第15天 一元二次方程的根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

预学·新知储备 第15天 一元二次方程的根与系数的关系 新知导学 方法归纳 知识点1 根与系数的关系 求根的对称式的值的一般方法：交换x1与 x2的位置，代数式的值不变，这种代数式叫作“对称 1.一元二次方程a.x2+bx十c= 式”.求关于方程两个根的对称式的值的关键是将 x2与其系数a,b,c有如下的关系：x1十x2= 原代数式转化为仅含式子x1十x2或x1x2的形式， b 再整体代入求值 2.注意点：一元二次方程的根与系数的关系成 练1已知a,3满足a十B=6,且a3=8,则以a, 立的前提是方程有实数根，即△=b2一4ac>≥0. 3为两根的一元二次方程可以是 () 例1不解方程，求下面方程的两根之和与两根 A.x2+6.x+8=0 B.x2-6x+8=0 之积 C.x2-6.x-8=0 D.x2+6.x-8=0 (1)(x+1)(x-2)=2;(2)3x2+7x=6. 练2若a,b是方程x2-2x一4=0的两根，则 解：(1)方程化为x2-x一4=0.：△= a+b 的值为 (-1)2-4×1×(-4)=17>0,.x1+x2=1, ab x1x2=-4. A.2 B.-2 c D司 (2)移项，得3x2+7x一6=0..△=7一4× 练3若实数a,b分别满足a2-一4a十3=0，b2- 7 3X(-6)=121>0,∴.x1+x2=- 3 x1x2=-2. 6+3=0.且a6,求}+行的值 例2已知x1,x2是方程2x2一3x一5=0的两 个根，不解方程，求下列代数式的值 (1)x+x; (2)x1一x2； (3)之+2 2x1 5 解：依题意，得x1十x2= 2x1x2=- ).xi+=(x1+)-2a1x=(-2X (引8 (2)x1-x212=(x1+x2)2-4x1c2 知识点2根与系数的关系和根的判别式的 综合应用 停)-X-》-g✉- 一元二次方程根的判别式用来判别方程根 (3)1+2-+x29 的情况，而根与系数的关系用来求代数式的值 0 或求方程中所含的字母系数的值 39 窖期升级训练 数学（人教版）八年级 例3已知关于x的方程x(x-2m)=-m2+ 练4已知关于x的一元二次方程x2+(2k+ m+1有两个实数根. 1)x十k2十1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求m的取值范围； (1)求k的取值范围； (2)若x1,x2是方程x(x-2m)=一m2十m十 (2)若x1x2=5,求k的值. 1的两个根，且x号+x=1十x1x2,求m的值 解：(1).x(x-2m)=-m2+m+1,∴.x2 2m.x+m2-m-1=0.∴.△=（-2m)2- 4(m2一m一1)=4m十4..'原方程有两个实数 根，.4m十4≥0，解得m≥-1 (2)'x1,x2是方程x(x-2m)=-m2十m十 1的两个根，∴.x1十x2=2m,x1c2=m2-m 1.x2+x2=1十x1x2,.(x1十x2)2=1十 3z1x2..(2m)2=1+3(m2-m-1)..m2+ 3m十2=0，解得m1=-1,m2=-2..m≥ -1,∴.m=-1. 预学过关 1.下列方程中，两根之和为2的是 ( 6.已知a,b是一元二次方程x2+x一8=0的 A.x2-2x=0 B.x2+3x+2=0 两个实数根，则代数式a2+2a十b一ab的值 C.x2+2x-3=0D.2x2-2x-3=0 为 2.若x1,x2是方程x2+2x一5=0的两个根， 7.在解一元二次方程x2十bx十c=0时，小明 则2x1一x1x2十2x2的值为 () 看错了一次项系数b,得到的解为x1=一1， A.-9 B.-1 x2=4;小颖看错了常数项c,得到的解为 C.1 D.9 x3=2√3，x4=√3.请你写出正确的一元二 3.已知方程x2-3x十2=0有两个实数根x1, 次方程： 8.如果m,n分别是一元二次方程x2一3x+ x2则1+1的值是 ( 2=0的两个根，那么2m2一m十5n的值为 A号B-C D.-2 3 9.已知关于x的一元二次方程x2十x十m=0有 4.若x=一2是一元二次方程x2十2x十m=0 一个根是一2，求m的值及方程的另一个根. 的一个根，则方程的另一个根及m的值分 别是 ( ) A.0,-2 B.0,0 C.-2,-2 D.-2,0 5.已知x1,x2是方程x2+4x一5=0的两个 根，则x1十x2一2x1x2= 40 预学·新知储备 10.已知关于x的一元二次方程x2+(k十 12.已知x1,x2是关于x的方程x2一2x十k一 1)x+k=0. 1=0的两个实数根，且2+=x?十 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两根均为负数，求实数k的取 2x2一1，求k的值. 值范围. 11.已知关于x的一元二次方程x2+(2k一 13.已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于 1)x+k2一1=0的两个实数根分别为 x的方程x2一mx十m一1=0的两个实 x1,x2: 数根 (1)求k的取值范围； (1)m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若x1,x2满足x十x=x1x2十16，求 (2)若AB的长为3，求□ABCD的周长. 实数k的值. 41(4)用因式分解法：方程左边分解因式，得(x+2一3)· (x+2-5)=0,即(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x 3=0,解得x1=1,x2=3 第15天一元二次方程的根与系数的关系 【新知导学】 1.B解析：：a十B=6,a3=8,∴.若一元二次方程的二 次项系数为1，则一次项系数为一6，常数项为8. 2D解析：a十b=2,ab=一4，.a+也-2 ab 3.,a2-4a+3=0,b2-4b十3=0，且a≠b,.可设a,b 为方程x2一4x十3=0的两个不相等的实数根.∴.a十 4.(1)根据题意，得△=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得 (2)根据题意，得x1x2=2十1.：x1x2=5, k十1=5，解得，=-2=2：k>子k=2 【预学过关】 1.A解析：A.方程x2一2x=0的两根之和为2，故A 选项符合题意.B.方程x2十3x十2=0的两根之和为 一3，故B选项不符合题意.C.方程x2十2x一3=0的两 根之和为一2，故C选项不符合题意.D.方程2x2一2x 3=0的两根之和为1，故D选项不符合题意。 2.C解析：：x1x2是方程x2+2x一5=0的两个根， .x1+x2=-2,x1x2=-5..2x1-x1x2+2x2= 2(x1十x2)-x1x2=2X(-2)-(-5)=1. 3.C解析：由题意，得x,十x=3,x1x=2,1十 1_21十x2=3 4.B解析：设方程的另一个根为x2,则一2十x2=一2 解得x2=0.∴.一2x2=m,即m=0. 5.6解析：由题意，得x1十x2=一4，x1x2=一5， .x1+x2-2x1x2=-4-2X(-5)=6. 6.15解析：：a,b是一元二次方程x2+x一8=0的两 个实数根，.a十b=-1,ab=-8,a2十a-8=0..a2+ a=8.∴.a2+2a十b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+ (-1)-(-8)=15. 7.x2-33x-4=0解析：由题意，得c=x1x2=-1× 4=-4,-b=x3+x1=23+3=33,∴.b= 一33..正确的一元二次方程为x2一33x一4=0. 8.11解析：由题意，得m2一3m十2=0，m+n=3, ∴.m2=3m-2,即2m2=6m-4..2m2-m+5n= 6m-4-m+5n=5(m+n)-4=15-4=11. 9.设另一个根为”依题意，得-2十n=一1，一2m一 咒解得m=一2，n=1.“m的值为一2，方程的另一个 根为1 10.(1):'△=(k+1)2-4k=k2+2k+1-4k=k2- 2k十1=(k一1)≥0，∴.方程总有两个实数根(2)由题 一(k+1)0, 意，得 解得k0 {k>0, 11.(1):关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有 两个实数根1和x2,∴.△=(2k1)2一4(k2一1)= -4+5≥0.k≤号（(2)十=1-2k k2-1,x号+x=x1x2+16,∴.(x1+x2)2=3x1x2十 16.∴.(1-2k)2=3(k2-1)+16,即k2-4k-12=0,解得 k,=6,:=-2:k≤号k=-2 12.:x1,x2是关于x的方程x2-2x十k一1=0的两个 实数根，∴.x1十x2=2,x1x2=k一1，x一2x1十k一1= 0.x=2,-k+1.2+=x号+2x2-1, 63十-2鸡2+西)=，品22D2 4一k,解得k=2或k=5.当k=2时，关于x的方程为 x2一2x十1=0，△=0，符合题意；当k=5时，关于x的方 程为x2一2x十4=0，△0，方程无实数根，不符合题 意..k=2 13.(1):□ABCD是菱形，.AB=AD..方程x2 mx十m一1=0有两个相等的实数根.∴.（一m)2-4(m 1)=0..m1=m2=2.当m=2时，原方程为x2一2x十 1=0,解得x1=x2=1,符合题意.∴.当m=2时，四边形 ABCD是菱形(2)，AB,AD的长是关于x的方程 x2一mx十m一1=0的两个实数根，AB的长为3， ∴.AB+AD=m,3是方程的一个根.∴.32一3m+m一 1=0,解得m=4.∴.AB+AD=4.∴.2(AB十AD)=8, 即□ABCD的周长为8 第16天几何、传播问题与一元二次方程 【新知导学】 1.5解析：设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为(27+3-3x)m.根据题意，得x(27十3 3x)=75,解得x1=x2=5.∴.垂直于现有墙的墙长是5m 2.设道路的宽应为xm.由题意，得(50一2x)(38-2x)= 1260,整理，得x2一44x十160=0，解得x1=4,x2=40(不 合题意，舍去).∴.道路的宽应为4m 3.C解析：依题意，得主干为1个，支干为x个，小分支 为x·x=x2(个).，∴.1十x十x2=73. 4.(1)设每轮传染中平均1人能传染x人.由题意，得 1十x十x(1十x)=36,解得x1=5,x2=一7（不合题意，舍 去).∴.每轮传染中平均1人能传染5人(2)经三轮传 染后，共有36+5×36=216（人）患病 3