2.5二次函数与幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，涵盖幂函数定义、图像、性质及二次函数解析式、图像、单调性、最值、实根分布等内容，按知识点梳理与题型应用的逻辑架构展开，通过知识回顾、方法指导、真题典例训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破重点难点。 讲义以题型分类为特色，如二次函数解析式的三种形式选择技巧、幂函数单调性比较大小策略等，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置必做典例分层练习，配合方法技巧点拨，助力学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.5　二次函数与幂函数 目录 知识点一、幂函数 2 知识点二、二次函数 3 题型一：幂函数的定义及其图像 6 题型二：幂函数性质的综合应用 7 题型三：由幂函数的单调性比较大小 7 题型四：二次函数的解析式 8 题型五：二次函数的图象、单调性与最值 9 题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 10 题型七：二次方程实根的分布及条件 11 题型八：二次函数最大值的最小值问题 12 01 知识回顾 知识点一、幂函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 3.几种幂函数的图象： 4.幂函数的性质： （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点：. （2）幂函数的单调性 当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减； （3）幂函数的奇偶性 （4）幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 知识点二、二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 3、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 02 必做典例 题型一：幂函数的定义及其图像 【方法技巧】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 1. (2026·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)等于(　　) A. B.2 C.16 D.±2 2. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 3. 若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 4. 给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：幂函数性质的综合应用 5. 已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 6. (2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于(　　) A. B. C. D. 7. 已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减.求m和k的值； 8. 满足的实数m的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 9. 已知函数，则关于的表达式的解集为 . 题型三：由幂函数的单调性比较大小 10. 设，则大小关系是 . 11. (2026·沧州模拟)已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 12. 已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：二次函数的解析式 【方法技巧】 求二次函数解析式的三个技巧 (1)已知三个点的坐标，选择一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式． 13. 已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ． 题型五：二次函数的图象、单调性与最值 14. (多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 15. （2025·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 16. （2025·高三·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 17. 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 18. (2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式. 题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【方法技巧】 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果得到最终答案. 19. 已知函数在上的最大值为4，求的值． 20. 已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 题型七：二次方程实根的分布及条件 21. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 题型八：二次函数最大值的最小值问题 【方法技巧】 解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制. 22. 已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 23. （2025·高三·江苏南通·开学考试）记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　二次函数与幂函数 目录 知识点一、幂函数 2 知识点二、二次函数 3 题型一：幂函数的定义及其图像 6 题型二：幂函数性质的综合应用 7 题型三：由幂函数的单调性比较大小 10 题型四：二次函数的解析式 11 题型五：二次函数的图象、单调性与最值 12 题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 15 题型七：二次方程实根的分布及条件 16 题型八：二次函数最大值的最小值问题 17 01 知识回顾 知识点一、幂函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 3.几种幂函数的图象： 4.幂函数的性质： （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点：. （2）幂函数的单调性 当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减； （3）幂函数的奇偶性 （4）幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 知识点二、二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 3、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 02 必做典例 题型一：幂函数的定义及其图像 【方法技巧】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 1. (2026·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)等于(　　) A. B.2 C.16 D.±2 【答案】　B 【解析】　由题意设f(x)=xα(α为常数)， ∵f(x)的图象经过点(2，)， ∴2α=，解得α=， ∴f(x)=，∴f(4)==2. 2. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 【答案】　B 【解析】　根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y=xn增长速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-，C4的n=-2. 3. 若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 【答案】　B 【解析】　由题图看出，f(x)为偶函数，定义域为R， A选项，f(x)==，定义域为[0，+∞)，不符合题意； B选项，f(x)==，定义域为R，且满足f(-x)===f(x)， 故f(x)=为偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，f(x)==的定义域为{x|x≠0}，C错误； D选项，f(x)==()x=，不是偶函数，且在R上为减函数，D错误. 4. 给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足. 故选：A 题型二：幂函数性质的综合应用 5. 已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得， 将点代入函数得，解得， 所以，故①错误； 对于②：因为定义域为R，且， 所以为奇函数，故②正确； 对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确； 对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误， 综上可知，②③正确，①④错误. 故选：B. 6. (2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　由函数f(x)=(m2-m-5)xm是幂函数，得m2-m-5=1，解得m=-2或m=3， 当m=3时，f(x)=x3是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当m=-2时，f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，因此m=-2，f(x)=x-2， 所以f(2m+2)=f(-2)=(-2)-2=. 7. 已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减.求m和k的值； 【答案】m=1，k=1. 【解析】　由函数f(x)=(2k-1)为幂函数，则2k-1=1，解得k=1. 由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，得m2-2m-3<0，解得-1<m<3， 而m∈N*，故m=1或m=2， 当m=1时，f(x)=x-4，定义域为{x|x≠0}， 且f(x)为偶函数，符合题意； 当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意， 故m=1，k=1. 8. 满足的实数m的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 9. 已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 题型三：由幂函数的单调性比较大小 10. 设，则大小关系是 . 【答案】 【解析】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 11. (2026·沧州模拟)已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 【答案】　A 【解析】　由题意可得=2α，所以α=-2， 所以f(x)=x-2，易知当x>0时，f(x)=x-2单调递减， 又1<log23<2，0<log32<1，>2， 所以f(log32)>f(log23)>f()， 即b>a>c. 12. 已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数，因为的图象经过点，则， 解得，所以.因为函数在定义域内单调递增， 则当时，，所以，且， 故选项错误； 又因为函数单调递增， 则当时，，且， 故选项D正确，选项错误. 故选：D. 题型四：二次函数的解析式 【方法技巧】 求二次函数解析式的三个技巧 (1)已知三个点的坐标，选择一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式． 13. 已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ． 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解析】法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f（2）＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝. 因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4， 所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7. 法三　(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即.解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7. 题型五：二次函数的图象、单调性与最值 14. (多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 【答案】　BCD 【解析】　∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-=-1，∴b=2a<0，∴abc>0，故A错误； 由题图知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，于是有a+b+c=0，故B正确； 将b=2a代入a+b+c=0，可得3a+c=0，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)， ∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0， ∴4a+c>2b，故D正确. 15. （2025·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. （2025·高三·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 17. 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 18. (2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式. 解　(1)由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上，对称轴方程为x=， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下，对称轴方程为x=<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是(-∞，0)∪. (2)①当0<≤1，即a≥时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)=f(1)=3a-2. ②当1<<2，即<a<时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时g(a)=f=2a--1. ③当≥2，即0<a≤时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)=f(2)=6a-3. 综上所述，g(a)= 题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【方法技巧】 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果得到最终答案. 19. 已知函数在上的最大值为4，求的值． 【解析】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 所以或. 20. 已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【解析】（1）当时，不等式， 即为， 即，所以， 所以或， 所以原不等式的解集为． （2）， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则， 综上，或． 题型七：二次方程实根的分布及条件 21. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【解析】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5） 若方程的两个根都在内，则， 解得 题型八：二次函数最大值的最小值问题 【方法技巧】 解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制. 22. 已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 【答案】2 【解析】， 上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值， 作出函数图象，如图， 由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2. 故答案为：2 23. （2025·高三·江苏南通·开学考试）记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下： ①当时，函数在区间上单调递增， 即，此时单调递减，； ②当时，， 所以， 易知当时，， 当，， 此时； ③当时，， 即， 易知当时，， 当，， 此时； 而，综上可知的最小值为. 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $