25.3.1 几何图形的面积与边长问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“几何图形的面积与边长问题”，通过杨辉《田亩比类乘除捷法》古算题等情境导入，衔接一元二次方程解法，为实际问题解决提供学习支架。 其特色在于融入数学文化与新情境设计，如古算趣题、校园空地方案等，培养学生数学眼光（抽象几何模型）、思维（推理运算）与语言（模型意识），分层练习助学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形的面积与边长问题 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　规则图形的面积与边长问题 1. 新情境 数学文化 (2025·辽宁中考)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块长方形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个长方形的宽为x步，根据题意可列方程为(　A　) A A. x(60－x)＝864 B. x(x－60)＝864 C. x(60＋x)＝864 D. 2[x＋(x＋60)]＝864 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. 一个菱形的两条对角线之和为14，面积为24，则 菱形的边长为 ⁠. 3. 用一根长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的 直角三角形，则两条直角边长分别为 ⁠ ⁠. 5　 6cm， 8cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 4. 教材P28复习题T9变式 如图，某农户准备盖一所小型的矩形养鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20m(所有材料全部用完)，其中新型材料至少购进8m，若养鸡场的面积为42m2，求购进新型材料的长度. 答：购进新型材料的长度为14m. 解：设木栅栏购进xm，则新型材料购进(20－x)m. 依题意，得x·(20－x)＝42，解得x1＝6，x2＝14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 4. 教材P28复习题T9变式 如图，某农户准备盖一所小型的矩形养鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20m(所有材料全部用完)，其中新型材料至少购进8m，若养鸡场的面积为42m2，求购进新型材料的长度. 解：设木栅栏购进xm，则新型材料购进(20－x)m. 依题意，得x·(20－x)＝42，解得x1＝6，x2＝14. ∵新型材料至少购进8m，∴20－x≥8.∴x≤12. ∴x2＝14不合题意，舍去.∴x＝6，则20－x＝14. 答：购进新型材料的长度为14m. ∵新型材料至少购进8m，∴20－x≥8.∴x≤12. ∴x2＝14不合题意，舍去.∴x＝6，则20－x＝14. 答：购进新型材料的长度为14m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 知识点二　边框与甬道问题 5. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸 板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿 虚线折起，做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面 积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可 列方程为(　A　) A. (45－2x)(25－2x)＝625 B. (45－x)(25－x)＝625 C. (45－x)(25－2x)＝625 D. (45－2x)(25－x)＝625 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 6. 新考向 方案设计 某中学有一块长30m、宽20m的 矩形空地，学校计划在这块空地的一部分区域种草 坪，其余部分硬化，修筑道路或活动区.下面是几位 同学的设计方案. 甲方案：如图①所示，在矩形空地的四周设计同样 宽的道路，中间种草坪，其中草坪的面积为416m2. 求此时道路的宽度. 解：设甲方案中道路的宽度为xm.依题意， 得(30－2x)(20－2x)＝416，解得x1＝2，x2＝23(不合 题意，舍去). 答：甲方案中道路的宽度为2m. 解：设甲方案中道路的宽度为xm.依题意， 得(30－2x)(20－2x)＝416，解得x1＝2， x2＝23(不合题意，舍去). 答：甲方案中道路的宽度为2m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：设乙方案中道路的宽度为xm. 根据题意可得(30－x)(20－x)＝504， 解：设乙方案中道路的宽度为xm. 根据题意可得(30－x)(20－x)＝504， 乙方案：如图②所示，在矩形空地的中间设计同样 宽的道路，余下的种草坪，其中草坪的面积为 504m2.求此时道路的宽度.[平移法] 解得x1＝2，x2＝48(不合题意，舍去). 答：乙方案中道路的宽度为2m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 　　活动继续，同学们还提供了其他的方案，见本 课时T9⇨ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. 新情境 趣题 (2026·广州天河区月考)古算趣题： “笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖 多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿 对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿 长多少数，谁人算出我佩服.”聪明的你认为竿长为 (　B　) A. 2尺 B. 10尺 C. 2尺或10尺 D. 无法确定 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 8. 新视角 代几综合 如图，已知点A是一次函数y＝x －4图象上的一点(点A在第四象限)，且矩形ABOC的 面积等于3，则点A的坐标为 ⁠. (1，－3)或(3，－1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. 丙方案：如图所示，横竖道路各与矩形的一条边 平行，且横竖道路的宽度比为2∶3，余下的种草 坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一.求 此时横竖道路的宽度分别为多少. 解：设丙方案中横道路的宽度为2ym， 则竖道路的宽度为3ym. 根据题意可得(30－2×3y)(20－2×2y)＝×30×20， 解得y1＝，y2＝(不合题意，舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：设丙方案中横道路的宽度为2ym，则竖道路的 宽度为3ym. 根据题意可得(30－2×3y)(20－2×2y)＝ ×30×20，解得y1＝， y2＝(不合题意，舍去).∴2y＝2×＝5，3y＝3× ＝. 答：丙方案中横道路的宽度为5m，竖道路的宽度为 m. ∴2y＝2×＝5，3y＝3× 答：丙方案中横道路的宽度为5m，竖道路的宽度为 m. 9. 丙方案：如图所示，横竖道路各与矩形的一条边 平行，且横竖道路的宽度比为2∶3，余下的种草 坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一.求 此时横竖道路的宽度分别为多少. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. T4变式 如图，利用一面墙(墙长25米)，用总 长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形 围栏ABCD，中间用栅栏分隔成两个小矩形，且 在如图所示位置留两个1米宽的小门，设栅栏BC 的长为x米. (1)AB＝ 米(用含x的代数式表示). (51－3x)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(2)依题意，得(51－3x)x＝210， 整理，得x2－17x＋70＝0， 解得x1＝7，x2＝10. 10. T4变式 如图，利用一面墙(墙长25米)，用总 长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形 围栏ABCD，中间用栅栏分隔成两个小矩形，且 在如图所示位置留两个1米宽的小门，设栅栏BC 的长为x米. (2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏 BC的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 当x＝7时，AB＝51－3x＝30＞25， 不合题意，舍去；当x＝10时， AB＝51－3x＝21，符合题意. 10. T4变式 如图，利用一面墙(墙长25米)，用总 长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形 围栏ABCD，中间用栅栏分隔成两个小矩形，且 在如图所示位置留两个1米宽的小门，设栅栏BC 的长为x米. (2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏 BC的长. 答：栅栏BC的长为10米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. T4变式 如图，利用一面墙(墙长25米)，用总 长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形 围栏ABCD，中间用栅栏分隔成两个小矩形，且 在如图所示位置留两个1米宽的小门，设栅栏BC 的长为x米. (3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方 米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，请说明 理由. 答：栅栏BC的长为10米. 解：(3)不可能，理由如下： 依题意，得(51－3x)x＝240， 整理， 解：(3)不可能，理由如下： 依题意，得(51－3x)x＝240，整理， 得x2－17x＋80＝0.∵Δ＝(－17)2－4×1×80＝－31＜0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. T4变式 如图，利用一面墙(墙长25米)，用总 长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形 围栏ABCD，中间用栅栏分隔成两个小矩形，且 在如图所示位置留两个1米宽的小门，设栅栏BC 的长为x米. (3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方 米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，请说明 理由. 答：栅栏BC的长为10米. 解：(3)不可能，理由如下： 依题意，得(51－3x)x＝240， 整理， ∴方程没有实数根. ∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC ＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的 速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运 动，运动时间为xs(x＞0). (1)运动几秒后，PQ的长度等于5cm？ 解：(1)当PQ＝5cm时，在Rt△PBQ中， ∵BP2＋BQ2＝PQ2， ∴(5－x)2＋(2x)2＝52，整理得x(x－2)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(1)当PQ＝5cm时，在Rt△PBQ中， ∵BP2＋BQ2＝PQ2， ∴(5－x)2＋(2x)2＝52，整理得x(x－2)＝ 0.解得x1＝0(舍去)， x2＝2.∴当x＝2时，即运动2s后，PQ的 长度等于5cm. 解得x1＝0(舍去)， x2＝2.∴当x＝2时，即运动2s后， PQ的长度等于5cm. 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC ＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的 速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运 动，运动时间为xs(x＞0). (1)运动几秒后，PQ的长度等于5cm？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(2)不能，理由如下：设经过xs后 △PQB的面积为8cm2. 依题意得(5－x)·2x＝8，整理得x2－5x＋8＝0. 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC ＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的 速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运 动，运动时间为xs(x＞0). (2)运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明 理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(2)不能，理由如下：设经过xs后 △PQB的面积为8cm2. 依题意得(5－x)·2x＝8，整理得x2－5x ＋8＝0. ∵Δ＝25－32＝－7＜0，∴方程x2－5x ＋8＝0无实数根. ∴△PQB的面积不能等于8cm2. ∵Δ＝25－32＝－7＜0， ∴方程x2－5x＋8＝0无实数根. ∴△PQB的面积不能等于8cm2. 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC ＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的 速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运 动，运动时间为xs(x＞0). (2)运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明 理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $