第16天 几何、传播问题与一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

(4)用因式分解法：方程左边分解因式，得(x+2一3)· (x+2-5)=0,即(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x 3=0,解得x1=1,x2=3 第15天一元二次方程的根与系数的关系 【新知导学】 1.B解析：：a十B=6,a3=8,∴.若一元二次方程的二 次项系数为1，则一次项系数为一6，常数项为8. 2D解析：a十b=2,ab=一4，.a+也-2 ab 3.,a2-4a+3=0,b2-4b十3=0，且a≠b,.可设a,b 为方程x2一4x十3=0的两个不相等的实数根.∴.a十 4.(1)根据题意，得△=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得 (2)根据题意，得x1x2=2十1.：x1x2=5, k十1=5，解得，=-2=2：k>子k=2 【预学过关】 1.A解析：A.方程x2一2x=0的两根之和为2，故A 选项符合题意.B.方程x2十3x十2=0的两根之和为 一3，故B选项不符合题意.C.方程x2十2x一3=0的两 根之和为一2，故C选项不符合题意.D.方程2x2一2x 3=0的两根之和为1，故D选项不符合题意。 2.C解析：：x1x2是方程x2+2x一5=0的两个根， .x1+x2=-2,x1x2=-5..2x1-x1x2+2x2= 2(x1十x2)-x1x2=2X(-2)-(-5)=1. 3.C解析：由题意，得x,十x=3,x1x=2,1十 1_21十x2=3 4.B解析：设方程的另一个根为x2,则一2十x2=一2 解得x2=0.∴.一2x2=m,即m=0. 5.6解析：由题意，得x1十x2=一4，x1x2=一5， .x1+x2-2x1x2=-4-2X(-5)=6. 6.15解析：：a,b是一元二次方程x2+x一8=0的两 个实数根，.a十b=-1,ab=-8,a2十a-8=0..a2+ a=8.∴.a2+2a十b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+ (-1)-(-8)=15. 7.x2-33x-4=0解析：由题意，得c=x1x2=-1× 4=-4,-b=x3+x1=23+3=33,∴.b= 一33..正确的一元二次方程为x2一33x一4=0. 8.11解析：由题意，得m2一3m十2=0，m+n=3, ∴.m2=3m-2,即2m2=6m-4..2m2-m+5n= 6m-4-m+5n=5(m+n)-4=15-4=11. 9.设另一个根为”依题意，得-2十n=一1，一2m一 咒解得m=一2，n=1.“m的值为一2，方程的另一个 根为1 10.(1):'△=(k+1)2-4k=k2+2k+1-4k=k2- 2k十1=(k一1)≥0，∴.方程总有两个实数根(2)由题 一(k+1)0, 意，得 解得k0 {k>0, 11.(1):关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有 两个实数根1和x2,∴.△=(2k1)2一4(k2一1)= -4+5≥0.k≤号（(2)十=1-2k k2-1,x号+x=x1x2+16,∴.(x1+x2)2=3x1x2十 16.∴.(1-2k)2=3(k2-1)+16,即k2-4k-12=0,解得 k,=6,:=-2:k≤号k=-2 12.:x1,x2是关于x的方程x2-2x十k一1=0的两个 实数根，∴.x1十x2=2,x1x2=k一1，x一2x1十k一1= 0.x=2,-k+1.2+=x号+2x2-1, 63十-2鸡2+西)=，品22D2 4一k,解得k=2或k=5.当k=2时，关于x的方程为 x2一2x十1=0，△=0，符合题意；当k=5时，关于x的方 程为x2一2x十4=0，△0，方程无实数根，不符合题 意..k=2 13.(1):□ABCD是菱形，.AB=AD..方程x2 mx十m一1=0有两个相等的实数根.∴.（一m)2-4(m 1)=0..m1=m2=2.当m=2时，原方程为x2一2x十 1=0,解得x1=x2=1,符合题意.∴.当m=2时，四边形 ABCD是菱形(2)，AB,AD的长是关于x的方程 x2一mx十m一1=0的两个实数根，AB的长为3， ∴.AB+AD=m,3是方程的一个根.∴.32一3m+m一 1=0,解得m=4.∴.AB+AD=4.∴.2(AB十AD)=8, 即□ABCD的周长为8 第16天几何、传播问题与一元二次方程 【新知导学】 1.5解析：设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为(27+3-3x)m.根据题意，得x(27十3 3x)=75,解得x1=x2=5.∴.垂直于现有墙的墙长是5m 2.设道路的宽应为xm.由题意，得(50一2x)(38-2x)= 1260,整理，得x2一44x十160=0，解得x1=4,x2=40(不 合题意，舍去).∴.道路的宽应为4m 3.C解析：依题意，得主干为1个，支干为x个，小分支 为x·x=x2(个).，∴.1十x十x2=73. 4.(1)设每轮传染中平均1人能传染x人.由题意，得 1十x十x(1十x)=36,解得x1=5,x2=一7（不合题意，舍 去).∴.每轮传染中平均1人能传染5人(2)经三轮传 染后，共有36+5×36=216（人）患病 3 【预学过关】 1.D解析：由题意，得第一轮转发后，共有(1十x)人看 到这则短视烦；第二轮有x人转发，收到的有x2人..共 有(1+x十x2)人看到这则短视频.∴.1+x十x2=133. 2.A解析：根据题意，得该无盖纸盒的底面是长为(50 2x)cm、宽为(30-2x)cm的矩形，.(50-2x)(30 2x)=800. 3.(1十x)2=64解析：：每轮传播中平均一台电脑会 感染x台电脑，∴.1+x十x(1十x)=64,即(1十x)2=64. 4.448解析：设每轮传染中平均一人传染x人.根据题 意，得1十x十x(1+x)=64,整理，得(x+1)2=64,解得 x,=7,x2=一9（不合题意，舍去）.·第三轮将又有64X 7=448(人)被传染. 5.11解析：设每轮传染中平均一人传染x人.根据题 意，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=一13（不合题意， 舍去).∴.每轮传染中平均一人传染11人. 6.0.75解析：设小路的宽度为xm,则9个矩形地块可 合成长为(15一4x)m、宽为(12一4x)m的矩形.根据题 意，得(15-4x)(12-4x)=12×9,整理，得4x2-27x十 18=0,解得x1=0.75,x2=6(不合题意，舍去).∴。小路 的宽度为0.75m. 78或智 解析：由题意，得BP=3tcm如图①，当 △ABP是以AB为底边的等腰三角形时，AP=BP= 3tcm.:∠ACB-=90°，BC=12cm,∴.∠ACP=90, CP=(3t-12)cm..'AC=16 cm,.'AP2=AC2+CP2, 即(3)P=16+3:-12,解得：如图@，当△ABP 是以AP为底边的等腰三角形时，AB=BP=3tcm ∠ACB=90°，.AB2=BC2+AC2,即(3t)2=122+ 1心，解得，号4，=一9（不合题意舍去.综上所述， :的值是碧或号 ② (第7题) 8.(1)设每轮分裂中平均每个细胞可分裂出x个细 胞.由题意，得60x2=240,解得x1=2,x2=一2（不合题 意，舍去).答：每轮分裂中平均每个细胞可分裂出2个细 胞(2)240×2=480（个）.答：经过三轮分裂后共有 480个细胞 9.(1)设平均每人一天传染了x人.依题意，得1十x十 (1+x)x=225,解得x1=-16(不合题意，舍去)，x2= 14..∴.平均每人一天传染了14人(2)225+225×(14一 5)+[225+225×(14-5]×(14-5-5)=225+2025+ 2250×4=11250(人).∴.再过两天共有11250人患有 此病 10设主根能长出x个支根，根据题意，得1十x十了x· x十号·音=108，整理，得2x2十3-324=0，解得 =12,=一号（不台题意，合去，答：这种信物的主根 能长出12个支根 11.形如x2+a.x=b2(a>0,b>0)的一元二次方程为 x2+ax=64,∴b=8.·构造以？和8为直角边长的直 角三角形.：BD=2AD,∴.BD=2AD=a.∴.AB= 8+a-.由勾股定理，得AC十BC=AB,即 (号）+82=(g),整理，得2a2=64,解得a,=42, a2=-42(不合题意，舍去).·AC=号=2厄. 5c=号X8X22=8万 第17天变化率、握手问题与一元二次方程 【新知导学】 1.(1)2.6(1+x)2(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2= 7.146,即(1+x)2=1.21,解得x1=0.1=10%,x2= 一2.1（不合题意，舍去）.∴.可变成本平均每年增长的百 分率为10% 2.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题 意，得125(1一x)2=80,解得x1=0.2=20%,x2=1.8 (不合题意，舍去.答：乙种商品每件进价的年平均下降率 为20%(2)设购进y件甲种商品，则购进(100一y)件 乙种商品.根据题意，得(125-25×2)y+80(100一y)≤ 7800,解得y≥40.答：最少购进40件甲种商品 3.B解析：依题意，得每人均与另外的(x一1)人合影， 二合影的总镜头个数为2.又：合影的2人每人 均拿到一张照片2×(，1=90，即x(x-1)=90. 2 414解析：设A组共有x个班.依题意，得2x(x 1)=21,解得x1=7,x2=一6（不合题意，舍去）.∴.九年 级共有7×2=14（个）班 【预学过关】 1.C解析：该厂家1月和3月的鞋于产量分别为137万 只、368万只.根据题意，得137(1+x)2=368. 2.B解析：设该群一共有n人.根据题意，得n(n一1)= 90,解得n1=一9（不合题意，舍去），n2=10.∴.该群一共 有10人.毫期升级训练 数学（人教版）八年级 第16天 几何、传 新冠 知识点1 用一元二次方程解几何图形类问题 1.若几何图形是直角三角形，则常与勾股定理 结合，构建一元二次方程 2.若几何图形是矩形等，则可由图形的边长与 面积的关系构建一元二次方程， 例1如图，在一个长为60m、宽为40m的矩形 场地内修筑两条宽度相等的道路，剩余部分为绿 化用地.如果绿化用地的面积为2204m,求道 路的宽， (例1图) 解：设道路的宽为xm,则剩余部分可合成长为 (60-x)m、宽为(40一x)m的矩形.根据题意， 得(60一x)(40一x)=2204,整理，得x2 100x+196=0,解得x1=2,x2=98(不合题意， 舍去)..道路的宽为2m 方法归纳 矩形场地内斜置道路面积问题：矩形中存在倾 斜的道路时，注意两点：第一，化斜为直，依据是斜 置的道路（平行四边形）与垂直设计的道路（矩 形)面积相等；第二，将两条道路均平移到矩形场地 的最边上，便于列方程： 练1某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有 的墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（墙的厚度 忽略不计)，并在如图所示的三处各留1m宽的 门.已知计划中的材料可建的墙（不包括门）的 总长为27，则当建成的饲养室的总占地面积是 75m时，垂直于现有墙的墙长是 m. 门 门门 (练1图) 播问题与一元二次方程 导学 练2[泰州中考]如图，在长为50m、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下 的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m,道路 的宽应为多少？ 50m 38m (练2图) 知识点2 用一元二次方程解传播类问题 在病毒传染中，若一人一轮传染了x人，则 第一轮传染后共有(1十x)人感染病毒，第二轮 传染后共有(1+x)+x(1十x),即(1十x)2人 感染病毒 例2某流感病毒的传染性很强，某一社区开始 有2人感染发病，结果两天后发现共有50人感 染发病. (1)每位发病者平均每天传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，再过一天，发病人数 会超过200吗？ 解：(1)设每位发病者平均每天传染x人.依题 意，得2(1十x)2=50,解得x1=4,x2=-6(不合 题意，舍去)..每位发病者平均每天传染4人 (2)50×(1+4)=50×5=250(人)..'250> 200,.再过一天发病人数会超过200. 42 练3有一株玫瑰，它的主干长出若干数目的支 干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是73.设每个支干长出 x个小分支，根据题意可列方程为 () A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x2=73 C.1+x+x2=73 D.(1+x)2=73 练4“手足口病”的传染性很强，据资料显示， 若不有效控制，1人患病，经两轮传染，将有 36人患病， 预学 1.某人用手机转发短视频给x人，收到的人每 人又转给x人，经两轮转发，共有133人看 到这则短视频.根据题意可列方程为() A.1+2x=133 B.1+x=133 C.1+x+x(1+x)=133 D.1+x+x2=133 2.如图，把一块长为50cm、宽为30cm的矩形 硬纸板的四个角剪去四个相同的小正方形， 然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘 好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒 的底面积为800cm2,设剪去小正方形的边 长为xcm,则根据题意可列方程为() (第2题) A.(50-2x)(30-2x)=800 B.(50-2.x)(30-x)=800 C.(50-x)(30-2x)=800 D.(50-x)(30-x)=800 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被 感染，那么经过两轮传播就共有64台电脑 被感染.设每轮传播中平均一台电脑可感染 x台电脑，则可列方程为 预学·新知储备 (1)每轮传染中平均1人能传染几人？ (2)经三轮传染后，共有多少人患病？ 过关 4.一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患 了流感.如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染。 5.秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一人 患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有 144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一 人传染 人 6.如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种 植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周 和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分） 小路把种植园分成面积均为12m的9个矩 形地块，则小路的宽度为 m. (第6题)》 (第7题) 7.分类讨论思想如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，BC=12cm,AC=16cm.动点P从点B 出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，连接 AP.设运动时间为ts,当△ABP为以AB 或AP为底边的等腰三角形时，t的值是 客期升级训练数学（人教版）八年级 8.某生物实验室需要培养一种细胞.现有60个 细胞，经过两轮分裂后，细胞总数为240个， 其中每个细胞一次可分裂出的细胞数目 相同。 (1)每轮分裂中平均每个细胞可分裂出多少 个细胞？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮分裂后 共有多少个细胞？ 9.有一种传染性疾病，传染速度极快，据统计， 在人口密集的某城市里，通常情况下，平均 每天一人能传染若干人 (1)现有一人患了这种疾病，开始两天共有 225人患上此病，则平均每人一天传染了 几人？ (2)两天后，人们有所觉察，这样平均每天一 人以少传播5人的速度在递减，求再过两天 共有多少人患有此病： 44 10.某种植物的根特别发达，它的主根长出若 干数目的支根，支根中的？又长出同样数目 的小支根，而其余支根长出一半数目的小 支根，主根、支根、小支根的总个数是109. 这种植物的主根能长出多少个支根？ 11.新情境数学文化欧几里得的《几何原本》中 记载，形如x2十a.x=b2(a>0,b>0)的方 程的图解法如下：如图，分别以号和b为两 直角边长作Rt△ABC,然后在斜边AB上 截取AD=AC,则BD的长就是方程x2+ ax=b2的正根.利用以上方法解关于x的 一元二次方程x2十ax=64,若构造的图形 满足BD=2AD,求△ABC的面积 D (第11题)