2.5 幂函数与二次函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦幂函数与二次函数高考核心考点，覆盖幂函数定义、图象及性质，二次函数解析式、图象与性质等课标要求，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识，通过课标解读、基础梳理（思考辨析）、考点精讲（例1-例4）、跟踪训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破图象分析、单调性与最值等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于结合教材改编题（如人A、人B必修一练习改编），采用“考点分类+方法归纳”策略，如二次函数解析式三种形式选择、最值问题分类讨论，培养学生数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）。设置分层练习（基础辨析、能力提升），配合即时反馈，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2．5　幂函数与二次函数 [课标解读] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．　2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) y＝ax2＋ bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 对称轴 x＝－ 顶点坐标 (－) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－]上单调递减； 在[－，＋∞)上单调递增 在(－∞，－]上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 常用结论 幂函数的性质 (1)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　) (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　) (3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(人A必修一P91练习T1改编)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) 解析：C　设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝，所以y＝ ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确．故选C. 3．(人A必修一P91练习T2(1)改编)比较大小：________(－1.4)3. 解析：由于函数y＝x3在R上单调递增，且－1.5<－1.4，故(－1.5)3<(－1.4)3. 答案：< 4．(人B必修一P139T8改编)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________. 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 答案：f(x)＝x2－4x 考点一　幂函数的图象和性质 例1　(1)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且＜1 B．m是偶数，n是奇数，且＜1 C．m是偶数，n是奇数，且＞1 D．m，n是奇数，且＞1 解析：B　由幂函数性质可知，y＝与y＝x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)，当0＜x＜1时＞x，则＜1；又y＝的图象关于y轴对称，所以y＝为偶函数，所以m为偶数，又m，n互质，所以n为奇数．故选B. (2)下列比较大小中正确的是(　　) A．0.7<0.7 B．-1<-1 解析：C　对于A，由函数y＝x0.7在(0，＋∞)上单调递增，所以0.7>0.7，故A错误；对于B，由函数y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，则-1>-1，故B错误；对于，又函数y＝在R上单调递增，所以，即，故C正确；对于，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，则，即，故D错误．故选C. 1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 3．当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 跟踪训练1　(1)(2026·四川成都期中)幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，则m＝(　　) A．2或－1　　　　　 B．－1 C．2 D．－2或－1 解析：B　由题意可知解得m＝－1.故选B. (2)(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点( ，)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域是(0，＋∞) C．f(x)为奇函数 D．f(x)为定义域上的减函数 解析：AB　设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为幂函数f(x)的图象经过点 ，)，则α＝＝5-1＝-2，可得α＝－2，即f(x)＝x-2＝，显然f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；f(x)的值域是(0，＋∞)，故B正确；对于C、D，因为f(1)＝f(－1)＝1，所以f(x)不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故C、D错误．故选AB. 考点二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解：法一(一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝，所以m＝. 因为函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 二次函数解析式三种形式的选择策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 跟踪训练2　已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝2x2－2，则函数f(x)的解析式为________. 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x＋2)＋f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋ax2＋bx＋c＝2ax2＋(4a＋2b)x＋4a＋2b＋2c＝2x2－2，所以解得所以f(x)＝x2－2x－1. 答案：f(x)＝x2－2x－1 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 例3　(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＋c>0 B．ac>0 C．a－b＋c＝0 D．b2－4ac>0 解析：ACD　对于B，图象开口向下，a<0，图象与y轴交点在x轴上方，故c>0，所以ac<0，B错误；对于D，二次函数图象与x轴交于(－1，0)和(2，0)两点，故Δ＝b2－4ac>0，D正确；对于C，将(－1，0)代入解析式得a－b＋c＝0，C正确；对于A，由图可知，当x＝1时，y>0，即a＋b＋c>0，A正确．故选ACD. 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 角度2　二次函数的单调性与最值 例4　已知二次函数g(x)＝x2－2mx－1，x∈[－1，2]，求g(x)的最小值． 解：g(x)＝x2－2mx－1＝(x－m)2－m2－1，x∈[－1，2].当m≤－1时，g(x)在[－1，2]上单调递增，g(x)min＝g(－1)＝2m；当－1<m<2时，g(x)在[－1，m]上单调递减，(m，2]上单调递增，g(x)min＝g(m)＝－m2－1；当m≥2时，g(x)在[－1，2]上单调递减，g(x)min＝g(2)＝3－4m. 综上，g(x)min＝ 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解． 跟踪训练3　(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：A　由题意，函数y＝ax2＋bx＋c，因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1，0)．又由a>b>c，可得a>0，c<0，所以抛物线的开口向上，可排除B、D，令x＝0，可得y＝c<0，可排除C项．故选A． (2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，4] B．[0，4] C．[0，2] D．[1，4] 解析：A　f(x)＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2，且f(0)＝f(4)＝5，f(2)＝9，因为函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，所以由图可知，2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4].故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $