为，当时，， 且，当时，则， 故当时，. 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式. 【答案】 【分析】根据函数的周期性求得正确答案. 【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. 【考点3：判断证明抽象函数的周期性】 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出目标值. 【详解】由，得，则4是函数的一个周期， 由，得. 故选：B 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知的定义域为，满足，则 （    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由上的函数满足，得， 即函数是以6为周期的周期函数，而， 所以. 故选：D 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 【答案】C 【分析】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得，利用可求得，再由，可得，进而即得. 【详解】由可得：， 由可得：， 所以，可得， 所以， 即是一个周期为的周期函数， 则， 又由可得：， 由可得：，即， 所以， 故选：C. 4．（大招44函数的双对称之周期问题及类周期函数）已知定义在上的奇函数满足，则______． 【答案】0 【分析】由为定义在上的奇函数结合，可得的一个周期为2，据此可得答案. 【详解】由题，因为为奇函数，所以， 所以，所以，即. 所以函数的一个周期为2， 由中，令可得． 所以, 故答案为：0 5．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知偶函数满足，则__________. 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质求出，再求出函数的周期即可求得函数值. 【详解】偶函数满足，当时，， 因此，即，函数是周期为6的周期函数， 所以. 故答案为：0 【考点4：由函数的周期性求函数值】 1．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数时，利用二项式定理或同余算出除以余数为，通过周期性转化为，代入解析式求得结果． 【详解】， 所以除以余数为，即存在，使得， 时，， 所以． 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则________. 【答案】 【分析】利用函数的周期性将自变量转化到已知区间附近，再结合奇函数的性质代入对应解析式计算. 【详解】由函数周期为，根据周期函数性质：对任意，有， 可得：， 由是定义在上的奇函数，根据奇函数性质：，可得：， 由于，代入已知区间的解析式，得：， 因此. 4．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 5．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知，．当时，，则______． 【答案】 【分析】根据周期性，将转化成在内的值，代入解析式进行计算． 【详解】因为，用替换，可得：，故周期为6， 因为， 故， 因为当时，，故； 故． 【考点5：判断或证明函数的对称性】 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若函数的对称中心是_______________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】设函数的对称中心为，则. 又 ， 所以， 则，解得. 所以函数的对称中心是. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若、，，则_________． 【答案】2 【分析】根据解析式得到，可得出，由此可得出结果. 【详解】，，则，， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为 ， 因为，则， 因此，. 3．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．是减函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．曲线存在斜率为的切线 【答案】AC 【分析】求导，并判断导数的符号得函数的单调性即可判断A；根据是单调函数得知其图象不是轴对称图形即可判断B；利用结论“若函数关于点对称，则”进行判断即可判断C；通过判断方程是否有解可以判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是R上的单调减函数，故A正确； 对于B，由A知是R上的单调函数，所以的图象不是轴对称图形，故B错误； 对于C，由 所以的图象关于点成中心对称图形，故C正确； 对于D，由A选项知，，令，则，当且仅当时等号成立. 所以，即，故D错误. 4．（25-26高二下·云南昆明·期末）定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．图象关于点对称 D．图象关于直线对称 【答案】B 【分析】证明到 是偶函数A错误，B正确；对于C，D，举反例验证错误.. 【详解】 图像关于点 中心对称， 所以对任意实数 ，有 ， ，则 ，， 由对称性质 ，而 ， 故： ，则 ， 由对称性质 ，而 ，故 综上，对任意 ，，因此 是偶函数，所以A错误，B正确； 取，则， 因为，此时 的图象不关于点对称，C 错误； 因为，此时 的图象不关于直线对称，D错误. 5．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 【考点6：由对称性求函数的解析式】 1．（第二部分提升小卷第五周提升小卷16）已知函数满足与的图象均关于点对称，，则的解析式可以是______（写出一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由与的图象均关于点对称，得的图象关于，对称，进而得是函数的一个周期，由此可得一个函数. 【详解】由的图象关于对称，即的图象关于对称，即为奇函数，所以① 又的图象关于对称，即， 即，即， 即的图象关于对称，即② 由①②得，即，所以是函数的一个周期. 由此可考虑三角函数，取， 易知点，均为曲线的对称中心，且，则满足， 故答案为：（答案不唯一）. 2．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则_____． 【答案】/ 【分析】先分析得到函数的最小正周期为4，再利用函数的周期性求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以，所以. 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以函数是周期为 4 的函数； 所以. 又因为，所以； 所以. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称.若，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】依题意反复利用已知的两种对称性可求出当时的解析式，代入计算可得结果. 【详解】由函数的图象关于点中心对称，可得对于，都有； 又因为函数的图象关于直线对称， 易知点关于直线对称的点坐标为， 所以函数的图象关于点中心对称，即对于，都有； 因此可得，也即； 由且关于直线对称， 可得当时，，即可得； 又因为，易知当时，，此时； 所以. 故答案为： 4．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 5．（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知函数的图象如图所示，另一个函数的图象与的图象关于轴对称. (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)求的解析式； (3)分别求、时的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用轴对称作出图象. （2）在所求函数图象上任取点，利用轴对称求出解析式. （3）结合（2）中信息，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）利用轴对称作出函数的图象，如图： （2）在函数的图象上任取点， 因为函数的图象与的图象关于轴对称， 点关于轴的对称点必在函数的图象上， 则， 所以的解析式为. （3）由，得，解得； 由及（2），得，解得， 所以当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 【考点7：由对称性研究单调性】 1．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 2．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性画出与的大致图象，由图找出与的函数值异号的区间即可. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示，    易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 故选：D. 5．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】A选项，根据为奇函数，得到关于中心对称，；B选项，根据为偶函数，得到关于轴对称，B正确；C选项，分析得到的一个周期为4，故，C错误；D选项，先得到在上单调递增，又关于轴对称，故函数在上单调递减. 【详解】A选项，为奇函数，故，故关于中心对称， 故，A正确； B选项，为偶函数，故，故关于轴对称，B正确； C选项，由A知，，故， 即， 又，故， 所以，故， 故的一个周期为4，故，C错误； D选项，在上单调递增，关于中心对称， 故在上单调递增， 又，故在上单调递增， 又关于轴对称，故函数在上单调递减，D正确. 故选：ABD 【考点8：由函数对称性求函数值或参数】 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知条件可得为偶函数，且周期为12，再结合周期和已知条件可求得结果. 【详解】的图象关于直线对称，， ，， ∵， ，则为偶函数． 由，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则， 的图象关于点对称，． ，，则， ，. 2．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 3．（25-26高二下·浙江湖州·期末）设函数，，若对任意的，，则______． 【答案】4 【详解】 ， 对任意的恒成立，所以 ，即， 所以. 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 则， 所以关于成中心对称， 所以 ， 令， 则， 两式相加可得：，所以. 5．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. (1)证明：. (2)证明：的图象关于直线对称. (3)若，求的值. 【答案】(1) 证明：因为为奇函数， 所以， 设，则， 则，即. (2) 证明：因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于直线对称. (3) 【分析】（1）由条件结合奇函数定义可得，令，换元可得结论； （2）由条件结合偶函数定义可得，结合对称性的定义可得结论； （3）由，可得，结合（1）求，再求，由此可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，① 所以，② ①+②得， 由（1）（2）知， 所以，所以， 所以， 所以. 一、单选题 1．（25-26高二下·江西上饶·期末）是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数且周期为， 所以， 当时，，则， 所以. 2．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 4．（2025高一上·全国·专题练习）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查函数性质的综合应用，按照相应性质的定义进行运算. 【详解】 ， 故答案为：C 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据条件可得，得到函数的周期，然后得到当时的表达式，最后判断即可. 【详解】由， 因此可以得到：，所以函数的周期为4， 当时，， 故当时， 当时，，所以， 显然当或时，函数的最大值为0. 故选：D 6．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 【答案】C 【分析】先根据解析式求得，首尾相加可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 8．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B．的一个周期为4 C．图象的一个对称中心为 D． 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性恒等式可证明函数的对称中心和周期，再通过赋值可求得特殊函数值，从而可判断各选项. 【详解】由是奇函数，可得， 令得，，故A正确； 用代入可得：， 由是偶函数，可得， 上面两式相减得：， 用代入可得：， 若4是函数的一个周期，则， 只有为常数函数时，4才是函数的一个周期， 但只要不是常数0函数 ，那么4一定不是函数的一个周期，故B错误； 再用代入可得：， 即可得，故的一个周期为， 再由与相结合可得：， 再用代入可得：， 从而可得函数图象的一个对称中心为，令可得，则， 再结合周期为，可知是图象的一个对称中心，故C正确； 由函数图象的一个对称中心为， 可知， 因为周期为，所以即 所以， 即根据，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 10．（25-26高一上·江苏·期末）我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用函数的对称性和单调性即可求解. 【详解】由， 所以有，则， 又由幂函数单调性可知在上单调递减，也在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由可得：， 解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数的图象如图所示，其周期为2，试回答下列问题：    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数，的解析式； (3)判断函数的图象是否具有对称性，如果有，写出函数的对称轴及对称中心. 【答案】(1)2； (2)； (3)具有对称性，函数的对称轴为，，对称中心为，. 【分析】（1）由函数的周期性得出结论； （2）从图象分析得到函数解析式； （3）从图象分析得到函数的对称轴和对称中心. 【详解】（1）因为函数的周期为2， 所以， 故函数的最小正周期为2. （2）由函数图象可得函数的解析式为. （3）具有对称性， 函数的对称轴为，， 对称中心为，. 12．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2) 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）略 （3）由（2）知，，，则 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 函数的周期性与对称性 【考点1：函数的周期性的定义与求解】 1 【考点2：由周期性求函数的解析式】 2 【考点3：判断证明抽象函数的周期性】 3 【考点4：由函数的周期性求函数值】 4 【考点5：判断或证明函数的对称性】 5 【考点6：由对称性求函数的解析式】 6 【考点7：由对称性研究单调性】 7 【考点8：由函数对称性求函数值或参数】 8 【考点1：函数的周期性的定义与求解】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）下列变化中，不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针的运行 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是（    ） A．5.5天 B．7天 C．14天 D．20天 3．（2026届高三基础夯实卷（四）【复盘卷】第一层基础夯实卷--高三四层晋级卷6月）现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 4．（2026·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 5．（25-26高一上·上海·期中）两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（   ） ①；②；③；④；⑤ A．②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【考点2：由周期性求函数的解析式】 1．（25-26高一下·北京·期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数__________. ①； ②恒成立. 2．（第七章三角函数（压轴题专练）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝________． 3．（25-26高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数满足：①，；②的值域为，则______．（写出满足要求的一个函数即可） 4．（22-23高三·全国·中职高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为__________． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式. 【考点3：判断证明抽象函数的周期性】 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知的定义域为，满足，则 （    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 4．（大招44函数的双对称之周期问题及类周期函数）已知定义在上的奇函数满足，则______． 5．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知偶函数满足，则__________. 【考点4：由函数的周期性求函数值】 1．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则________. 4．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 5．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知，．当时，，则______． 【考点5：判断或证明函数的对称性】 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若函数的对称中心是_______________． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若、，，则_________． 3．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．是减函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．曲线存在斜率为的切线 4．（25-26高二下·云南昆明·期末）定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．图象关于点对称 D．图象关于直线对称 5．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【考点6：由对称性求函数的解析式】 1．（第二部分提升小卷第五周提升小卷16）已知函数满足与的图象均关于点对称，，则的解析式可以是______（写出一个即可）. 2．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则_____． 3．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称.若，则的值为_____. 4．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 5．（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知函数的图象如图所示，另一个函数的图象与的图象关于轴对称. (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)求的解析式； (3)分别求、时的取值范围. 【考点7：由对称性研究单调性】 1．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 【考点8：由函数对称性求函数值或参数】 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 2．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 3．（25-26高二下·浙江湖州·期末）设函数，，若对任意的，，则______． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 5．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. (1)证明：. (2)证明：的图象关于直线对称. (3)若，求的值. 一、单选题 1．（25-26高二下·江西上饶·期末）是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．0 6．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 二、多选题 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B．的一个周期为4 C．图象的一个对称中心为 D． 三、填空题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 10．（25-26高一上·江苏·期末）我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 四、解答题 11．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数的图象如图所示，其周期为2，试回答下列问题：    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数，的解析式； (3)判断函数的图象是否具有对称性，如果有，写出函数的对称轴及对称中心. 12．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $