2.5 幂函数与二次函数(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心考点，通过定义辨析、性质应用及综合问题，系统训练概念理解与解题推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|4题（1-2,5,7）|定义判断、解析式求法、性质应用|从幂函数定义（系数为1）出发，推导单调性、定义域、奇偶性，形成概念-性质-应用逻辑链| |二次函数基础|5题（3-4,6,8-9）|最值求解、图象变换、对称性分析|以顶点式为核心，关联对称轴、单调性、截距，构建“解析式-图象-性质”认知体系| |综合应用|5题（10-14）|含参问题、实际应用、绝对值综合|融合幂函数与二次函数性质，通过分类讨论、模型构建，提升数学思维的推理与运算能力|

限时规范训练14　幂函数与二次函数 (建议用时：60分钟　分值：100分) 1．(2025·湖南浏阳一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm+2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．－3 C．－4 D．1或－3 解析：A　由题意可得⇒⇒m＝1.故选A． 2．已知幂函数f(x)的图象经过点，则函数f(x)的图象大致为(　　) 解析：B　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，因其图象经过点，则2α＝，解得α＝－2.故选B. 3．已知a＝，c＝1，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<a<c 解析：B　由于c＝1＝在(0，＋∞)上单调递增，又<1<3，则，则a<c<b.故选B. 4．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，2)，且截x轴所得线段的长度是4，将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝g(x)的图象，则抛物线y＝g(x)的图象与y轴的交点坐标为(　　) A．(0，－8) B．(0，－6) C．(0，－2) D．(0，0) 解析：B　因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2，2)，故f(x)的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4，所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，设f(x)＝a(x－2)2＋2(a≠0)，将点(0，0)代入得a(－2)2＋2＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，因为g(x)的图象为f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以g(x)＝f(x－2)＝－(x－2－2)2＋2＝2，令x＝0，则g(0)＝－×(0－4)2＋2＝－6，所以g(x)的图象与y轴的交点坐标为(0，－6)．故选B. 5．(多选)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的是(　　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 解析：ACD　幂函数f(x)＝xm，所以m＋＝1，所以m＝－，所以f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B错误；因为f(－32)＝，故A正确；f(x)＝，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故C正确；因为f(x)＝，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是偶函数，所以不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，所以解得－1≤x<1或1<x≤3，故D正确．故选ACD. 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．图象的顶点是(－2，－2) D．图象过点(3，0) 解析：ABD　易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段的长度为2，A、D正确；将x＝0代入二次函数的解析式，得y＝3a，故B可能正确；图象顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD. 7．(5分)(2025·上海徐汇二模)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则该幂函数的值域是__________. 解析：设幂函数f(x)＝xα，α∈R，代入点可得3α＝，即α＝－，可得f(x)＝>0，所以该幂函数的值域是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 8．(5分)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，3]，若f(x)的最小值为2，则a＝________. 解析：根据题意，函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，根据二次函数的性质可知函数在[0，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，则f(x)的最小值为f(0)＝a＝2. 答案：2 9．(5分)若函数f(x)＝x2－2x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a－b的值为________. 解析：因为f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，对称轴为x＝1，开口向上，所以函数在[1，b](b>1)上单调递增，又因为定义域和值域均为[1，b](b>1)，所以即解得(舍去)或所以a－b＝0. 答案：0 10．(13分)已知函数f(x)＝(3m2－8m－2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (1)求f(x)的解析式； (2)若f(a＋4)＋f(－a2＋a－1)<0，求实数a的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝(3m2－8m－2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则解得m＝3，故f(x)＝x3. (2)因为函数f(x)＝x3为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式f(a＋4)＋f(－a2＋a－1)<0可化为f(a＋4)<f(a2－a＋1)， 所以a＋4<a2－a＋1，即a2－2a－3>0， 解得a<－1或a>3， 故实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 11．(15分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其两实数根分别为0，4，且当－1≤x≤4时，最大值为10. (1)求函数的解析式； (2)设a>0，当t≤x≤t＋1时，求函数的最小值． 解：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两实数根分别为0，4，所以0＋4＝－＝0， 所以c＝0，b＝－4a，所以二次函数为y＝ax2－4ax，对称轴为x＝－＝2， ①a>0，当x＝－1时，最大值为10＝a＋4a＝5a，所以a＝2，所以当a>0时函数解析式为y＝2x2－8x， ②a<0，当x＝2时，最大值为10＝4a－8a＝－4a，所以a＝－，所以当a<0时函数解析式为y＝－x2＋10x. (2)当a>0时函数解析式为y＝2x2－8x，开口向上，对称轴为x＝2， 当t≤1时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递减，当x＝t＋1时，ymin＝2t2－4t－6， 当1<t≤2时，x∈[t，2]时，函数单调递减，x∈(2，t＋1]时，函数单调递增，当x＝2时，ymin＝－8， 当t>2时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递增，当x＝t时，ymin＝2t2－8t. 12．已知函数f(x)＝|x2－2x－3|在[－1，m]上的最大值为f(m)，则m的取值范围是(　　) A．(－1，1] B． C． D． 解析：D　由已知f(x)＝|x2－2x－3|＝ 则函数f(x)在(－∞，－1)和(1，3)上单调递减，在(－1，1)和(3，＋∞)上单调递增，所以当－1<m≤1时，f(x)在[－1，m]上单调递增，即函数f(x)的最大值为f(m)，成立；当1<m≤3时，f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，m)上单调递减，即函数f(x)的最大值为f(1)>f(m)，此时不成立；当m>3时，f(x)在(－1，1)和(3，m)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以若此时f(x)的最大值为f(m)，则f(m)≥f(1)，即解得m≥1＋2 ，综上所述m∈.故选D. 13．(2025·陕西汉中三模)在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的路线是(　　) A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 解析：C　由题意得，篮球上升阶段越短， 即对称轴越靠近y轴，被“盖帽”的可能性越小，设抛物线方程为y＝ax2＋bx＋c(a<0)，当经过P(0，2)，A(1，3)，Q(4，3)时，列方程组解得二次函数解析式为y＝－x＋2，对称轴为直线x＝，同理可得经过P，B，Q时，对称轴为直线x＝3，经过P，C，Q时，对称轴为直线x＝，经过P，D，Q时，对称轴为直线x＝，可知经过P，C，Q时篮球处于上升阶段的水平距离最短．故选C. 14．(15分)已知二次函数f(x)＝3x2＋bx＋c在x＝2时有最小值2. (1)求b，c的值； (2)已知1<m<n，且当x∈[m，n]时，f(x)的取值范围是，求m，n的值． 解：(1)由题意得f(x)＝3(x－2)2＋2， 展开可得f(x)＝3x2－12x＋14，故b＝－12，c＝14. (2)因为f(x)的最小值为2，所以≥2，即n≤2，所以1<m<n≤2， 又因为二次函数的对称轴为x＝2，故当x∈[m，n]时，f(x)单调递减， 故f(m)＝，f(n)＝， 即m，n为方程3x2－12x＋14＝的两正根，且1<m<n≤2； 解一元三次方程：3x3－12x2＋14x－4＝0， 易知x＝2是该方程的一根， 故因式分解得(x－2)(3x2－6x＋2)＝0， 利用求根公式对方程3x2－6x＋2＝0求解， 解得x＝＝1±，因为1<m<n≤2， 故m＝1＋，n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $