第12天 用直接开平方法、配方法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

第12天用直接开平方法 新知 知识点1用直接开平方法 二次方程 1.对于方程x2=p.(1) 个不相等的实数根x1=√p,x2=一√币；(2)当 p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2= 0;(3)当p<0时，方程无实数根， 2.解一元二次方程的关键是把一个一元二次 方程转化为两个一元一次方程，达到“降次”的 目的. 例1解方程： (1)x2-25=0; (2)(x-7)2=12. 解：(1).x2-25=0,.x2=25.∴.x=士5， 即x1=5,x2=-5. (2).(x-7)2=12,.x-7=2√3或x 7=-25,即x1=7+2√3，x2=7-2√3. 练1方程(x一1)2=0的解是 练2用直接开平方法解方程： （)3x-27=0: (2)(3.x+1)2-32=0. 预学·新知储备 配方法解一元二次方程 导学 知识点2 用配方法解一元二次方程 1.将关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)转化为(x十n)2=p的形式，再用直接开 平方法解方程的方法，叫作配方法， 2.当一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)中， 二次项系数a≠1时，可利用等式性质，方程两 边同时除以a,转化为二次项系数为1的形式. 3.配方之前先将常数项移到等号的右边， 4.配方，即在方程的两边都加上一次项系数一 半的平方，使方程的左边转化为完全平方式 例2用配方法解方程x2一8x=一1，下面变形 后的结果正确的是 ( A.(x+4)2=15 B.(x+4)2=17 C.(x-4)2=15 D.(x-4)2=17 解析：.x2-8x=-1,.x2-8x+42=-1十 42,即(x一4)2=15..用配方法解方程x2 8x=一1，变形后的结果正确的是(x一4)2=15. 答案：C 例3用配方法解方程： (1)x2-4x+3=0; (2)2x2+1=3x. 解：（1)移项，得x2一4x=一3.配方，得x2 4x+22=-3十22，即(x-2)2=1..x-2= 1或x-2=-1.∴.x1=3,x2=1. (2)移项，得2x2一3x=一1.二次项系数化为 1,得x2- x=-配方，符2-x十 ()=2+(),即红-)=6尚此可得 3 4 期升级训练数学（人教版）八年级 方法归纳 (1)移常数项，即把常数项移到等号右边，等号左边 按未知数的二次项、一次项依次排列. (2)二次项系数化为1，即当二次项系数不为1时， 在方程的两边均除以二次项系数 (3)配方，即在方程的两边均加上一次项系数一半 的平方，此时等式左边可写成完全平方式。 (4)当等式右边的常数非负时，用直接开平方法解 方程；当等式右边的数为负数时，直接得出结论：该 方程无实数根 预学 1.由平方根的定义，可将一元二次方程(x 1)2=9转化为一元一次方程，正确的结果是 ) A.x-1=3 B.x-1=-3 C.x-1=3或x-1=-3 D.x-1=3且x-1=-3 2.如果方程(a.x+b)2=c能用直接开平方法求 解，那么c的取值范围是 ) A.c≥0 B.c≤0 C.c<0 D.c可以为一切实数 3.用直接开平方法解一元二次方程（红 1)2=9的步骤如下：①(x一1)2=36： ②x-1=±6；③x=±7；④即x1=7, x2=一7.其中，开始出错的步骤是() A.① B.②C.③D.④ 4.将一元二次方程x2一8x十10=0通过配方 转化为(x十a)2=b的形式，下列结果中，正 确的是 () A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=6 C.(x-4)2=-6D.(x-8)2=54 5.解一元二次方程x2十4x十2=0时，配方后 得到方程(x+2)2=c,则c的值为() A.6 B.4 C.2 D.-2 练3用配方法解方程： (1)x2-6.x+4=0; (2)4x2-1=4x. 过关 6.方程y2=11的解为 7.用配方法解方程2x2一4x-1=0. (1)移项，得 (2)二次项系数化为1，得 (3)配方，得 (4)方程两边开平方，得 (5)解得x1= x2= 8.下面是用配方法解方程3x2+2x一1=0的 具体过程。 解：第一步：3x2十2x=1. 21 第二步：x2十 3x=3 第三步：r++(-+)即 +3}-g 第四步十}-士 1 3x1=3x2=-1 以下四个步骤与上面的过程相对应：①移 项：方程左边为二次项和一次项，右边为常 数项；②求解：用直接开平方法解一元二次 方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的 两边各加上一次项系数一半的平方；④二次 项系数化为1：方程两边都除以二次项系数. 第一步、第二步、第三步、第四步对应的步骤 分别是 (填序号) 2 9.用直接开平方法解方程： (1)2x2=21; (2)5(x+7)2=9. 10.用配方法解方程： (1)x2-2x-1=0: (2)2x2-x-1=0: 预学·新知储备 (3)3x2-6x+1=0. 11.解一元二次方程x2一2x一8=0时，小北的 解法如下： 第一步：移项，得x2-2x=8. 第二步：配方，得x2-2x十12=8， 即(x-1)2=8. 第三步：∴.x-1=2√2或x-1=一2√2 第四步：.x1=1十2√2，x2=1-2√2 (1)小北的解答过程从第 步开始 出现错误； (2)请写出这道题用配方法解答的正确 过程 334.∴.直线AC对应的函数解析式为y=一2x十4(2)作 ∴.OD=1.∴.D(-1,0).②当∠DFE=90°时，如图②， 点A关于y轴的对称点A',连接A'C,与y轴交于点P, 易得OB=3,AF=2,OF=1..BF=OB+OF=4. 1 3 y= 此时PA+PC最小.联立 2x+'解得 x=1, .AB=√AF2+BF=25.由翻折可得AE=AB= y=2. 25,BD=DE,..EF=AE-AF=25-2.DF=a, y=-2x十4， 则BD=DE=4一a.在Rt△DEF中，由勾股定理，得 ∴.A(1,2).∴.A'(一1,2).设直线AC对应的函数解析 式为y=a+n.将A'(-1,2),C(2,0)代入，得 DF2+EF2=DE,∴.a2+(25-2)2=(4-a)2,解得 2 a=5-1.∴.BD=4-(W5-1)=5-√5.∴.OD=OB- 一m十n=2, 3 BD=3-(5-5)=√5-2..D(2-√5,0).综上所述，点 解得 ∴.直线A'C对应的函数 2m+n=0, n= D的坐标为（一1,0）或(2一√5,0) 3 4 解析式为y= 32+ 令x=0则y=子点P的 4 坐标为0，号)】 (3)①当∠EDF=90°时，如图①，则 ∠BDE= 90°.由翻折可得∠ADB=∠ADE= 360-90°-135，∠AD0=135°-90°=45.过点A作 2 Q AG⊥BC于点G,∴.易得AG=DG=2..OG=1, (第21题) 预学·新知储备 第二十五章一元二次方程 6.2解析：由题意，得a2-4=0,且a十2≠0，∴.a=2. 7.将(2x一1)-3x(x-2)=0化成一般形式，得-3x2+ 第11天一元二次方程的概念 8x一1=0，∴.二次项系数为一3，一次项系数为8，常数项 【新知导学】 为-1 1.B解析：方程(m一2)xm一2x=3是关于x的一 8.(1)①由题意，得m2-1=1,解得m=士2.∴.当 元二次方程，.m=2,且m-2≠0..m=-2. m=±√2时，该方程是一元一次方程.②由题意，得m 2.C解析：将4x(x+2)=25整理，得4x2+8x √5=0，解得m=√5.∴.当m=√3时，该方程是一元一次 25=0,∴.a=4,b=8,c=-25. 3.6解析：，a是一元二次方程x2十2x一3=0的一个 方程.③由题意，得m2一1=0，解得m=士1.∴.当 根，.a2+2a-3=0,即a2+2a=3.∴.2a2+4a= m=士1时，该方程是一元一次方程.综上所述，m的值 2(a2+2a)=2×3=6. 为士√2或3或±1(2)由题意，得m2-1=2且m- 【预学过关】 √3≠0，解得m=一√3 1.A解析：由一元二次方程的概念可知，“☐”可以 a-4 是3x2 2.C解析：一元二次方程32一2=一4x化成一般形式 2)=a二4 a-4 为3x2十4x-2=0,∴.一次项是4x,常数项是-2. 4a(a-3) ÷216 a-3 4a(a-3) 3.B解析：把x=0代人(a-2)x2+x-a2+4=0,得 a-3 1 1 -a2十4=0，.a=2或a=-2.a-2≠0，.a=-2. （a+4a-)4aa+4一4u十1a”a是方程x2+ 4x-21=0的一个根，∴.a2+4a-21=0,即a2+4a= 4.B解析：m为方程x2+3x一2022=0的根， 11 ∴.m2+3m-2022=0..m2+3m=2022..原式= 21.·原式=4×21-84 m3+3m2-m2-3m-2022m+2022=m(m2+3m)- 第12天用直接开平方法、 (m2+3m)-2022m+2022=2022m-2022-2022m+ 2022=0. 配方法解一元二次方程 5.x2-7x一1=0解析：去括号，得x2一x-5=6x 【新知导学】 4.移项，得x2一x一5一6x十4=0.合并同类项，得x2 1.x1=x2=1 解析：.(x一1)2=0，..x一1=0 7x一1=0，即一般形式为x2一7x一1=0. .x1=x2=1. 10 2(1)移项，得3x2=27二次项系数化为1，得x2= 号+（兮）”，即(+号》=手直接开平方，得x十 =，即=日=- 1 (2)移项，得 =3x=一1.故第一步、第二步、第三 (3x+1)2=32..3x+1=4√2或3x+1=-42. 步、第四步对应的步骤分别是①④③②】 =-1+45,=-1=42 3 3 9①)三次项系数化为1，得r-公=士√厚，即 3.(1)移项，得x2-6x=一4.配方，得x2-6x+32 /42 x1= (2)二次项系数化为1，得(x+ -4+32,即(x-3)2=5..x-3=±√5.∴x1=3+5, 2 x242 2 x2=3-√5(2)移项，得4x2-4x-1.二次项系数化为 7)2= x+7=士/号x+7=25或x+7= 9 9 5 1,得2-x=配方，得-x+(侣)》=+（兮）广月。 6.=-7g6=7-6 10.(1)移项，得x2-2x=1.配方，得x2-2x+1=1十 日-号 12,即(x-1)2=2.x-1=±2.x1=1+√2，x2= 【预学过关】 1一反(2)移项，得2-x=1.二次项系数化为1，得 1.C解析：直接开平方，得x一1=±3，∴.x一1=3或 x2-2x=2.配方，得x2-2x十12=2十12，即(x-1)= x-1=-3. 3.∴.x-1=士..x1=1-3,x2=1十√5(3)移 2.A解析：方程左边是完全平方式，其值为非负数，要 使等式成立，必须使c≥0. 项，二次项系数化为1，得2-2x=-子配方，得2 3.C解析：二次项系数化为1，得(x一1)2=36.直接开 平方，得x-1=±6..x1=6+1=7,x2=-6+1= 2x+1=号+1，mx-1=号-1= 31 -5.∴.开始出错的步骤是③. 4.A解析：移项，得x2一8x=一10.配方，得x2一8x+十 42=一10+42，即(x-4)2=6. 11.(1)二解析：由小北的解题过程可知，他在配方时， 5.C解析：移项，得x2+4x=一2.配方，得x2+4x十 没有等式两边都加上1，∴.第二步开始出现错误！ 22=-2+22,即(x+2)2=2.∴.c的值为2. (2)移项，得x2一2x=8.配方，得x2一2x+12=8十1，即 6.y,=√T,y2=一√厅解析：利用平方根的意义解 (x-1)2=9..x-1=±3.∴.x1=-2,x2=4 即可 第13天用公式法解一元二次方程 7.(1)2x2一4x=1 解析：移项，得2x2一4x=1. 【新知导学】 (2)x2-2x=2 解析：方程两边都除以2，得x2一 1.无实数根解析：：△=1一4×1×2=一7<0，∴.原 方程无实数根。 2由题意，得4=[-(k-1D]驴-4k-D×=2- (3)x-1= 解析：配方，得x-2x十1=+1， 3k十2.：方程有两个相等的实数根，∴ k-1≠0， 由k一 即x-1=号 {△=0. 1≠0得k≠1，由△=0得k=1或k=2,∴.k=2 (0x-1=±9 解析：方程两边开平方，得x一1= 3.(1):a=2,b=k,c=-1,.△=k2-4×2×(-1)= 2+8.无论k取何值，k2≥0，∴.k2十8>0，即△> ±婚 0.∴.方程有两个不相等的实数根(2)把x=一1代入 原方程，得2-k一1=0，.k=1..原方程化为2x2+ 61+ 1 √6 2 解析：x一1=土 2x-1 x一1=0，解得，=一1-2，即方程的另一个根为号 6 或x-1= √6 =1+9=1- 2· 4.(1)a=2,b=-2,c=-1,∴.△=b2-4ac= 8.①④③②解析：移项，得3x2+2x=1.二次项系数化 (-2)2-4×2×(-1)=12>0..x= 为1，得r+号r=子配方得+号x+(侣》 生匹没-=1 2a 2×2 2 11