第17天 变化率、握手问题与一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

预学·新知储备 第17天变化率、 握手问题与一元二次方程 新知导学 知识点1 练1某养殖户每年的养殖成本包括固定成本 用一元二次方程解变化率问题 和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可 若设每次的平均增长（或降低）率为x,增 变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变 长（或降低）前的数量为a,则第一次增长（或降 成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的 低)后的数量为a(1士x),第二次增长（或降 百分率为x. 低)后的数量为a(1±x)2. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本： 例1“我运动，我健康，我快乐”的运动理念已 万元： 深入人心，某市参加健身运动的人数逐年增多， (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万 从2023年底的32万人增加到2025年底的 元，求可变成本平均每年增长的百分率 50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)若该市参加健身运动人数的年增长率不 变，预计2026年底有多少人参加健身运动. 解：(1)设年均增长率为x.根据题意，得32(1十 x)2=50,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25 (不合题意，舍去).答：该市参加健身运动人数 练2某超市购进甲、乙两种商品，2023年甲、乙 的年均增长率为25%. 两种商品每件的进价均为125元，随着生产成 (2)50×(1+25%)=62.5(万人).答：预计 本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降 2026年底有62.5万人参加健身运动. 25元，乙种商品2025年每件的进价为80元. 例2某种商品的原价是125元，经过两次降价， (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 价格下降了36%. (2)2025年该超市用不超过7800元的资金一 (1)求价格降到了多少元. 次性购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进 (2)如果每次价格下降的百分率相同，那么每次 多少件甲种商品. 价格下降的百分率是18%吗？如果是，请说明理 由；如果不是，请求出每次价格下降的百分率 解：(1)125×(1一36%)=125×64%=80（元）. 答：价格降到了80元. (2)每次价格下降的百分率不是18%.设每次 价格下降的百分率是x.依题意，得125(1 x)2=80,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题 意，舍去).答：每次价格下降的百分率是20% 45 窖期升级训练 数学（人教版）八年级 知识点2 解：设共有x人参加会议.依题意，得 用一元二次方程解握手问题 x(x-1) 几人互相握手，每两人握一次手，则握手的 2 =55,解得x1=11,x2=一10（不合题 总次数为 n(n-1) 意，舍去).答：共有11人参加会议 2 练3一个小组共x人合影照相，每两人一个镜 例3今年元旦，某校团小组中若干人互送贺卡 头，每人均拿到一张照片，摄影师共冲印了 一张，共送贺卡72张，求该团小组共有几人 90张照片，根据题意可列方程为 () 解：设该团小组共有x人，则每人应送给别人 A. x(x-1D=90 B.x(x-1)=90 (x一1)张贺卡.根据题意，得x(x一1)=72，解 2 得x1=一8（不合题意，舍去），x2=9.答：该团 C.x2=90 D.2x=90 小组共有9人 练4九年级举行足球赛，先把所有班通过抽签 例4为减轻交通拥堵带来的城市发展问题，某 平均分成A,B两组，再在每一组中进行单循环的 市组织召开了由若干人员参与的专题会议，到 小组赛（每两个班之间比赛一场），最后由A,B两 场时这些与会人员都要握手一次，共握手55 组的第一名进行决赛得出冠军.若A组共进行了 次，则共有多少人参加会议？ 21场小组赛，则九年级共有 个班 预学过关 1.某厂家2025年1月到5月的鞋子产量统计 4.随着我国数字化阅读的接触率持续增长，数 如图所示.设从1月到3月，该厂家鞋子产量的 字阅读凭借独有的便利性成为更快获得优 月均增长率为x,根据题意可列方程为() 质内容的重要方式.某市2023年和2025年 产量/万只 的数字阅读市场规模分别为400万元、 500 461 400 368 442 576万元. 300 200 137 (1)求2023年到2025年该市数字阅读市场 100 180 04 规模的年平均增长率； 1月2月3月4月5月时间 (第1题) (2)若年平均增长率不变，预计2026年该市 A.137(1-x)2=368B.137(1-x)2=461 数字阅读市场规模能否达到700万元 C.137(1+x)2=368D.137(1+x)2=461 2.新年期间，某微信群群内的每人都发了1个 红包，且保证群内其他人都能抢到，同时自 己不能抢自己发的红包.若群内所有人在该 微信群共收到90个红包，则该群一共有 ( A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 3.若一个多边形的对角线条数为9，则这个多 边形的边数为 46 预学·新知储备 5.某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片.2023年 6.1 某球赛共有若干支球队参赛.第一阶段为小 底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯 组赛，第二阶段为淘汰赛.在小组赛阶段，所 片每颗的售价为1800元.随着技术的迭代 有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球 更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到 队的数量相同)，分别进行单循环赛（两支球 2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元， 队之间只踢一场).根据规则，小组前2名的 乙种芯片每颗的售价为1300元， 球队顺利出线，进入淘汰赛.已知本次小组 (1)求2023年底至2025年底这两年间，每 赛阶段共有48场比赛，则共有多少支队伍 颗甲种芯片售价的年均下降率； 参加比赛？ (2)2025年底，某企业计划用不超过14.28亿 元的资金从该芯片公司购进甲、乙两种芯片 共100万颗，问：最多购进多少万颗甲种 芯片？ 47【预学过关】 1.D解析：由题意，得第一轮转发后，共有(1十x)人看 到这则短视烦；第二轮有x人转发，收到的有x2人..共 有(1+x十x2)人看到这则短视频.∴.1+x十x2=133. 2.A解析：根据题意，得该无盖纸盒的底面是长为(50 2x)cm、宽为(30-2x)cm的矩形，.(50-2x)(30 2x)=800. 3.(1十x)2=64解析：：每轮传播中平均一台电脑会 感染x台电脑，∴.1+x十x(1十x)=64,即(1十x)2=64. 4.448解析：设每轮传染中平均一人传染x人.根据题 意，得1十x十x(1+x)=64,整理，得(x+1)2=64,解得 x,=7,x2=一9（不合题意，舍去）.·第三轮将又有64X 7=448(人)被传染. 5.11解析：设每轮传染中平均一人传染x人.根据题 意，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=一13（不合题意， 舍去).∴.每轮传染中平均一人传染11人. 6.0.75解析：设小路的宽度为xm,则9个矩形地块可 合成长为(15一4x)m、宽为(12一4x)m的矩形.根据题 意，得(15-4x)(12-4x)=12×9,整理，得4x2-27x十 18=0,解得x1=0.75,x2=6(不合题意，舍去).∴。小路 的宽度为0.75m. 78或智 解析：由题意，得BP=3tcm如图①，当 △ABP是以AB为底边的等腰三角形时，AP=BP= 3tcm.:∠ACB-=90°，BC=12cm,∴.∠ACP=90, CP=(3t-12)cm..'AC=16 cm,.'AP2=AC2+CP2, 即(3)P=16+3:-12,解得：如图@，当△ABP 是以AP为底边的等腰三角形时，AB=BP=3tcm ∠ACB=90°，.AB2=BC2+AC2,即(3t)2=122+ 1心，解得，号4，=一9（不合题意舍去.综上所述， :的值是碧或号 ② (第7题) 8.(1)设每轮分裂中平均每个细胞可分裂出x个细 胞.由题意，得60x2=240,解得x1=2,x2=一2（不合题 意，舍去).答：每轮分裂中平均每个细胞可分裂出2个细 胞(2)240×2=480（个）.答：经过三轮分裂后共有 480个细胞 9.(1)设平均每人一天传染了x人.依题意，得1十x十 (1+x)x=225,解得x1=-16(不合题意，舍去)，x2= 14..∴.平均每人一天传染了14人(2)225+225×(14一 5)+[225+225×(14-5]×(14-5-5)=225+2025+ 2250×4=11250(人).∴.再过两天共有11250人患有 此病 10设主根能长出x个支根，根据题意，得1十x十了x· x十号·音=108，整理，得2x2十3-324=0，解得 =12,=一号（不台题意，合去，答：这种信物的主根 能长出12个支根 11.形如x2+a.x=b2(a>0,b>0)的一元二次方程为 x2+ax=64,∴b=8.·构造以？和8为直角边长的直 角三角形.：BD=2AD,∴.BD=2AD=a.∴.AB= 8+a-.由勾股定理，得AC十BC=AB,即 (号）+82=(g),整理，得2a2=64,解得a,=42, a2=-42(不合题意，舍去).·AC=号=2厄. 5c=号X8X22=8万 第17天变化率、握手问题与一元二次方程 【新知导学】 1.(1)2.6(1+x)2(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2= 7.146,即(1+x)2=1.21,解得x1=0.1=10%,x2= 一2.1（不合题意，舍去）.∴.可变成本平均每年增长的百 分率为10% 2.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题 意，得125(1一x)2=80,解得x1=0.2=20%,x2=1.8 (不合题意，舍去.答：乙种商品每件进价的年平均下降率 为20%(2)设购进y件甲种商品，则购进(100一y)件 乙种商品.根据题意，得(125-25×2)y+80(100一y)≤ 7800,解得y≥40.答：最少购进40件甲种商品 3.B解析：依题意，得每人均与另外的(x一1)人合影， 二合影的总镜头个数为2.又：合影的2人每人 均拿到一张照片2×(，1=90，即x(x-1)=90. 2 414解析：设A组共有x个班.依题意，得2x(x 1)=21,解得x1=7,x2=一6（不合题意，舍去）.∴.九年 级共有7×2=14（个）班 【预学过关】 1.C解析：该厂家1月和3月的鞋于产量分别为137万 只、368万只.根据题意，得137(1+x)2=368. 2.B解析：设该群一共有n人.根据题意，得n(n一1)= 90,解得n1=一9（不合题意，舍去），n2=10.∴.该群一共 有10人. 3.6解析：设多边形的边数为x.根据题意，得 x3》=9,整理，得x2-3x-18=0,解得x1=-3(不 2 合题意，舍去)，x2=6.∴.这个多边形的边数为6. 4.(1)设2023年到2025年该市数宇阅读市场规模的年 平均增长率为.根据题意，得400(1十x)2=576,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去)..2023年 到2025年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为 20%(2)576×(1+20%)=691.2(万元).691.2< 700,∴.预计2026年该市数字阅读市场规模不能达到 700万元 5.(1)设每颗甲种芯片售价的年均下降率为x.根据题 意，得2000(1一x)2=1620,解得x1=0.1=10%,x2= 1.9(不合题意，舍去).答：2023年底至2025年底这两年 间，每颗甲种芯片售价的年均下降率为10%(2)设购进 m万颗甲种芯片，则购进(100一m)万颗乙种芯片.根据题 意，得1620m+1300(100-m)≤1428X10 10000 ,解得m≤ 40.答：最多购进40万颗甲种芯片 6.设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组 有日x支队伍.根据题意，得8×2×日x(日x-) 48,整理，得x2一8.x一768=0，解得x1=32,x2=一24（不 合题意，舍去).∴.共有32支队伍参加比赛 第18天销售、数字问题与一元二次方程 【新知导学】 1.设每件衬衫应降价x元.由题意，得(40一x)(20+ 2x)=1250,整理，得x2-30x+225=0,解得x1=x2= 15.∴.每件衬衫应降价15元 2.设这个两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为 x十3.根据题意，得10x十x十3=(x十3)2，整理，得x2 5x十6=0，解得x1=2,x2=3.当x=2时，x+3=5;当 x=3时，x十3=6.∴.这个两位数为25或36 【预学过关】 1.C解析：由题意，得每副春联的利润为(x一12)元，降 价后平均每天可告出+设×4到别春联，· 12(8+20号×4=14 2.A解析：设该球队的胜场数的十位上的数字为x,则 个位上的数字为5-x.由题意，得10x+5一x=(5- x)2-2,整理，得x2一19x十18=0，解得x1=1,x2= 18(不合题意，舍去)..5一x=4..该球队的胜场数 为14. 3.B解析：根据题意，得利润为每个(x一50)元，售价从 80元提高到r元，是高了一90元，销量减少了2 80)个，÷当前销量为[200-罗(x-80)】个 200-2x-0j]k-0)=6150, 4.A解析：周瑜逝世时年龄的个位上的数宇为x,则 十位上的数字为x一3.根据题意，得10(x一3)十x=x. 5.(4十x)(160一10x)=840解析：涨价后，每瓶奶茶盈 利(4十x)元，销售量为(160一10x)瓶，.(4十x)(160一 10x)=840. 6.55解析：设每件的售价应定为x元.根据题意，得 (x一50)[10+2(70一x)]=(70一50)×10，整理，得x2- 125x+3850=0,解得x,=55,x2=70.:商家想尽快销 售完该款商品，∴.x=55.∴.若日利润保持不变，商家想 尽快销售完该款商品，则每件的售价应定为55元： 7.63解析：设这个两位数个位上的数字为x,则十位上 的数字为2x.根据题意，得(2x)2十9x=20x十x,整理，得 4x2-12x=0,解得x1=3,x2=0(不合题意，舍去). .2x=6..这个两位数是63. 8.(1)(10+x)(160一10x)解析：每个足球纪念品的 售价上涨x元后，每个足球纪念品的利润为(30十x一 20)元，即(10十x)元，每周销售量为(160-号×20)个，即 (160-10x)个 (2)由题意，得(10+x)(160-10x)=1680,整理，得x2 6x十8=0，解得x1=2,x2=4.当x=2,30十x=3233, 符合题意；当x=4,30十x=34>33,不符合题意，舍 去.答：每个足球纪念品的售价为32元 9.(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)2=216,解得x1=0.2=20%,x2= 一2.2（不合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月平均 增长率为20%(2)设每个该品牌头盔的售价降低a元， 则此时售价为(90一a)元.根据题意，得(90一a-50)· (200+号×20)-8750，整理，得a2-20a+75=0,解得 a1=15,a2=5.:需要尽快减少库存，∴.a=15.∴.90一 a=75.答：该品牌头盔的售价应定为每个75元 10.(1)72259025解析：根据规律，得852=8×9× 100+25=7225,952=9×10×100+25=9025. (2)由题意，得等式最左边=(10a十5)2=100a2+100a+ 25=a(a+1)×100+25=等式最右边(3)个位上的数 字是5的三位数的平方能等于38025理由：设这个三位 数的个位上的数字是5，百位上的数字和十位上的数字组 成的两位数为x.由题意，得x(x+1)×100+25=38025, 整理，得x2十x一380=0，解得x1=19,x2=一20（不合题 意，舍去).∴.个位上的数字为5的三位数的平方能等于 38025,这个三位数为195. 第19天第二十五章综合检测 一、1.A解析：，'关于x的方程(a2+1)x2一ax+7= 0是一元二次方程，∴.a2+1≠0.a2+1不可能为0， ∴.a为任意实数 2.B解析：·2x2一3x=0,∴.此方程的二次项系数、一 5