第13天 用公式法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

毫期升级训练 数学（人教版）八年级 第13天 用公式法解一元二次方程 新知导学 (5)若该方程有两个实数根，求m的取值范围， 知识点1 元二次方程根的判别式 解：(1).△=22-4(m-2)×1=12-4m.方 程有两个相等的实数根，∴.12一4m=0,解得 1.概念：在一元二次方程a.x2+bx m=3. 式子b2一4ac可以判别一元二次方程的根的情 (2).:方程有两个不相等的实数根，∴.12 况，因此把它叫作一元二次方程ax2十bx十c= 4m>0且m-2≠0，解得m<3且m≠2. 0的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即 (3).方程无实数根，∴.12-4m<0,解得m>3. △=b2-4ac (4)当m一2=0，即m=2时，原方程为2x十 2.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△>0 1=0,这个一元一次方程有实数根.当m一2≠ 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方 0,即m≠2时，原方程为一元二次方程.，方程 程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实 有实数根，∴.12-4m≥0.∴.m≤3且m≠2.综 数根 上所述，m≤3. 例1不解方程，直接用根的判别式判别下列方 12-4m≥0， (5).·原方程有两个实数根，. 程的根的情况. m-2≠0， (1)x2+x-3=0; (2)2x2+3x+2=0; 解得m≤3且m≠2. (8-= （405x2+x+ 20 =0. 易错分析 本题有两处陷阱，第一处：第(2)小题与第 解：(1).△=12-4×1×(-3)=13>0，∴.原 (5)小题中“方程有两个实数根”隐含了条件“一元 方程有两个不相等的实数根， 二次方程”，故除了考虑根的判别式之外，还应关注 (2).△=32-4X2×2=一7<0，∴.原方程无 二次项系数不能为0.第二处：第(4)小题中只给出 “有实数根”的条件，故必须分类讨论，即考虑二次 实数根 项系数为0与二次项系数不为0两种情形. (3)原方程可化为4x2一4x十1=0..△= (一4)2一4×4×1=0，∴.原方程有两个相等的 练1方程x2十x+2=0的根的情况是 实数根 (4)原方程可化为100x2+20x+1=0..'△= 练2已知关于x的方程(k一1)x2一(k一1)· 202一4×100×1=0，'.原方程有两个相等的实 数根， x十4 =0有两个相等的实数根，求k的值】 例2已知关于x的方程(m-2)x2+2x十1=0. (1)若该方程有两个相等的实数根，求m的值； (2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的 取值范围； (3)若该方程无实数根，求m的取值范围： (4)若该方程有实数根，求m的取值范围； 34 预学·新知储备 知识点2 利用根的判别式证明 知识点3 用公式法解一元二次方程 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△>0 时，方程有两个不相等的实数根；当△≥0时，方 1.当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 程有两个根；当△<0时，方程无实数根， 实数根可写为工-一b士4ac的形式，这个 2a 例3已知关于x的方程kx2一(3k-1)x+ 式子叫作一元二次方程a.x2+bx十c=0的求根 2(k一1)=0.求证：无论k为何实数，方程总有 公式 实数根， 2.用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把方 解：当k=0时，原方程为x一2=0，此时方程有 程化为一般形式；(2)写出a,b,c的值；(3)求 实数根；当k≠0时，△=[-(3k一1)]2一4k· △=b2一4ac的值；(4)代入求根公式得出一元 2(k一1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0，此时方程 二次方程的解。 有实数根..无论k为何实数，方程总有实数根 例4用公式法解方程： 方法归纳 对方程ax2十bx十c=0中“a”的讨论：对于方 (1)2x2-3=4x: (2)23x=√2(x2-1). 程a.x2十bx十c=0,若题千中给出条件“一元二次方 解：(1)方程化为2x2一4x一3=0，此时a=2, 程”，则直接判断b2一4ac的正负性；若题千中未给 b=-4,c=-3,∴.△=(-4)2-4×2X 出条件“一元二次方程”，则必须分成a=0与a≠0 两种情况讨论。 （-3)=40>0..x= 4士2√10=2±√/10 2 练3已知关于x的方程2x2十kx-一1=0. 2+√102-√10 .x1= x2= 2 2 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是一1，求k的值及方程的 (2)方程化为√2x2-25x-√2=0，此时a 另一个根 √2，b=-23,c=-√2，.△=(-23)2-4× 2X(-√2)=20>0.∴.x= 2/3±√20 2√2 6±而x,-6+x,-6 2 2 练4用公式法解方程： (1)2x2-2x-1=0(2)2x(x-3)=7. 35 毫期升级训练 数学（人教版）八年级 预学过关 1.一元二次方程x2一6.x十9=0的根的情况为 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2k+十 () 4)x十k2+4k+2=0,判断方程的根的情况. A有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断根的情况 2.关于x的方程k.x2+2x一1=0有实数根，则 下列各数中，可以为k的值的是 () A.0或1 B.0或-2 C.-3 D.1或-2 3.方程3x2-x一5=0的根是 4.已知关于x的方程x2一2x一k=0无实数 根，则k的取值范围是 5.已知代数式7x(x+1)一10的值与代数式 9x一9的值相等，则x= 6.用公式法解方程： 8.已知关于x的方程x2一(k+3)x+2k+ (1)x2-4x-2=0: 2=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于3的根，求实数 的取值范围. (2)3x2-7x+2=0; (3)x(5.x-4)=1. 362(1)移项，得3x=京二次项系数化为1，得2 =g,即x=g=-日 1 (2)移项，得 (3x+1)2=32..3x+1=4√2或3x+1=-4√2. ,=-1+4 ,x,==14@ 3 3 3.(1)移项，得x2一6x=一4.配方，得x2-6x十32= -4+32,即(x-3)2=5..x-3=±√5..x1=3+√5， x2=3一√5(2)移项，得4x2-4x=1.二次项系数化为 1,得2-x=子配方，得2-x+(3)=+(号)》， 即(-》=x=竖=+ 12 x2=22 【预学过关】 1.C解析：直接开平方，得x一1=±3，.x一1=3或 x-1=-3. 2.A解析：方程左边是完全平方式，其值为非负数，要 使等式成立，必须使c≥0. 3.C解析：二次项系数化为1，得(x一1)2=36.直接开 平方，得x一1=±6.∴.x1=6+1=7,x2=-6+1= 一5.∴.开始出错的步骤是③. 4.A解析：移项，得x2一8x=一10.配方，得x2一8x十 42=一10+42，即(x-4)2=6. 5.C解析：移项，得x2+4x=一2.配方，得x2+4x十 22=-2+22,即(x十2)2=2.∴.c的值为2. 6.y,=√T,y2=一√T解析：利用平方根的意义解 即可 7.(1)2x2一4x=1解析：移项，得2x2一4x=1. 1 (2)x2-2x=之 解析：方程两边都除以2，得x2 2x= (3)x-1= 解析：配方，得x-2x十1=子+1， 即-1=号 (④-1=士 解析：方程两边开平方，得x一1= 61+ 6 ，1-2 解析：x-1=士5，。 2x-1= 6 或x-1= 1+9,=1-5 6 8.①④③②解析：移项，得3x2+2x=1.二次项系数化 为1，得+号x=日配方，得+号x+(兮)广= 号+（兮），即(+号厂=手直接开平方，得x十 号-士号一日。-1敢第一步，第二步第三 1 步、第四步对应的步骤分别是①④③②！ 91)二次项系数化为1，得-头·=士√厚，即 ,e 2 2 (2)二次项系数化为1，得(x+ 7)2- 号x+7-±√得.x+?-总5或x+7 9 5 -86=-7+g5=-7-6 10.(1)移项，得x2-2x=1.配方，得x2-2x+1=1十 12,即(x-1)2=2..x-1=±√2.∴x1=1十√2，x2= 1一厄2)移项，得号2-x=1.二次项系数化为1，得 x2-2x=2.配方，得x2-2x+12=2十12，即(x-1)2= 3.∴.x-1=士5.∴.1=1-3，x2=1十5(3)移 项，二次项系数化为1，得一2x=-弓配方，得2- 2x+=-专+1，即-10=号-1=9 3 =1+=1号 11.(1)二解析：由小北的解题过程可知，他在配方时， 没有等式两边都加上1，∴.第二步开始出现错误. (2)移项，得x2一2x=8.配方，得x2一2x十1=8十1，即 (x-1)2=9.∴x-1=±3..x1=-2,x2=4 第13天用公式法解一元二次方程 【新知导学】 1.无实数根解析：·△=1一4X1×2=一7<0，∴.原 方程无实数根。 2由题意，得4=[-(k-1D-4k-1D×=R2 3k十2.方程有两个相等的实数根，∴ k一1≠0， 由k一 △=0. 1≠0得k≠1，由△=0得k=1或k=2,∴.k=2 3.(1):a=2,b=k,c=-1,.△=k2-4×2X(-1)= k2十8.无论k取何值，k≥0，.2十8>0，即△> 0.∴.方程有两个不相等的实数根(2)把x=一1代人 原方程，得2-k一1=0，.k=1.∴.原方程化为2x2+ x一1=0，解得x=一1x=专，即方程的另-个根为号 4.(1)a=2,b=-2,c=-1,.△=b2-4ac= (-2)2-4×2×(-1)=12>0..x= 生证-结罗--， 2a 2×2 2 z,=1+3 2 (2)方程化为2x2-6x-7=0,此时a=2, b=-6,c=-7.∴.△=b2-4ac=36-4×2×(-7) 92>0..x= -b±V62-4ac=6±2√23 2a 3±√23 2 x,=3-2 2 ,=3+2☒ 2 【预学过关】 1.A解析：由题意，得a=1,b=-6,c=9,∴.△=b2一 4ac=(一6)2一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实 数根. 2.A解析：当k≠0时，若方程kx2+2x一1=0有实数 根，则△=2一4×k×(-1)≥0，解得k≥-1.∴.k≥ 一1且k≠0.当k=0时，方程为2x一1=0，此时方程有实 数根，符合题意.∴.k的值可以是0或1. 3,=1+V6 1-/61 -x2= 解析：：a=3,b=一1， c=-5,∴.△=(-1)2-4×3X(-5)=61>0.∴.x= 1±，即x,1+,,1同 6 6 4.k<-1解析：由题意，得△=(-2)2一4×1× (-k)<0,解得k<-1. 5.1+22或一22解析：由题意，得7x(x十1)-10- 7 7 9x-9.整理，得7x2-2x-1=0,∴.△=(-2)2-4×7× 一》4+8=2结是-1生乡2， 2X7 1+221-22 7 -,x2 7 6.(1).a=1,b=-4,c=-2,∴.△=b2-4ac=16- 4X1X(-2)=24>0.x=-b±6=4ac 4±26.西=2+6，x2=2-6(2)Q=3,b -7,c=2,∴.△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0. :x=-6生6-4c--（-)±压-7±5 2a 2×3 6 x,=2,x2=3(3)原方程可化为5x2-4红-1= 0..a=5,b=-4,c=-1,.△=b2-4ac=(-4)2 4X5×(-1)=36>0.x=-b±0-4ac 2a 香指=1=月 2×5 7.a=1,b=一(2k+4),c=k2+4k+2,,.△=b2 4ac=[一(2k+4)]2-4×1X(k2+4k+2)=4k2+16k+ 16一42一16k一8=8>0..方程有两个不相等的实数根 8.(1)a=1,b=-(k+3),c=2k+2,∴.△=b2 4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k+3)2-4(2k+ 2)=k2+6k+9一8k一8=k2一2k+1=(k一1)2≥0.∴.方 程总有两个实数根(2)由(1)，得△=(k一1)2≥0， +3±√k-1区-十3±(-D.x,=k十1 ∴.x= 2 x2=2.方程有一个不小于3的根，.k+1≥3，解得 k≥2 第14天用因式分解法解一元二次方程 【新知导学】 1.D解析：方程左边分解因式，得x(x十3)=0..x+ 3=0或x=0,解得x1=-3,x2=0. 2.方程左边分解因式，得(x十2-2)2=0，即x2=0,解得 x1=x2=0 3.(1)用公式法：a=1,b=-4,c=1,.△=b2一 4ac=(-4)-4X1X1=12.:x=-b±V6-4ac 2a 4±厘=2±3..1=2+3，x2=2-5(2)用因 2 式分解法：移项，得3x(x一2)十2(x一2)=0.左边分解因 式，得(x-2)(3x十2)=0.∴.x-2=0或3x+2=0,解得 x1=22=-3 2 (3)用直接开平方法：x一3=士(5一 2x),即x-3=5-2或x-3=2x-5,解得x1=3, 8 x2=2(4)用配方法：配方，得x2+4x十4=77+4，即 (x+2)2=81.∴.x+2=±9..x1=7,x2=-11 【预学过关】 1.B解析：方程左边分解因式，得x(2x一9)=0.∴.x= 0或2x-9=0,解得，=0，=号 2.D解析：方程左边各项均有因式x一3，∴.左边分 解因式，得(x-3)(2x一6-3x)=0.∴.x-3=0或2x 6一3x=0,解得x1=3,x2=一6.∴.最合适的方法是因式 分解法. 3.②④⑤①③解析：①无明显特征，∴.用公式 法解.②可以化成x2=2,∴.用直接开平方法解.③可以 化成x(x-4)+(x-4)=0,即(x+1)(x-4)=0,∴.用 因式分解法解.④可以化成(x一2)2=2，∴.用直接开平 方法解.⑤可以化成x2-2x+1=8+1,即(x一1)2=9， ∴.用配方法解 4.(1)用配方法：移项，得x2一4x=一1.配方，得x2一 4x+4=-1+4,即(x-2)2=3..x-2=±3..x1= 2十√3，x2=2一3(2)用因式分解法：移项，得3x(x 5)一2(x-5)=0.左边分解因式，得(x一5)(3x-2)= 02-5=-0或3-2=0解得=5。号 (3)用 直接开平方法：5(x一7)=士4(x+4),即5x一35=4x+ 16或5x-35=-(4z+16),解得x,=51,x2=。 2